Презентация по ТОНКМ на тему "Методика изучения арифметических действий в пределах 10"

Тайлакова Е.В. КемПК

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ

АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ НАД ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ

Множества.

Теоретико-множественный подход к арифметическим действиям. Сложение и вычитание в пределах 10

МНОЖЕСТВА

 Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое.

 Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

МНОЖЕСТВА

ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА

 Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если a — элемент множества A, то записывают

(« a принадлежит A »). Если a не является элементом множества A , то записывают (« a не принадлежит A »). Каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его.

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОЖЕСТВА

ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

Задание: нарисовать диаграмму для случаев

1.            А и В не пересекаются

2.            А  и В находятся в общем отношении.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

ДИАГРАММЫ ВЕННА

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Задание: нарисовать диаграмму Венна для дополнения множества А, если оно строго включено в множество В.

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ

ЗАДАЧИ

 В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 – мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?

МНОЖЕСТВА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Дети должны уметь последовательно выделять признаки предметов («Что это? Для чего нужны? Какой формы? Какого размера? Какого цвета? Сколько?»). Сравнивать предметы и объединять их в группы в основе одного из выделенных признаков, в образование групп. Они выделяют признаки, общие для всей группы предметов или лишь для части предметов данной группы, т.е. выделяют подгруппы предметов по тому или иному признаку, устанавливать количественные соотношения между ними. Например: «Сколько машин? Сколько деревянных игрушек? Сколько металлических? Сколько больших игрушек? Сколько маленьких?»

В заключение можно предлагать придумать вопросы со словом сколько, основываясь на умение выделять, признаки объектов и объединять их по общему для данной подгруппы или группы в целом признаку.

Каждый раз перед ребенком ставится вопрос: почему он так думает? Это способствует лучшему осознанию количественных отношений. Упражняясь, дети сначала устанавливают, каких предметов больше, каких меньше, а затем пересчитывают предметы и сравнивают числа либо сначала определяют количество предметов, попавших в разные подгруппы, а затем устанавливают количественные отношения между ними: «Чего больше, если треугольников 6, а кругов 5?».

МНОЖЕСТВА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Сравнивая совокупности предметов дети должны знать способы практического сопоставления их элементов: наложение, приложение, раскладывание предметов 2 совокупностей парами, использование эквивалентов для сравнения 2 совокупностей, наконец, соединение предметов 2 совокупностей стрелочками. Например, учитель рисует на доске 6 кружков, а с права – 5 овалов и спрашивает: «Каких фигур больше (меньше) и почему? Как проверить? А если не считать?» Комулибо из детей предлагает каждый кружок соединить стрелочкой овалов . Выясняет, что 1 кружок оказался лишним, значит, их больше, чем других фигур, 1 овалов не хватила, значит, их меньше, чем кружков. «Что надо сделать, чтобы фигур стало поровну?» и т. д. Детям предлагается самим нарисовать указанное число фигур 2 видов.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Конкретный смысл сложения и вычитания осознается детьми в процессе действий с множествами предметов и находит применение при решении задач.

 Сложение рассматривается как объединение множеств, не имеющих общих элементов.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Простейшей операцией над множествами является операция соединения (объединения) нескольких множеств в одно новое множество. Если мы имеем два множества А и В, то в результате получается новое множество С, такое, что каждый элемент с является или элементом множества n (А), или элементом множества n (В). И обратно: каждый элемент множества n (В) входят в множество n (С).

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Если количество элементов множества n (А) равно а, а количество элементов множества n (В) равно в, то действие с помощью которого находят количество элементов в множестве n (С) - объединения множеств А и В, есть сложение чисел а и в, которое записывается так: а + в = с. При этом числа а и в называются слагаемыми, а число с – результат сложения чисел а и в называются их суммой.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения:

 а) увеличение данного предметного множества на несколько предметов:

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 б) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному:

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 в) составление одного множества из двух данных:

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Методическая интерпретация данного подхода может быть различной. Например, в качестве основного средства формирования у детей представлений о смысле сложения и вычитания могут выступать простые текстовые задачи.

