Презентация "Практическое применение тригонометрии"

• 1 слайд

  Работу выполнила: ученица 9 «А» класса
  Маслова Мария
  Научный руководитель:
  Белякова Юлия Владимировна,
  учитель математики
  МОУ СОШ № 17 имени А.А. Герасимова
  
  
  УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
   
  Тема: Практическое применение тригонометрии
   
   
  
  

• 2 слайд

  Актуальность исследования состоит в том, что решение данной проблемы позволит вызвать интерес у учащихся к предмету математика.
  
  Практическая значимость работы: результаты данного исследования могут использовать учителя математики в работе по развитию и повышению интереса учащихся к предмету, учащиеся и их родители при решении практических задач в повседневной жизни.
  

• 3 слайд

  
   Цель исследования: развитие интереса к изучению темы «Тригонометрия» через призму прикладного значения изучаемого материала.
  Задачи исследования:
  -дать определение тригонометрии, тригонометрическим функциям;
  -изучить историю возникновения и развития тригонометрии;
  -показать на конкретных примерах возможности использования тригонометрии в жизни человека;
  -самостоятельно составить практические измерительные задачи;
  -сделать вывод о проведенной работе.
  
  

• 4 слайд

  Объект исследования – тригонометрия.
  
  Предмет исследования - прикладная направленность тригонометрии.
  
  Методы исследования – теоретический анализ источников информации;
  отбор и решение конкретных задач прикладного характера по данной теме.
  
  
  

• 5 слайд

  Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Слово тригонометрия составилось из двух греческих слов: τρίγονον ( тригонон-треугольник) и и μετρειν ( метрейн - измерять ) в буквальном переводе означает измерение треугольников. Именно эта задача - измерение треугольников или, как принято теперь говорить, решение треугольников, т. е. определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам (стороне и двум углам, двум сторонам и углу или трем сторонам)- с древнейших времен составляла основу практических приложений тригонометрии.
  

• 6 слайд

  К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: 
  
  синус,
  косинус, 
  тангенс,
  котангенс, 
  секанс и косеканс.
  

• 7 слайд

  Геометрическое определение тригонометрических функций
  Удобно ввести с помощью единичного круга (r=1).
  На окружности обозначим т. М(x;y). Угол между
  радиус-вектором и положительным направлением оси Ох обозначим α
  
  

• 8 слайд

  Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: 
  sinα=y/r. 
  Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).
  Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: 
  cosα=x/r 
  

• 9 слайд

  Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: 
  tanα=y/x,x≠0 
  Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: 
  cotα=x/y,y≠0 
  Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): 
  secα=r/x=1/x,x≠0 
  Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): 
  cscα=r/y=1/y,y≠0 
  
  

• 10 слайд

  Основные тригонометрические тождества
  sin²α + cos²α = 1
  tgα*ctgα = 1
  tgα = sinα:cosα
  ctgα = cosα:sinα
  1 + tg²α = 1:cos²α
  1 + ctg²α = 1:sin²α
  

• 11 слайд

  История тригонометрии в лицах
  Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.
  

• 12 слайд

  История тригонометрии в лицах
  Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус α, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.
  

• 13 слайд

  История тригонометрии в лицах
  Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
  

• 14 слайд

  История тригонометрии в лицах
  Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
  

• 15 слайд

  История тригонометрии в лицах
  Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т.е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. 
  Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. 
  

• 16 слайд

  Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии  (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.
  
  

• 17 слайд

  Решение измерительных задач с использованием тригонометрических функций
  
  ) Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Найти ширину насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м.
   
  Дано: ВС=60м, ВВ1=12м, α=60°.
  Найти: AD-?
   
   
  Решение:
  AD=AB1+B1C1+C1D, т.к. трапеция равнобедренная АВ1=СD1.
  AB1= ВВ1*tg60°12*1,732=20,78 (м)
  AD=2*20,76 + 60 =101,6 (м).
  Ответ:101,6 м.
  
  
  
  

• 18 слайд

  Самолет радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте Z. C cудна определяют угол возвышения самолета, он равен α. Вычислить расстояние d судна от косяка рыбы.
  
  Дано: Z=3 км, α=43°
  Найти: d-?
  Решение: α=α1
  (по свойству параллельные прямых: накрест лежащие углы равны).
  Тогда d=Z*ctgα = 3*1,072 = 3,22 км.
  
