Презентация по теме «Векторы и их применение»

• 1 слайд

  
  Векторы и их применение.
  
  
  
  

• 2 слайд

  Содержание
  1.Понятие вектора
  2.Коллинеарные векторы
  3.Равенство векторов
  4.Откладывание вектора от данной точки
  5.Сумма двух векторов
  6.Законы сложения векторов
  7.Сумма нескольких векторов
  8.Противоположные векторы
  9.Вычитание векторов
  10.Умножение вектора на число
  11.Скалярное произведение векторов
  12.Свойства скалярного произведения
  13.Немного об истории
  14.Применение векторов
  15.Задачи
  16.Тест
  

• 3 слайд

  Понятие вектора
  Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два направления.
  Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем НАЧАЛОМ, а другой – КОНЦОМ и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.
  Определение.
  Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.
  

• 4 слайд

  
  Любая точка плоскости также является вектором, который называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с его концом:
  
  ММ = 0.
  М
  

• 5 слайд

  Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ:
  
  АВ = а = АВ = 5
  
  с = 17
  
  Длина нулевого вектора считается равной нулю:
  
  ММ = 0.
  a
  М
  В
  А
  с
  

• 6 слайд

  Коллинеарные векторы
  Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
  Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
  а
  b
  c
  d
  m
  n
  s
  L
  

• 7 слайд

  Равенство векторов
  Определение.
  Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
  
  а = b , если
  а b
  а = b
  а
  c
  b
  d
  m
  n
  s
  f
  

• 8 слайд

  Откладывание вектора от данной точки
  Если точка А – начало вектора а , то говорят, что вектор а отложен от точки А.
  
  Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору а, и притом только один.
  
  
  Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой
  А
  а
  М
  а
  

• 9 слайд

  Сумма двух векторов
  Правило треугольника
  Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от точки В отложим вектор ВС = b.
  
  АС = а + b
  a
  b
  A
  a
  b
  B
  C
  

• 10 слайд

  Законы сложения векторов
  1) а+b=b+a (переместительный закон) Правило параллелограмма
  Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах построим параллелограмм АВСD.
  АС = АВ + BС = а+b
  АС = АD + DС = b+a
  
  
  
  2) (а+b)+c=a+(b+c)
  (сочетательный закон)
  a
  a
  b
  b
  A
  D
  C
  B
  a
  b
  

• 11 слайд

  Сумма нескольких векторов
  Правило многоугольника
  s=a+b+c+d+e+f
  
  
  
  
  
  k+n+m+r+p=0
  a
  b
  c
  d
  e
  f
  s
  k
  m
  n
  r
  p
  O
  

• 12 слайд

  Противоположные векторы
  Пусть а – произвольный ненулевой вектор.
  Определение. Вектор b называется противоположным вектору а, если а и b имеют равные длины и противоположно направлены.
  
  a = АВ, b = BA
  
  
  
  
  Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
  Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0
  А
  B
  a
  b
  c
  -c
  

• 13 слайд

  Вычитание векторов
  Определение. Разностью двух векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
  Теорема. Для любых векторов а и b справедливо равенство а - b = а + (-b).
  Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
  
  
  
  а
  а
  b
  -b
  -b
  a - b
  

• 14 слайд

  Умножение
  вектора на число
  Определение. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна вектору k * а , причем векторы а и b сонаправлены при k≥0 и
  противоположно направлены при k<0.
  
  
  
  Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
  Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.
  
  а
  -2a
  3а
  

• 15 слайд

  Для любых чисел k, n и любых векторов а, b справедливы равенства:
  (kn) а = k (na) (сочетательный закон)
  (k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
  K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
  
  Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,
  
  p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
  = 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = - 5b + 4c
  

• 16 слайд

  Скалярное произведение векторов.
  Скалярным произведением
  двух векторов называется
  произведение их длин
  на косинус угла между
  ними.
  

