Инфоурок Другое ПрезентацииПрезентация проекта по математике "Удивительный мир фракталов"

Презентация проекта по математике "Удивительный мир фракталов"

Скачать материал
Скачать тест к материалу
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • «Удивительный мир фракталов»

    1 слайд

    «Удивительный
    мир
    фракталов»











  • МКОУ «Захаровская СШ» Клетского района Волгоградской областиАвторы: 
Фомина И...

    2 слайд

    МКОУ «Захаровская СШ» Клетского района Волгоградской области
    Авторы:
    Фомина Ирина – 9 класс
    Рыжкова Ангелина – 9 класс

    Руководители:
    Могутова Татьяна Михайловна
    Дерюшкина Оксана Валерьевна

  • Холодная и сухая! Геометрию часто называют холодной и сухой. 
Одна из причин...

    3 слайд

    Холодная и сухая!
    Геометрию часто называют холодной и сухой.
    Одна из причин заключается в ее неспособности описать все то, что окружает нас: форму облака, горы, дерева или берега моря.

  • Новая геометрия!С огромной для нас радостью мы узнали, что в современном мире...

    4 слайд

    Новая геометрия!
    С огромной для нас радостью мы узнали, что в современном мире существует
    новая геометрия – геометрия фракталов.


  • Актуальность проекта:    Роль фракталов в современном мире достаточно велика....

    5 слайд

    Актуальность проекта:
    Роль фракталов в современном мире достаточно велика.
    Убедительных аргументов в пользу актуальности изучения фракталов является широта области их применения.



  • Гипотеза исследования:Фрактальная геометрия – современная, очень интересная о...

    6 слайд

    Гипотеза исследования:
    Фрактальная геометрия – современная, очень интересная область человеческого познания. Появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания мира.

  • Цель проекта:
Изучить теорию фракталов для создания научной работы «Удивитель...

    7 слайд

    Цель проекта:

    Изучить теорию фракталов для создания научной работы «Удивительный мир фракталов»
    и разработки и реализации на компьютере алгоритмов рисования фракталов на плоскости.



    .




  • Задачи проекта:Познакомиться с  историей возникновения и развития фрактальной...

    8 слайд

    Задачи проекта:
    Познакомиться с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
    Изучить виды фракталов, их применение в современном мире.
    Выполнить программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
    Создать научную работу о фракталах, опубликовать ее в сети Интернет.
    Создать брошюры «Фракталы вокруг нас»,
    «Применение фракталов».


  • Этапы работы:Сбор необходимой информации: использование сети Интнрнет, книг,...

    9 слайд

    Этапы работы:
    Сбор необходимой информации: использование сети Интнрнет, книг, публикаций по данной теме.( 2 недели)
    Сортировка информации по темам: систематизация и определение порядка написания работы. Выполнение этапа заняло 2 недели.
    Составление текстовой работы: написание текста, частичное оформление систематизированной информации. Заняло один месяц.
    Создание презентации: сжатие систематизированных сведений, определение структуры презентации, её создание и оформление и проходило в течении месяца.
    Изучение программы создания фракталов и создание собственных фракталов на языках программирования Pascal и Logo (до сегодняшнего дня)



  • История фракталов

    10 слайд

    История
    фракталов

  • Бенуа Мандельброт «Фрактальная геометрия природы»   1977год

    11 слайд

    Бенуа Мандельброт
    «Фрактальная геометрия природы» 1977год

  • «Fractional» -  дробный. Фрактал - 
геометрическая фигура, составленная из не...

    12 слайд

    «Fractional» - дробный.
    Фрактал -
    геометрическая фигура, составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

  • Типы фракталовГеометрические фракталыАлгебраические фракталыСтохастические фр...

    13 слайд

    Типы фракталов
    Геометрические фракталы
    Алгебраические фракталы
    Стохастические фракталы

  • Геометрические фракталы

    14 слайд

    Геометрические фракталы

  • Самые наглядныеГеометрические фракталы по-другому называют классическими. 
 О...

