• 

  1 слайд

  Приёмы решения геометрических задач
  Шпилева Людмила Александровна
  МАОУ «Лицей «Технический» г. Владивостока»
  

• 

  2 слайд

  Геометрические задачи повышенной сложности
  Решаются с помощью
  применения ключевых задач-теорем
  избранных методов решения
  

• 

  3 слайд

  Используемая литература
  

• 

  4 слайд

  Метод решения: Удвоение медианы
  Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
  
  АВСЕ – параллелограмм
  (по признаку)
  АВСЕ – прямоугольник
  (т.к. В = 90°)
   ВК = АС = КС = КЕ
   ВК = ½ АС
  Ключевая задача
  Удвоим медиану ВК,
  продлив ее за точку К
  

• 

  5 слайд

  Следствие из свойства медианы к гипотенузе. Ключевая задача
  Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника
  
  

• 

  6 слайд

  Использование введения буквенных обозначений величин. Ключевая задача
  Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  
  2α + 2β =180°
  α + β =90°
  АВС = α + β = 90°
  ∆ABD и ∆ BCD – равнобедренные
  BAD =ABD = α; DBC = BCD = β
  

• 

  7 слайд

  Метод вспомогательных построений
  При решении некоторых задач удобно в прямоугольном треугольнике выделять треугольник, образованный медианой и высотой к гипотенузе
  

• 

  8 слайд

  Применение свойства медианы к гипотенузе
  Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.
  
  Проведем медиану CD к гипотенузе.
  ∆ACD - равнобедренный
  CAD = ACD = 15°
  

• 

  9 слайд

  Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.
  
  CAD = ACD = 15°
  CDH = 30° как внешний угол
  CD = 2СН = 2
  АВ = 2СD = 4
  Ответ: 4
  Применение свойства медианы к гипотенузе
  

• 

  10 слайд

  Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
  
  Тренировочная работа ГИА февраль 2014 г
  СD = 6
   CDH = 30°
   CAD = ACD = 15°
  CВА = 90° - 15° = 75°
  Ответ: 15°; 75°
  Применение свойства медианы к гипотенузе
  Проведем медиану CD и высоту СН к гипотенузе.
  

• 

  11 слайд

  Свойства площади треугольника
  Площади треугольников, имеющих общую высоту (равные высоты) , относятся как стороны, к которым эти высоты проведены
  2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
  Ключевые задачи
  

• 

  12 слайд

  Метод вспомогательных построений.
  Использование осевой симметрии
  В прямоугольном треугольнике ABC c прямым углом С медиана BM равна 6, ∠ MBC = 15º. Найдите площадь треугольника ABC.
  Выполним осевую симметрию
  ∆СВМ относительно прямой ВС
  S∆АВС= 2S CBМ, т.к. ВМ - медиана
  S ∆DВC = S CBМ
  S∆АВС=S DBМ = 2S CBМ
  S ABC= ½ ВМ2 ·sin30° = 9
  Ответ: 9
  

• 

  13 слайд

  Построение вспомогательных отрезков в трапеции
  Прямую, параллельную одной из диагоналей трапеции
  Прямую, параллельную одной из боковых сторон трапеции
  Прямые, параллельные обеим боковым сторонам трапеции
  

• 

  14 слайд

  В трапеции ABCD с основаниями BC и AD ∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину основания AD.
  Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе
  Построим MF ║AB, MT ║ CD
  AD – большее основание
  

• 

  15 слайд

  В трапеции ABCD с основаниями BC и AD ∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину основания AD.
  FMT - прямой
  ∆FMT - прямоугольный
  MN- медиана?
  Обозначим AN = NB = b;
  AD = 2b, BM = MC = a
   MN- медиана к гипотенузе
   FT = 2MN = 6
  Применение свойства медианы к гипотенузе
  

• 

  16 слайд

  12. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD ∠BAD = 20°, ∠CDA=70°, средняя линия равна 5, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину основания AD.
  Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе
  MN- медиана к гипотенузе
  FT = 2MN = 6
  FT = 2b – 2a = 6
  средняя линия KL
  AD = 2b = 8
  Ответ: 8
  

• 

  17 слайд

  В параллелограмме ABCD площадь треугольника АСD равна площади треугольника DBС
  Метод решения: Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
  S ∆DAC = S ∆DВC = ½S ABCD
  