• 17 слайд

  
  Если , то
  Если
  , то
  Если
  , то
  Если
  , то
  Скалярное произведение
  называется
  скалярным квадратом вектора
  

• 18 слайд

  Свойства скалярного произведения
  - переместительное свойство
  - сочетательное свойство
  распределительное
  свойство
  

• 19 слайд

  Немного об истории
  Истоки векторного исчисления находятся в механике и астрономии, где впервые были изучены конкретные векторные величины - силы и скорости. Еще в работе «Механические проблемы», созданной в школе Аристотеля, введен термин «сложения движений», т. е. скоростей, и сформулировано правило параллелограмма
  Архимед в работе «О спиралях» использовал правило параллелограмма а позже и Птолемей в своём знаменитом «Альмагесте». Астрономы средневекового Восток, развивая теорию Птолемея, постоянно использовали «сложение движений».
  Аристо́тель (384 до н. э.)
  Архиме́д (287 год до н. э. — 212 год до н. э.)
  Кла́вдий Птолеме́й. В период с 127 по 151 год жил в Александрии, где проводил астрономические наблюдения
  

• 20 слайд

  Учёные Европы Симон Стевин (1548 - 1620) - в «Основах статистики» и Джон Валлис (1616 - 1703) в «Механике» -сформулировали правила параллелограмма и параллелепипеда для
  сложения направленных отрезков, которыми они изображали силы, скорости, ускорения
  Си́мон Сте́вин (1548—1620)
  Джон Валлис
  в 1845 г. в работе «О геометрических суммах и разностях и их применении для упрощения изложения механики» разработал теорию сложения и вычитания направленных отрезков.
  Адемар Жан-Клод Барре Сен-Венан.1797 —1886
  

• 21 слайд

  Говорил о строение геометрического исчисления, изучающего направление отрезки, их длину, углы между ними. Эти мысли стали исходной точкой для многих геометрических работ.
  Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
  (1646—1716)
  В книге «Геометрия положения» исследовал направленные отрезки и углы между ними. Он ввёл обозначение АВ для отрезка с началом в точке А и концом в точке В
  Лаза́р Карно́
  (1753-1823)
  В 1844 г. в первой публикации по теории кватернионов Гамильтон ввел термин «вектор», образовав его от латинского слова «vehere» - «нести». Он писал: «Шаг от точки А к точки В можно рассматривать как работу по транспортировки или переносу подвижной точки из начального положения в конечное».
  Уильям Роуэн Гамильтон
  

• 22 слайд

  ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ
  ПРЯМОЕ ЗНАЧЕНИЕ
  ПЕРЕНОСНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
  Математика
  Физика
  Физкультура
  Сила
  Равноускоренное
  движение
  Равномерное
  движение
  Эстафеты
  Волейбол
  Баскетбол
  Картография
  Навигация
  Техника
  

• 23 слайд

  ДВИЖЕНИЕ
  

• 24 слайд

  ЭСТАФЕТА
  

• 25 слайд

  БАСКЕТБОЛ
  Американские профессиональные баскетболисты показывали удивительное зрелище: игру в темноте светящимся мячом. Видна была только траектория мяча.
  

• 26 слайд

  Картография
  В картографии, для управления географическими данными используются векторные карты.
  Векторные карты состоят не из точек, а из объектов - река, лес, дорога, населенный пункт, дорожный знак и многое другое. Объекты описываются своими характеристиками, как-то размеры, положение на местности и другими. Масштабирование карты происходит без потери качества картинки.
  При планировании городских микрорайонов и построении новых жилых домов учитываются многие факторы, в том числе доминирующие направления ветра. Векторное поле скорости движения воздуха в окрестности здания.
  

• 27 слайд

  Биоакустика изучает
  сигналы биообъектов в
  толще океанов и морей.
  Решает вопросы дальнего
  И сверхдальнего
  распространения сигналов
  в океане
  Распределение температуры воздуха представлено полупрозрачной тоновой заливкой в вертикальной плоскости сечения (цветами, а не привычными стрелочками), что позволяет видеть интерьер салона.
  Распределение температуры воздуха в салоне автомобиля.
  Внешний вид первого векторного гидроакустический приемник
  

• 28 слайд

  Техника
  Новая векторная технология управления телевизор. Новая концепция способна революционизировать сравнительно непростую пока что технологию управления телевизором с помощью пульта дистанционного управления и "текстового" интерфейса, отображаемого на экране.
  

• 29 слайд

  Сейсмоакустика.
  Сейсмоакустика - регистрацию сигналов от слабых источников, в том числе подрывов, движущейся техники и людей и пр.
  Пример совместной обработки сигналов при выстреле гаубицы, регистрируемых каналами Х, Y и Z векторного приемника, расположенного в воздухе
  Круг решаемых задач, в которых в той или иной мере используется информация о векторных характеристиках полей, гораздо шире, чем собственно проблемы гидро- и сейсмоакустики. В частности,
  – изучение характеристик звуковых полей в замкнутых объемах представляет важную проблему, являющуюся основой решения задач архитектурной акустики и экологии, обеспечивающих необходимое качество восприятия звука в закрытых помещениях и защиты человека от вредного физиологического воздействия звука.
  – вопросы качества восприятия звука
  – биофизические задачи.
  