    15 слайд

    Самые наглядные
    Геометрические фракталы по-другому называют классическими.
    Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба.
    Независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.
    Геометрические фракталы по-другому называют классическими, детерминированными или линейными. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.
    Геометрические фракталы по-другому называют классическими, детерминированными или линейными. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.

  • Снежинка Коха Изобретена в 1904 год
немецким математиком 
 Хельге фон Кохом....

    16 слайд

    Снежинка Коха
    Изобретена в 1904 год
    немецким математиком
    Хельге фон Кохом.
    Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.
    Ее фрактальная размерность равна 1.261859507

  • Пятиугольник Дюрера    Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вме...

    17 слайд

    Пятиугольник Дюрера
    Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.

  • Салфетка  СерпинскогоВ 1915 году польский математик 
Вацлав Серпинский 
приду...

    18 слайд

    Салфетка Серпинского
    В 1915 году польский математик
    Вацлав Серпинский
    придумал занимательный объект.
    Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д


    .

  • Кривая драконаИзобретена итальянским математиком 
Джузеппе Пеано.  
Берется о...

    19 слайд

    Кривая дракона
    Изобретена итальянским математиком
    Джузеппе Пеано.
    Берется отрезок прямой. На каждом шаге отрезок заменяется на ломаную из двух равных отрезков, составляющих прямой угол между собой. Направление вершины угла определяется так, чтобы никакие два соседних отрезка в образовавшейся фигуре не лежали на одной прямой.


    .

  • Ковер Серпинского Берется квадрат , разбивается на девять равных квадратов ,...

    20 слайд

    Ковер Серпинского
    Берется квадрат , разбивается на девять равных квадратов , средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.

  • Алгебраические фракталы

    21 слайд

    Алгебраические фракталы

  • Странная фигураСвое название они получили за то, что их строят на основе алге...

    22 слайд

    Странная фигура
    Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул:
    На экран выводится точка определенного цвета.
    Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые
    Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал

  • Множество МандельбротаМножество Мандельброта, которое было построено Бенуа Ма...

    23 слайд

    Множество Мандельброта
    Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом.
    Это первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями, генерируется простой формулой Zn+1=Zna+C, г

  • Множество ЖюлиаМножество Жулиа было изобретено французским математиком Гастон...

    24 слайд

    Множество Жюлиа
    Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа.
    Множества Жулиа можно сгенерировать используя эти точки в качестве начальных значений в уравнении
    Z=ZІ+C.

  • Бассейны НьютонаБассейны Ньютона, фракталы Ньютона – разновидность алгебраиче...

    25 слайд

    Бассейны Ньютона
    Бассейны Ньютона, фракталы Ньютона – разновидность алгебраических фракталов.
    Области с фрактальными границами проявляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения на комплексной плоскости


  • Стохастические фракталы

    26 слайд

    Стохастические фракталы

  • «Предположение»Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозна...

    27 слайд

    «Предположение»
    Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".
    Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза
    Получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

  • ПлазмаТипичный представитель данного класса фракталов «Плазма». 
Для ее пос...

    28 слайд


    Плазма

    Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма».
    Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет.

  • «Великая книга Природы 
написана на языке геометрии» 

Галилео Галилей

    29 слайд

    «Великая книга Природы
    написана на языке геометрии»

    Галилео Галилей

  •    Фракталы вокруг 
нас

    30 слайд

    Фракталы вокруг
    нас

  • В живой природе.Кораллы
Морские звезды и ежи.
Морские раковины.
Цветы и расте...

    31 слайд

    В живой природе.
    Кораллы
    Морские звезды и ежи.
    Морские раковины.
    Цветы и растения (брокколи, капуста)
    Кроны деревьев и листья растений.
    Плоды (ананас)
    Кровеносная система и бронхи у людей и животных



  • В неживой природе.Границы географических объектов.
Береговые линии.
Горные хр...

