240558
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрезентация по теме Задача о брахистохроне

Презентация по теме Задача о брахистохроне

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Задача о брахистохроне
Задача о брахистохроне была поставлена Иоганном Бернулли в Acta Eruditorum в...
Задача была следующей: Даны две точки А и В, лежащие в вертикальной плоскости...
Иоганн Бернулли не был первым, кто рассматривал задачу о брахистохроне. Галил...
Он вычислил время, необходимое для точки, чтобы перейти от А к В по прямой ли...
Вернемся к Иоганну Бернулли. Он изложил задачу в Acta Eruditorum и хотя и зна...
Королевское общество опубликовано решение Ньютона анонимно в Трудах Королевск...
Майский выпуск 1697 г. Acta Eruditorum содержал решение Лейбница задачи о бра...
В своем решение Иоганн Бернулли делит плоскость на полосы, и он предполагает,...
В пределе, когда полосы становятся бесконечно узкими, отрезки становятся крив...
Подстановка  дает уравнение кривой или Воспользуемся тем, что   и  , чтобы по...
Циклоида   удовлетворяет этому уравнению. Чтобы убедиться в этом, отметим, что
Гюйгенс в 1659 году показал (к этому его привела задача Паскаля о циклоиде),...
Иоганн Бернулли закончил свое решение задачи о брахистохроне такими словами:...
Методы, которые братья разработали для решения задач и которые они оспаривали...
Идея состоит в нахождении функции, на которой достигается максимум или миниму...
Лагранж в 1760 году опубликовал эссе о новом методе нахождения максимумов и м...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Задача о брахистохроне
Описание слайда:

Задача о брахистохроне

2 слайд Задача о брахистохроне была поставлена Иоганном Бернулли в Acta Eruditorum в
Описание слайда:

Задача о брахистохроне была поставлена Иоганном Бернулли в Acta Eruditorum в июне 1696 года. Он представил проблему следующим образом: “Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым блестящим математикам в мире. Ничто не является более привлекательным для умных людей, чем честная, сложная задача, решение которой, возможно, дарует славу и останется вечным памятником. Следуя примеру Паскаля, Ферма и т.д., я надеюсь получить благодарность всего научного сообщества, указывая лучшим математикам нашего времени проблему, на которой они смогут проверить свои методы и силу своего интеллекта. Если кто-то представит мне решение предлагаемой задачи, я публично объявлю его достойным похвалы’’.

3 слайд Задача была следующей: Даны две точки А и В, лежащие в вертикальной плоскости
Описание слайда:

Задача была следующей: Даны две точки А и В, лежащие в вертикальной плоскости. Какова траектория точки, движущейся только под действием силы тяжести, которая начинает двигаться из А  и достигает В  за кратчайшее время?

4 слайд Иоганн Бернулли не был первым, кто рассматривал задачу о брахистохроне. Галил
Описание слайда:

Иоганн Бернулли не был первым, кто рассматривал задачу о брахистохроне. Галилей в 1638 году изучал эту проблему в своей знаменитой работе “Беседы о двух новых науках’’. Его вариант задачи был сначала таким: найти прямую линию, соединяющую точку А с точкой В на вертикальной прямой, которую можно достичь за наименьшее время. Он правильно рассчитал, что такая прямая из точки А будет составлять угол в 45 градусов  к вертикали при достижении необходимой вертикальной прямой в точке .

5 слайд Он вычислил время, необходимое для точки, чтобы перейти от А к В по прямой ли
Описание слайда:

Он вычислил время, необходимое для точки, чтобы перейти от А к В по прямой линии, затем он показал, что точка достигнет  быстрее, если она будет двигаться по двум отрезкам АС и СВ, где  С– точка на окружности. Хотя Галилей был совершенно прав в этом, но он сделал ошибку, когда он далее утверждал, что путь наискорейшего спуска от А  до В  будет дугой окружности – неверное заключение.