  

• 30 слайд

  Лучевая скорость
  НАВИГАЦИЯ - раздел науки о
  способах проведения
  морских, воздушных судов и
  космических летательных
  аппаратов из одной точки
  пространства в другую.
  Астрономические методы
  навигации основаны на
  определении положения
  известных небесных светил
  относительно выбранной
  системы координат
  Лучевая скорость— это скорость, с которой тело приближается к наблюдателю или удаляется от него. Эту скорость можно представить как проекцию вектора полной скорости тела относительно наблюдателя на луч зрения, т. е. на прямую линию, соединяющую его с наблюдателем.
  

• 31 слайд

  Лучевая скорость - проекция скорости звезды в пространстве.
  Лучевую скорость небесных тел определяют по их спектру, с помощью эффекта Доплера. Он заключается в том, что длина волны (или частота) распространяющихся колебаний (звуковых, световых или любых других) меняется при перемещении источника колебаний и наблюдателя относительно друг друга. Измерения лучевых скоростей небесных тел— очень важный метод астрономических исследований. С его помощью, например, изучают движение звезд и оценивают их массы, исследуют характер движения вещества на Солнце, в газовых туманностях, определяют расстояние и массу далеких галактик.
  Эффект Доплера имеет важное значение в астрономии, гидролокации и радиолокации. В астрономии по доплеровскому сдвигу определенной частоты испускаемого света можно судить о скорости движения звезды вдоль линии ее наблюдения. используется для определения скорости движения подводных лодок
  

• 32 слайд

  Задача
  №1
  Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.
  Решение.
  C
  а
  b
  D
  B
  А
  E
  F
  c
  А
  B
  C
  

• 33 слайд

  
  №2
  Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
  АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
  Найти:
  C
  C1
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  Решение:
  1 способ
  2 способ
  3 способ
  

• 34 слайд

  Тест:
  Вставьте пропущенное слово:
  
  Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на __________ угла между ними.
  косинус
  

• 35 слайд

  Какие из представленных на рисунке векторов перпендикулярны?
  О
  
  а и c
  2. b и d
  3. с и d
  b и с
  f и d
  
  
  
  
  
  
  

• 36 слайд

  Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой.
  О
  c и f 0 o
  
  d и a 45 o
  
  a и f 180 o
  
  a и b 135 o
  
  450
  

• 37 слайд

  Выберите правильный ответ;
  Известно, что
  Скалярное произведение
  векторов равно:
  а)
  б)
  в)
  

• 38 слайд

  C
  C1
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  Ответ: а2
  1 способ:
  

• 39 слайд

  C
  C1
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  Ответ: а2
  2 способ:
  

• 40 слайд

  C
  C1
  A1
  B1
  D1
  A
  B
  D
  Введем прямоугольную
  систему координат.
  х
  у
  z
  Ответ: а2
  3 способ:
  

• 41 слайд

  Решение
  Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:
  ВС = а, СА = в, АВ = с
  Тогда
  АD = АВ + ВD = АВ += с + аналогично определяются и другие медианы:
  ВЕ = а + , СF = в + Так как, в силу условия замкнутости
  ВС + СА + АВ = а + в + с =0,
  то мы имеем:
  АD + ВЕ + СF = ( с + ) + (а + ) + ( в + ) = ( а + в + с) = х 0 = 0.
  Следовательно, отложив от точки В, вектор В1С1 = ВЕ и от точки С1 – вектор С1D1 = СF, мы получим.
  А1В1 + В1С1 + С1D1 = АD + ВЕ + СF = 0.
  А это значит (в силу условия замкнутости), что ломаная А1В1С1D1 является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.
  Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.
  

Краткое описание документа:

Презентация по теме «Квадратичная функция и функция, содержащая переменную под знаком модуля», поможет учителям, работающим в профильных 8-9 классах. Она может быть использована при подготовке к ОГЭ и элективных курсах, на этапе итогового повторения. В работе приведены примеры решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.