ШКОЛА РОССИИ. ЧАСТЬ2. УЧЕБНИК. — В 2ХЧАСТЯХ. — М.: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2011.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 В основе другого подхода лежит выполнение учащимися предметных действий и их интерпретация в виде графических и символических моделей. В качестве основной цели здесь выступает не решение простых задач, а осознание предметного смысла числовых выражений и равенств.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия сложения:

 1. Возьми три морковки и два яблока (наглядность. Положи их в корзину. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать)

 2. На полке стоит 2 чашки и 4 стакана. Обозначь чашки кружочками, стаканы квадратиками. Покажи, сколько их вместе.

Сосчитай.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Деятельность учащихся сначала сводится к переводу предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями.

 Например, детям предлагается картинка, на которой Маша и Миша запускают рыбок в один аквариум. Организуя деятельность учащихся с данной предметной иллюстрацией, учитель ориентируется на следующие этапы:

 Дети рассказывают, что делают Миша и Маша на картинках( запускают рыбок в один аквариум и т.п.). Ответы могут быть разными, но учителю важно подчеркнуть, что рыбки Миши и Маши объединяются в одном аквариуме.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Затем учитель сообщает, что действия в задаче можно записать на языке математики. Эти записи даны под картинками и являются математическими выражениями, которые в математике называются суммой. Выясняется, чем похожи эти выражения ( в каждом из них два числа и знак +) и как можно эти выражения прочитать по разному (2 плюс 3, к двум прибавить 3, сложить числа 2 и 3).

 Дети упражняются в чтении данных выражений.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Теперь нужно соотнести каждое из данных выражений с соответствующей картинкой. Выполняя это задание, дети ориентируются на число предметов, которые объединяют Маша и Миша.

 Помимо выражений каждой картинке можно поставить в соответствие определенное число.

 В результате этой работы учитель показывает, как записать равенство, и знакомит детей с этим понятием, а так же с термином «значение суммы».

 Затем числовые равенства интерпретируются на луче

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о сложении, как о действии, которое связано с увеличением предметов.

 После выполнения предметных действий для решения задачи, выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки + и =. Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины

«выражение» и «равенство».

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Ситуации, моделирующие объединение двух множеств.

1.    У Вани 3 значка. Обозначь значки кружками. Емудали еще и у него стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы узнать, сколько у него теперь значков? (Надо 2 добавить) Сделай это. Сосчитай результат.

2.    У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначьгрузовики квадратиками. И столько же легковых машин. Обозначь легковые машины кружками. Сколько ты поставил кружков? На день рождения ему подарили еще три легковые машины. Каких машин теперь больше? Обозначь их кружками.

Покажи, на сколько больше.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 3. В одной коробке 6 карандашей, а в другой на 2 больше. Обозначь карандаши первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки – красными палочками. Покажи, сколько карандашей в первой коробке, сколько во второй. В какой коробке карандашей больше? В какой меньше? На сколько?

 Эти ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Ситуации вида а) фактически можно свести к ситуациям вида в), рассматривая, например, значки, которые были у Вани, как одно предметное множество, а значки, которые ему подарили, как другое предметное множество.

 Для объяснения смысла сложения можно так же опираться на представления детей о соотношении целого и его частей. В этом случае для приведенной выше ситуации все значки Вани (целое) будут состоять из двух частей: значки, которые у него были, и значки, которые ему подарили.

К СЛОЖЕНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (3+2) или равенство (3+2=5)

 В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям вида б), у них формируется понятие «больше на», представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»). В этом случае объединяют совокупности «столько же» и «еще».

ЗАДАНИЕ.

 Выполните необходимые предметные действия и объясните, почему приведенные ниже ситуации можно использовать при формировании у учащихся представлений о смысле действия сложения.

 1. С дерева сначала улетели 5 синиц, затем еще 3. Покажи, сколько синиц улетело с дерева.

 2. Маша съела утром 3 яблока, вечером еще 2. Покажи, сколько всего яблок съела Маша.

 3. У Коли было 4 марки, у Пети – на две марки больше. Покажи, сколько марок у Пети.

ЗАДАНИЕ.

 4. С одного дерева улетели 5 синиц, с другого на 3 больше. Покажи, сколько синиц улетело со второго дерева.

 5. У Коли было 4 марки, у Пети – 2. Покажи, сколько марок было у них вместе.

 Придумайте интересные ситуации, которые вы могли бы предложить детям с этой целью. Опишите, как они будут выполнять их, опираясь на представления о соотношении целого и части.

