Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Понятие предела функции
→
2 слайд
Рассмотрим функцию y= f(x). Определенную для всех х >М, где М некоторое неотрицательное число.
Пределом функции y= f(x), при х →+∞ является число А, если из того, что х неограниченно возрастает, следует, что соответствующее значение функции стремится к А, т.е. f(x) → А, если х →+∞ .
х →а
3 слайд
Рассмотрим функцию y= f(x). Она определена в некоторой окрестности точки x=a, за исключением, может быть, самой точки а. Т. е. пусть она определена для каждого а, удовлетворяющего неравенствам
а- δ <x < а+δ , при некотором δ > 0
4 слайд
Определение
Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x=a, кроме, быть может, самой точки a.
Функция f имеет предел в точке a, равный А, если из того, что х →а, оставаясь в окрестности точки а,
следует, что соответствующие значения функции стремятся к А, т. е. если f(х)→А при x → а. При этом пишется
у
х
О
х0
А
5 слайд
Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),
показательная функция (ax), тригонометрические функции
(sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции
(arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках.
6 слайд
Примеры функций,
имеющих предел в точке
у= x2
Предел функции
при x → 2 равен 4
(при x → 2 значения функции → 4).
Предел функций при x → 0 равен 0.
7 слайд
х
О
а
у
А
у
х
О
а
у
х
О
1
-1
Примеры функций,
не имеющих предел в точке
8 слайд
Предел функции справа
Число A называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого х, удовлетворяющего неравенствам
а < х< а+δ при δ > 0
При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А
у
х
О
а
А2
а+δ
А2+ε
А2-ε
9 слайд
Односторонние пределы
Число В называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого х, удовлетворяющего неравенствам а - δ < х< а при δ > 0
При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к В
Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева.
у
х
О
а
А1
а-δ
А1+ε
А1-ε
Предел функции слева
у
х
О
а
А
10 слайд
Замечательные пределы
первый замечательный предел
второй замечательный предел
11 слайд
Свойства предела функции в точке
Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем
То
если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.
12 слайд
Вычисление предела функции в точке
Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя
.
Используя теорему о пределе частного, получим
Сначала просто пытаемся подставить число в функцию
13 слайд
Найдем
Предел числителя
Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.
Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3.
Тогда
14 слайд
Раскрытие неопределенности
При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида
Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.
Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х2
15 слайд
Разделим числитель и знаменатель на х4
16 слайд
Разделим числитель и знаменатель на х2
подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
17 слайд
Вычислить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Очевидно, что можно сократить на (х+1)
:
Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
18 слайд
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое,
что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять
19 слайд
20 слайд
Примеры
21 слайд
у
х
О
1
-1
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 661 525 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дука Людмила Игоревна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.