6 слайд Вернемся к Иоганну Бернулли. Он изложил задачу в Acta Eruditorum и хотя и зна
Описание слайда:

Вернемся к Иоганну Бернулли. Он изложил задачу в Acta Eruditorum и хотя и знал сам, как ее решать, бросил вызов другим. Лейбниц убедил Иоганна Бернулли дать больше времени для решения задачи, чем шесть месяцев, которые тот изначально предполагал отвести на это, чтобы зарубежные математики также имели возможность принять участие в ее решении. Было получено пять решений: Ньютона, Якоба Бернулли, Лейбница и Лопиталя плюс решение самого Иоганна Бернулли.

7 слайд Королевское общество опубликовано решение Ньютона анонимно в Трудах Королевск
Описание слайда:

Королевское общество опубликовано решение Ньютона анонимно в Трудах Королевского общества в январе 1697 г. Его решение было объяснено Монтегю следующим образом: “Задача. Требуется найти кривую АDB , по которой вес, под действием своей тяжести наиболее быстро спустится из точки A в точку B . Решение. Пусть из данной точки  проведена неограниченная прямая линия APCZ параллельно горизонтали. Пусть на ней будет описана произвольная циклоида AQP , пересекающая прямую AB (предполагается, что нарисованную и представленную при необходимости) в точке Q , и вторая циклоида ADC, основание и высота которой относятся к основанию и высоте первой как AB  к AQ соответственно. Последняя циклоида будет проходить через точку B, и она будет той кривой, по которой вес силой своей тяжести спустится наиболее быстро из точки A  в точку  B’’.

8 слайд Майский выпуск 1697 г. Acta Eruditorum содержал решение Лейбница задачи о бра
Описание слайда:

Майский выпуск 1697 г. Acta Eruditorum содержал решение Лейбница задачи о брахистохроне на стр. 205, решение Иоганна Бернулли – на страницах 206-211, решение Якова Бернулли – на страницах 211-214, и латинский перевод решения Ньютона на стр. 223. Решение Лопиталя не было опубликовано до 1988 года, когда, почти 300 лет спустя, Жан Пейффер опубликовал его в Приложении 1 в P. Costabel and J. Peiffer 

9 слайд В своем решение Иоганн Бернулли делит плоскость на полосы, и он предполагает,
Описание слайда:

В своем решение Иоганн Бернулли делит плоскость на полосы, и он предполагает, что частица движется по прямой в каждой полосе. Таким образом, путь ее кусочно-линейный. Задача состоит в определении угла, под которым направлен отрезок в каждой полосе, и для этого он обращается к принципу Ферма, а именно к тому, что свет всегда проходит расстояние за кратчайшее время. Если   – скорость в одной полосе, направленная под углом   к вертикали, и   скорость в следующей полосе, направленная под углом   к вертикали, то по обычному закону синуса

10 слайд В пределе, когда полосы становятся бесконечно узкими, отрезки становятся крив
Описание слайда:

В пределе, когда полосы становятся бесконечно узкими, отрезки становятся кривой, у которой в каждой точке угол отрезка с вертикалью становится углом касательной к кривой, который она составляет с вертикалью. Если   – скорость в точке   и   – угол, который составляет касательная с вертикалью, то кривая удовлетворяет уравнению Галилей показал, что скорость  удовлетворяет условию (где  g– ускорение силы тяжести).

11 слайд Подстановка  дает уравнение кривой или Воспользуемся тем, что   и  , чтобы по
Описание слайда:

Подстановка  дает уравнение кривой или Воспользуемся тем, что   и  , чтобы получить для константы   .