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Вычитание рассматривается как удаление части множества.

 Если сложение связывается с увеличением числа элементов данного множества, то вычитание – с уменьшением числа элементов данного множества.

 Другой простейшей операцией над множествами является операция вычитания (отнимания) при операции вычитания из одного множества элементов отнимают элементы другого множества. Так на рисунке 1 из множества n (С) можно отнять множество n (А) и останется множество n (В). При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 а) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (множество предметов, которые удаляются, зачеркнуто):

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 б) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов:

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»:

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о вычитании как о действие, которое связано с уменьшением количества предметов.

 Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было пять кукол. Две она подарила Тане. Покажи куклы, которые у нее остались». Дети рисуют 5 кукол, зачеркивают 2 и показывают куклы, которые у нее остались.

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 Для разъяснения смысла вычитания, также как и сложения, можно использовать представления детей о соотношение целого и части. В этом случае куклы, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «куклы, которые она подарила и куклы, которые у нее остались».

 Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая части и целое их числовыми значениями, дети получают выражение 5 – 2 или равенство 5 – 2 = 3.

К ВЫЧИТАНИЮ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям б) у детей формируется представление о понятии «меньше на», которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной ( «взять столько же»), и ее уменьшением на несколько предметов ( «без»).

ЗАДАНИЯ.

 Выполните необходимые предметные действия и объясните, почему задания можно использовать при формировании у детей представления о вычитании.

 1. В гараже стояло 6 машин. После того, как несколько машин уехали, осталось 2. Покажи, сколько машин выехало из гаража.

 2. Зайчику дали 5 морковок. Две он съел.

Покажи, сколько морковок осталось у зайчика.

 В одной вазе 6 апельсинов, а в другой на 2 меньше. Покажи, сколько апельсинов во второй вазе.

ЗАДАНИЯ

 Придумайте еще ситуации, которые вы могли бы предложить ученикам. Приведите предполагаемые ответы детей и опишите их действия.

 Найдите в учебниках математики иллюстрации, которыми можно воспользоваться при формировании у учащихся представлений о смысле действий сложения и вычитания. Составьте вопросы для беседы с детьми по этим иллюстрациям и приведите их предполагаемые ответы.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 10

ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ

 1. Обобщить знания, приобретенные при изучении нумерации чисел первого десятка.

 2. Продолжить работу по раскрытию конкретного смысла сложения и вычитания.

 3. Сформировать вычислительные приемы сложения и вычитания.

 4. Сформировать навыки табличного сложения и вычитания в тесной связи с усвоением состава числа в пределах 10.

 5. Познакомить с названиями действий и соответствующих знаков, с названиями чисел при сложении и вычитании.

 6. Разъяснить взаимосвязь между суммой и слагаемыми.

ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА

 1. Нумерация – образование  и название чисел.

 2. Счёт в пределах 10 в прямом и обратном порядке.

 3. Состав чисел в пределах 10.

 4. Дополнение числа до 10.

ЭТАПЫ

 1. Случаи +1, – 1.

 2. Случаи  +2, –2; +3, –3; +4, –4.

 3. Переместительное свойство сложения.

 4. Случаи +5, +6, +7, +8, +9

 5. Случаи –5, –6, –7, –8, –9.

ПРИЕМЫ +1, –1

 Прием +1 основан на том, что мы получаем число, большее предыдущего на 1, т.е. следующее.

 Прием – 1 основан на том, что мы получаем число, меньшее данного на 1, т.е. предыдущее.

 Усвоение ребенком этого принципа являлось центральной задачей изучения нумерации первого десятка.

ПРИЕМЫ +1, –1

 Использование линейки в качестве наглядной опоры для запоминания последовательности чисел, а так же для усвоения способа нахождения числа последующего и предыдущего создает хорошие условия для формирования наглядно представимой мысленной модели ряда натуральных чисел и способа нахождения результатов присчитывания и отсчитывания для детей с ведущим наглядно-образным мышлением.

ПРИЕМЫ +1, –1

 Для детей с ведущим кинестезическим восприятием и ведущим кинестезическим типом памяти следует не только допускать, но и поощрять использование пальцевого счета при изучении всех вычислительных приемов первого десятка.

