Настоящий материал опубликован пользователем Шатохина Светлана Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Курс профессиональной переподготовки
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Примеры комбинаторных задач
Тема урока:
11.04.2019
Османов М.Г
учитель математики
МКОУ «СОШ № 27»
Пос. Падинского
9 класс
1 урок
2 слайд
09.03.2025
2
Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.
В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
3 слайд
09.03.2025
3
Раздел математики,
в котором изучают
комбинаторные задачи,
называется
комбинаторикой
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
4 слайд
09.03.2025
4
- раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
м
б
о
и
н
а
о
р
и
к
а
к
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
5 слайд
09.03.2025
5
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
6 слайд
09.03.2025
6
Познакомимся с некоторыми
приемами решения комбинаторных задач
решение методом перебора;
решение с помощью дерева возможных вариантов;
решение с помощью комбинаторного правила умножения;
решение с помощью таблиц;
решение с помощью графов.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
7 слайд
09.03.2025
7
№715
У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
Замечание. При решении для краткости будем писать первые буквы имен.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
8 слайд
09.03.2025
8
Составим сначала все пары, в которые входит Вера.
ВЗ, ВМ, ВП, ВС
Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера.
Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя.
Еще одна пара
ЗМ, ЗП, ЗС
МП, МС
ПС
Всего существует 4+3+2+1=10
Решение
Ответ:10 вариантов
Вера
Зоя
Марина
Полина
Света
Получим 4 пары.
Таких пар три.
Их две.
Далее составим пары, в которые входит Полина.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
9 слайд
09.03.2025
9
Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
ш
ж
б
м
10 слайд
09.03.2025
10
Решение
Всего 3+2+1=6
Ответ:6 вариантов
ш
ш
ш
ж
ж
б
б
б
ж
м
м
м
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
11 слайд
09.03.2025
11
Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9 чисел.
Приемы решения комбинаторных задач
метод перебора
11;14;17; (начали с 1)
Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?
41;44;47; (начали с 4)
71;74;77; (начали с 7)
12 слайд
09.03.2025
12
Приемы решения комбинаторных задач дерево возможных вариантов
Решим аналогичную задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись. Для её решения построим схему - дерево возможных вариантов.
число
1
4
7
4
4
7
7
1
1
7
7
1
1
4
4
Ответ: числа 147;174;417;471;714;741
6 чисел (вариантов)
13 слайд
09.03.2025
13
Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
14 слайд
09.03.2025
14
«Если объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m ∙ k способами».
Мы нашли ответ на вопрос, используя так называемое комбинаторное правило умножения
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
15 слайд
09.03.2025
15
У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
Решение. 3·5 = 15
комбинаторное правило умножения
16 слайд
09.03.2025
16
Решите задачу, используя
дерево возможных вариантов
В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет?
Л
В
К
М
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
17 слайд
09.03.2025
17
Ответ: 12 вариантов
Решение
М
В
К
Л
18 слайд
09.03.2025
18
С помощью дерева возможных вариантов решите задачу №714.
Котлеты
Гуляш
Рассольник
Борщ
Обед
Пельмени
Сосиски
Котлеты
Гуляш
Пельмени
Сосиски
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
19 слайд
09.03.2025
19
У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
м
с
б
с
з
ч
к
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
20 слайд
09.03.2025
20
12 различных наборов
м
с
б
з
ч
к
с
21 слайд
09.03.2025
21
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
Ответ:15 чисел (5·3)
1
2
4
5
9
0
2
4
10
14
12
20
22
24
40
42
44
50
52
54
90
92
94
22 слайд
м
б
09.03.2025
22
о
и
н
а
о
р
и
к
а
к
ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или ребра.
вершины
ребра
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
23 слайд
09.03.2025
23
Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Ответ:10 рукопожатий
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
24 слайд
09.03.2025
24
Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?
Решите задачу, используя граф
ч
к
б
п
в
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
25 слайд
09.03.2025
25
6 завтраков
напитки
выпечка
ч
к
б
п
в
Приемы решения комбинаторных задач графы
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
26 слайд
09.03.2025
26
ч
к
б
б
п
п
в
в
Эту же задачу можно решить, используя дерево возможных вариантов
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
27 слайд
09.03.2025
27
ч
ч
ч
ч
к
к
к
к
п
п
п
б
б
б
в
в
в
Решение задачи с помощью таблицы
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
28 слайд
09.03.2025
28
Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?
Решите задачу, используя граф
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
29 слайд
09.03.2025
29
Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
30 слайд
09.03.2025
30
Приемы решения комбинаторных задач графы
Ответ:15 звонков
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
31 слайд
09.03.2025
31
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Ответ:15 звонков
Приемы решения комбинаторных задач
задачи, решаемые с помощью таблиц
32 слайд
Домашнее задание:
п. 30
№ 716 (перебор), 720 (дерево), 723 (граф), 725 (таблица), 727 (умножение).
09.03.2025
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
33 слайд
09.03.2025
33
В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов
у тебя получилось?
Задачи, решаемые
методом
организованного перебора
Приемы решения комбинаторных задач
дополнительные задачи
Задача 1
34 слайд
09.03.2025
34
Задача 1
5 наборов
35 слайд
09.03.2025
35
Приемы решения комбинаторных задач
Задача 2
В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.
Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.
Графы
36 слайд
09.03.2025
36
Решение
37 слайд
09.03.2025
37
В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и
пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу.
Приемы решения комбинаторных задач
Задачи, решаемые
с помощью таблиц
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
38 слайд
09.03.2025
38
Ответ: 25 пар
Женя
Маша
Катя
Юля
Даша
Олег
Вова
Стас
Андрей
Иван
Олег
Олег
Олег
Олег
Олег
Вова
Вова
Вова
Вова
Вова
Стас
Стас
Стас
Стас
Стас
Андрей
Андрей
Андрей
Андрей
Андрей
Иван
Иван
Иван
Иван
Иван
Женя
Женя
Женя
Женя
Женя
Маша
Маша
Маша
Маша
Маша
Катя
Катя
Катя
Катя
Катя
Юля
Юля
Юля
Юля
Юля
Даша
Даша
Даша
Даша
Даша
39 слайд
09.03.2025
39
Задачи, решаемые с помощью таблиц
На завтрак Миша может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?
Ответ:12 (4·3=12)
40 слайд
09.03.2025
40
Существует много видов комбинаторных задач, это лишь некоторые из них.
Спасибо за внимание!
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
7 311 782 материала в базе
Вам будут доступны для скачивания все 292 093 материалы из нашего маркетплейса.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.