    32 слайд

    В неживой природе.
    Границы географических объектов.
    Береговые линии.
    Горные хребты.
    Снежинки
    Облака, молнии.
    Морозные узоры на окнах
    Кристаллы, сталактиты,сталагмиты.

  • Природные фракталы.    Почти все природные образования : кроны деревьев, обла...

    33 слайд

    Природные фракталы.
    Почти все природные образования : кроны деревьев, облака, горы, береговые линии имеют фрактальную структуру.
    Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части ,
    то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.

    .
    В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, облака, горные хребты, берега рек, озер, морей.

  • Морские фракталы.Осьминог – морское придонное  животное из отряда головоногих...

    34 слайд

    Морские фракталы.
    Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих.
    Фрактальное строение имеют его тела и присоски на всех восьми щупальцах этого животного.

    .





    Еще одни типичнейшим
    Представителем фрактального подводного мира является коралл.
    В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов

  • Зеленый фракталЗеленый фрактал – листья папоротника.
Листья папоротника имеют...

    35 слайд

    Зеленый фрактал
    Зеленый фрактал – листья папоротника.
    Листья папоротника имеют форму фрактальной фигуры  — они самоподобны.   

  • Фрактал, от которого плачут  Лук – фрактал, который заставляет плакать. 
Коне...

    36 слайд

    Фрактал, от которого плачут
    Лук – фрактал, который заставляет плакать.
    Конечно, фрактал он незамысловатый: обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивный фрактал.

  • Яркий пример фракталаЯрким примером фрактала в природе является «Романеску»,...

    37 слайд

    Яркий пример фрактала
    Ярким примером фрактала в природе является «Романеску», она же «романская брокколи»
    или «цветная коралловая капуста». Почки этой капусты растут по логарифмической спирали

  • Типичный фракталЦветная капуста - 
типичный фрактал.Рассмотрим строение цветн...

    38 слайд

    Типичный фрактал
    Цветная капуста -
    типичный фрактал.
    Рассмотрим строение цветной капусты.
    Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты

  • Сувенир  «Матрешка»Фрактальная игрушка Матрешка - 
    игрушка-сувенир - типи...

    39 слайд

    Сувенир «Матрешка»
    Фрактальная игрушка
    Матрешка -
    игрушка-сувенир - типичный фрактал. Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

  • Человек – это фрактал!Рождается ребенок, растет, становится взрослым  и этот...

    40 слайд

    Человек – это фрактал!
    Рождается ребенок, растет, становится взрослым и этот процесс сопровождается принципом «самоподобия», фрактальностью.

  • «Математика представляет собой
	  собрание выводов, которые могут
	  быть пр...

    41 слайд

    «Математика представляет собой
    собрание выводов, которые могут
    быть применены к чему угодно»

    Бертран Рассел

  • Применение фракталов

    42 слайд

    Применение фракталов

  • Фракталы в литературе



У попа была собака, 
он ее любил.
Она съела кусок мя...

    43 слайд

    Фракталы в литературе




    У попа была собака,
    он ее любил.
    Она съела кусок мяса,
    он ее убил.
    В землю закопал,
    Надпись написал:
    У попа была собака…

    Вот море,
    А на море сyша,
    А на сyше пальма,
    А на пальме клоп сидит
    И видит:
    Море, а  на море сyша… 

  • Фракталы в литературе«Вот дом.
Который построил Джек.
А вот пшеница.
Которая...

    44 слайд

    Фракталы в литературе
    «Вот дом.
    Который построил Джек.
    А вот пшеница.
    Которая в тёмном чулане храница
    В доме,
    Который построил Джек
    А вот весёлая птица-синица,
    Которая ловко ворует пшеницу,
    Которая в тёмном чулане храница
    В доме,
    Который построил Джек…».

  • Фракталы в телекоммуникацииДля передачи данных на расстояния используются ант...