СЛУЧАИ +1+1, –1–1

 По числовому ряду делают два шага. Эти упражнения закрепляют умения прибавлять и вычитать 1, двигаться по шкале от любого числа, подготавливают к изучению случаев +2, –2.

 Знакомство с этим приемом является очень важным. Ребенок впервые встречается с выражением, содержащим более одного знака действий, а так же впервые в неявном виде используется правило порядка выполнения действий одной ступени без скобок.

ПРИЕМ +2, –2

 Основан на том, что 1+1=2, т.е. на составе числа 2, прибавлении и вычитании по частям. На этом уроке дети осваивают прием вычисления.

ПРИЕМ +2, –2

 Методически ставится цель довести умения ребенка прибавлять и отнимать 2 до состояния навыка, т.е. до запоминания результатов прибавления и вычитания двух в пределах 10 наизусть.

ЗНАКОМСТВО С КОМПОНЕНТАМИ И РЕЗУЛЬТАТОМ СЛОЖЕНИЯ

 Учитель показывает, как можно читать выражения по-разному, используя названия компонентов и результатов действия сложения.

 Составляется таблица сложения и вычитания для случаев +2, –2.

 Если при изучении чисел в пределах 10 ребенок выучил наизусть состав однозначных чисел и легко его воспроизводит, то проще всего для запоминания таблицы сложения и вычитания связать соответствующие случаи с составом однозначных чисел:

 3=1+2, 1+2=3, 3-2=1

 7=5+2, 5+2=7, 7-2=5

ПРИЕМЫ +3, –3, +4, –4

 Может выполняться последовательным присчитыванием или отсчитыванием по 1. Методически этот способ считается менее совершенным, чем прибавление и вычитание по частям для данных вычислительных приемов.

 Прибавление ( или вычитание) по частям предполагает раскладывание второго слагаемого (или вычитаемого) на удобные для выполнения вычислений составные части, и последовательное их прибавление(или вычитание).

СОСТАВ ЧИСЛА

 При ориентации на состав числа удобнее делать акцент не на составление и заучивание каждого случая целиком, а на составление и запоминание взаимосвязанных троек:

 9=5+4, значит, 5+4=9, 9–4=5, 9–5=4

 В качестве внешней опоры при вычислении этих случаев может быть использована линейка, счеты, пальцевый счет.

ПЕРЕСТАНОВКА СЛАГАЕМЫХ

 От перестановки слагаемых сумма не меняется.

 Это свойство используется в 1 классе для знакомства с вычислительными приемами вида а+5, а+6, а+8, а+9.

 Помогает свести все эти случаи к ранее изученным.

 Прием позволяет составить краткую таблицу сложения в пределах 10.

ТАБЛИЦЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ (ОБЩАЯ)

СЛУЧАИ –5, –6, –7, –8, –9

 1.Сравнивают примеры на вычитание с примерами на сложение:

 3+2=5  5–3=2  5–2=3

 2. Названия компонентов и результатов действия вычитания.

 3. Приемы основаны на составе однозначных чисел и взаимосвязи между суммой и слагаемыми.

ДЕЙСТВИЯ С НУЛЕМ

 Число нуль является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента.

 Для того, чтобы учащиеся представили себе такое множество, можно использовать различные методические приемы.

ДЕЙСТВИЯ С НУЛЕМ

 1. Прием связан с установлением соответствия между числовой фигурой и цифрой, обозначающей количество предметов.

 Этим подходом можно воспользоваться ДО изучения сложения и вычитания, на этапе формирования у учащихся представления о количественном числе.

ДЕЙСТВИЯ С НУЛЕМ

 2. Другой методический прием знакомит младших школьников с нулем, как результатом вычитания.

 Для этой цели учащимся предлагаются предметные ситуации, которые они описывают, а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами.

ДЕЙСТВИЯ С НУЛЕМ

 3. Возможно познакомить детей с числом нуль как с компонентом арифметического действия (сложения и вычитания). Для этой цели предлагается задание: «Что изменилось?»

ЗАДАНИЕ.

 Найти в учебнике «Школы России» задания, для ознакомления детей с нулем. Какой методический прием использован?

ЗАДАНИЕ

 Проанализируйте учебники с точки зрения видов учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают табличные случаи сложения (вычитания) в пределах 10.

 Составьте сравнительную таблицу для учебников по теме «Сложение и вычитание в пределах 10»