• 

  18 слайд

  Площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ
  Метод решения: Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
  АЕ = AD + DE =AD + ВС
  CE ║ BD
  

• 

  19 слайд

  Дополнительные построения в трапеции.
  Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
  
  Проведем CE ║ BD, СР ║MN
  S ABCD = S ∆АCЕ
  Переход к равновеликой вспомогательной фигуре
  

• 

  20 слайд

  Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
  СР – медиана ?
  Обозначим ВМ =MC = а;
  АN = ND = b
  AP =b + а; PE=b – a+2a = b + a
   СР – медиана к гипотенузе
  MC = NP = а; BC = DE = 2a
  PD = b - a
  Дополнительные построения в трапеции.
  Применим метод удвоения медианы
  

• 

  21 слайд

  Дополнительные построения в трапеции. Метод удвоения медианы. Переход к равновеликой фигуре
  
  Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции.
  
  СН=2СР= 4
  S ∆CНЕ = S ∆АCЕ = SABCD
   ∆СНЕ - прямоугольный,  СНЕ = 90°
  СН= 4; СЕ = 5; НЕ = 3
  S ABCD = S ∆АCЕ =S∆СНЕ= ½ СН ·НЕ = ½·4 · 3 = 6
  Ответ: 6
  

• 

  22 слайд

  Метод площадей
  Идея метода: площади фигуры находим, используя различные формулы или различные отрезки и углы. Приравняв эти выражения, получаем уравнение, содержащее известные и искомые величины.
  

• 

  23 слайд

  Медиана BM треугольника ABC равна его высоте AH. Найдите угол MBC.
  Метод площадей
  Пусть МВС = α
  Т. к. АН = ВМ, то
   МВС = α = 30° или МВС = 150°
  Т.к. ВМ - медиана
  

• 

  24 слайд

  Свойство деления сторон треугольника
  окружностью, вписанной в него.
  АМ = АЕ
  BN = BЕ
  CN = CM
  

• 

  25 слайд

  В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.
  Метод площадей
  Обозначим AM = AN = x
  х = 7
  S‍△ABC = (8 + 6 + x) · 4 = (14 + x) · 4.
  С другой стороны, по формуле Герона
  AC = x + 6 = 13,
  AB = x + 8 = 15
  Ответ: 13; 15
  

• 

  26 слайд

  Метод решения: Введение вспомогательной окружности
  Идея метода: ввести в рассмотрение окружность, если это возможно в данной конфигурации, чтобы применить разнообразные свойства отрезков и углов, связанных с ней
  

• 

  27 слайд

  Введение вспомогательной окружности
  В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠ BCA = 20º, ∠ BAC = 35º, ∠ BDС = 70º, ∠ BDA = 40º. Найдите углы между диагоналями этого четырехугольника.
  20º =½· 40º
  Можно построить окружность с центром в точке D, проходящую через остальные три вершины четырехугольника С; В и D
  ∠ BCA и ∠ BCA опираются на отрезок ВА и лежат от него по одну сторону 
  

• 

  28 слайд

  Введение вспомогательной окружности
  ∠ СAD = ∠ DСA =
  = (180º – 40º – 70º ) : 2 = 35º.
  Из Δ APD
  ∠ APD = 180º – 40º – 35º = 105º.
  Углы между диагоналями равны
  105º и 75º
  Ответ: 105°; 75°
   ∆ ACD - равнобедренный
  В выпуклом четырехугольнике ABCD ∠ BCA = 20º, ∠ BAC = 35º, ∠ BDС = 70º, ∠ BDA = 40º. Найдите углы между диагоналями этого четырехугольника.
  CD = DA как радиусы одной окружности
  

• 

  29 слайд

  Введение вспомогательной окружности
  В трапеции ABCD (AD || ВС)  ADB в два раза меньше  АСВ. Известно, что ВС = АС = 5 и AD = 6. Найдите площадь трапеции.
   ADB = ½  АСВ и углы «опираются» на один отрезок – АВ и лежат от него по одну сторону
  Можно построить окружность с центром в точке С и R = ВС = АС = 5
   CD = 5
  ∆ACD - равнобедренный
  Проведём высоту СК
  CК = 4
  Ответ: 22
  3
  3
  

Краткое описание материала