  Ответ: 3,22км.
  

• 19 слайд

  Определение наклонной и горизонтальной дальности сбрасывания бомб
  НДС - наклонная дальность
  сбрасывания бомб, А-горизонтальная дальность сбрасывания, Н - высота сбрасывания, φ - угол прицеливания (обычно отрабатывается решающим прибором оптического прицела).
  Дано: H=18000м, φ=25°50´31«
  Найти: НДС, ?
  Решение: НДС=
  
  
  А=18000
  
  А
  

• 20 слайд

  Практическая часть
  В практической части работы мною были составлены и решены задачи на использование тригонометрических функций, так или иначе связанных с измерительными действиями.
  Какова должна быть высота горки, если ее длина 7м, а угол наклона не более 35°.
  Н=7
  Значит, высота горки не должна
  превышать 4м, тогда угол будет меньше 35°, и кататься будет безопаснее.
  
  

• 21 слайд

  Строительство эстакады
  Изготовить такую конструкцию в домашних условиях несложно. Основным требованием будет наличие достаточного пространства.
  Размеры площадки находим по формуле S=a*b, где а - длина площадки, b – ширина, равная 1,8м.
  Обозначим длину автомобиля l, тогда размеры
  a= 2(l+2) .
  a=2(4,54+2) +2,54=15,334(м)
  S=15,35*1,8=27,63 (м²)
   
  

• 22 слайд

  Строительство дома
  Здание размерами 8м x 10м имеет двускатную крышу с наклоном 40°. Определить длину стропил, квадратуру крыши и стоимость покрытия металлочерепицей.
  L=d:cos40°, где d=0,5D. Имеем
  L=5:0,7660=6,53 (м)
  Найдем площадь поверхности крыши S=2*L*b, где b=8м.
  S=2*6,53*8=104,48 (м²).
  Стоимость 1м² металлочерепицы составляет280 рублей. Значит, стоимость материала равна 280*105=29400 рублей.
  
  
  

• 23 слайд

  Пизанская башня
  Пизанская известна тем, что она стоит не вертикально, а немного наклонена. Из-за этого наклона её ещё называют Падающей башней. 
  Дано: ВС=56,7м, АС=4,5м.
  Найти: угол В.
  Решение:
  tgB=AC:BC=4,5:56,7=0,080357,
  Тогда угол В = 4°35´39".
  Высота Пизанской башни в самой высокой точке составляет 56,7м, отклонение вершины от вертикали-4,5м. Найдем угол наклона башни от вертикали.
  Угол наклона башни от вертикали равен углу В
  

• 24 слайд

  Высота дерева
  
  Способ определения высоты дерева при помощи зеркала основан на законе отражения света: угол падения равен углу отражения. На некотором расстоянии от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния CD от зеркала до наблюдателя.
  

• 25 слайд

  Заключение
  
  В ходе проведения исследовательской работы по теме «Практическое применение тригонометрии» мною было рассмотрено применение тригонометрии лишь в некоторых областях нашей жизни, где в основном используются базовые элементы тригонометрии – определения тригонометрических величин, то есть определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
  Я еще раз убедилась в том, что тригонометрия (тригонометрические функции) очень важна в современном мире. Чтобы измерить расстояния до недоступной точки, определение высоту предмета, можно просто воспользоваться тригонометрией. Решение тригонометрических задач способно вызвать заинтересованность у учащихся.
  Изучение тригонометрии необычайно полезно для мозга — поиск нужных формул, преобразование одних элементов в другие заставляет извилины напрягаться, что позволяет мозгу оставаться более подвижным.
  В дальнейшем я планирую изучить тему тригонометрических функций подробнее.
   
  
  

• 26 слайд

  Литература
  Геометрия 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] .- М.: Просвещение, 2013.-383 с.: ил.
  Погорелов А. В. Геометрия: 7-9 кл. / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2008-2014.
  https://fb.ru/article/211382/istoriya-trigonometrii-vozniknovenie-i-razvitie
  https://lyudmilanik.com.ua/spravka/istoriya-vozniknoveniya-trigonometrii/
  https://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрия
  https://www.sites.google.com/site/trigonometry121/teoria
  https://wpcalc.com/kak-voznik-sinus/