12 слайд Циклоида   удовлетворяет этому уравнению. Чтобы убедиться в этом, отметим, что
Описание слайда:

Циклоида   удовлетворяет этому уравнению. Чтобы убедиться в этом, отметим, что

13 слайд Гюйгенс в 1659 году показал (к этому его привела задача Паскаля о циклоиде),
Описание слайда:

Гюйгенс в 1659 году показал (к этому его привела задача Паскаля о циклоиде), что циклоида является решением задачи о таутохроне, а именно задачи о нахождении кривой, для которой время, затраченное частицей, скользящей вниз по ней под действием однородной силы тяжести, в самой нижней точке не зависит от выбора начальной точки.

14 слайд Иоганн Бернулли закончил свое решение задачи о брахистохроне такими словами:
Описание слайда:

Иоганн Бернулли закончил свое решение задачи о брахистохроне такими словами: “Прежде чем я закончу, я должен еще раз выразить восхищение, которое я чувствую по поводу неожиданного тождества таутохроны Гюйгенса и моей брахистохроны. Я считаю особенно замечательным то, что это совпадение может иметь место только при выполнении гипотезы Галилея, так что мы даже получаем из этого доказательство его правоты. Природа всегда стремится действовать самым простым способом, и поэтому здесь позволяет одной кривой выполнять две различные функции, в то время как при любом другом предположении нам понадобились бы две кривые…’’

15 слайд Методы, которые братья разработали для решения задач и которые они оспаривали
Описание слайда:

Методы, которые братья разработали для решения задач и которые они оспаривали друг у друга, были обобщены Эйлером в Methodus inveniendi lineascurvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, опубликованных в 1744 году. В этой работе, русская версия названия которой “Метод нахождения плоских кривых, показывающий некоторые свойства максимумов и минимумов”, Эйлер обобщает задачи, исследованные братьями Бернулли, но сохраняет геометрический подход, разработанный Иоганном Бернулли для их решения. Он обнаружил то, что сейчас известно как уравнения Эйлера-Лагранжа для поиска стационарных точек и экстремумов функционалов.

16 слайд Идея состоит в нахождении функции, на которой достигается максимум или миниму
Описание слайда:

Идея состоит в нахождении функции, на которой достигается максимум или минимум определенной величины, удовлетворяющей некоторым ограничениям. Например, Иоганн Бернулли перед Эйлером поставил определенные геодезические задачи, которые, как и задача о брахистохроне, были такого типа. Здесь задача состояла в нахождении кривых наименьшей длины, лежащих на данной поверхности. Эйлер, однако, отметил, что геометрический подход к таким задачам не был идеальным, и он давал только необходимые условия, которым должно удовлетворять решение. Вопрос о существовании решения не был решен Эйлером.

17 слайд Лагранж в 1760 году опубликовал эссе о новом методе нахождения максимумов и м
Описание слайда:

Лагранж в 1760 году опубликовал эссе о новом методе нахождения максимумов и минимумов неопределенных интегральных формул. Он дал аналитический метод, применимый к задачам вариационного исчисления.  Во введении к своей работе Лагранж приводит историческое развитие идей, целесообразным закончить, приведя слова Лагранжа, которые отражают в действительности все достижения: “Первая задача этого типа [вариационного исчисления], которую решили математики – это задача о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска, предложенная Иоганном Бернулли в конце прошлого века. Ее решение было найдено рассмотрением частных случаев, и только спустя некоторое время, исследуя изопериметрические кривые, великий математик, о котором мы говорим, и его знаменитый брат Якоб Бернулли дали некоторые общие правила для решения ряда других задач того же типа. Поскольку, однако, правила не были достаточно общими, знаменитый Эйлер взял на себя задачу сведения всех этих исследований в общий метод, который он привел в своем “Рассуждении о новом методе определения максимумов и минимумов неопределенных интегральных формул’’ – оригинальной работе, в которой освещена глубокая наука исчисления. Тем не менее, несмотря на то что метод гениальный и мощный, надо признать, что он не так прост, как можно было бы надеяться в работе по чистому анализу…’’

Общая информация

Номер материала: ДВ-492324

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.