    45 слайд

    Фракталы в телекоммуникации
    Для передачи данных на расстояния используются антенны,
    имеющие фрактальные формы,
    что сильно уменьшает их размеры и вес

  • Организм человекаНа данное время фракталы находят и вероятно будут находить п...

    46 слайд

    Организм человека
    На данное время фракталы находят и вероятно будут находить применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактальных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д. 
    Примеры фрактальных структур в организме человека: бронхи, сосуды, мышцы
    На данное время фракталы находят и вероятно будут находить применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фракталоподобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д. 
    Примеры фракталоподобных структур в организме человека: бронхи, сосуды, мышцы

  • Фракталы внутри насБронхиальные пути в легких.Фрактальная размерность 1.07Ар...

    47 слайд

    Фракталы внутри нас
    Бронхиальные пути в легких.
    Фрактальная размерность 1.07
    Артерии.
    Фрактальная размерность 2.7

  • Фракталы в медицине Теория фракталов  применятся для анализа электрокардиогра...

    48 слайд

    Фракталы в медицине
    Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм
    Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца.

  • Фракталы в медицине Рентгеновские снимки обработанные с помощью фрактальных а...

    49 слайд

    Фракталы в медицине
    Рентгеновские снимки обработанные с помощью фрактальных алгоритмов дают более качественную картинку а соответственно и более качественную диагностику!!

  • Фракталы в медицинеЕще одна область активного применения фракталов –гастроэнт...

    50 слайд

    Фракталы в медицине
    Еще одна область активного применения фракталов –гастроэнтерология.
    Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография — метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.


  • Фракталы в архитектуреФрактальный принцип развития природных и геометрических...

    51 слайд

    Фракталы в архитектуре
    Фрактальный принцип развития природных и геометрических объектов проникает вглубь архитектуры и как образ внешнего решения объекта, и как внутренний принцип архитектурного формообразования

  • Фракталы в дизайне
Дизайнеры со всего мира  начали использовать в своих работ...

    52 слайд

    Фракталы в дизайне

    Дизайнеры со всего мира начали использовать в своих работах замечательные фрактальные структуры, только недавно описанные видными математиками.
    Использование фракталов поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень.
    Привнесение фрактальных структур увеличило во многих случаях как визуальную, так и функциональную составляющие дизайна.
    .

  • Фракталы в мебели.Дизайнер Такеси Миякава 
в детстве мечтал стать математиком...

    53 слайд

    Фракталы в мебели.
    Дизайнер Такеси Миякава
    в детстве мечтал стать математиком.
    Иначе как объяснить этот предмет мебели: тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространство.

  • Фракталы в экономике   Последнее время фракталы стали популярны у экономистов...

    54 слайд

    Фракталы в экономике
    Последнее время фракталы стали популярны у экономистов для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

  • Фракталы в играх     Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример...

    55 слайд

    Фракталы в играх
    Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft),
    где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

  • Фракталы в киноВ  кино для создания различных фантастических пейзажей использ...

    56 слайд

    Фракталы в кино
    В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище.

  • Электронная музыка    Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют и...

    57 слайд

    Электронная музыка
    Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют и виджеи.Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки.

  • Естественные наукиОчень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не...

    58 слайд

    Естественные науки
    Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.
    Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.
    Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

  • Фракталы в физике    В физике фракталы применяются очень широко
 В физике твё...

    59 слайд

    Фракталы в физике
    В физике фракталы применяются очень широко
    В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.
    Пример твёрдого тела - кристаллы.
     

  • Изучение турбулентностиИзучение турбулентности в потоках очень хорошо подстра...

    60 слайд

    Изучение турбулентности
    Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.
    Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать.
    И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем

  • Фракталы в механике жидкостейПри помощи фракталов также можно смоделировать я...

    61 слайд

    Фракталы в механике жидкостей
    При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

  • Фракталы в биологии  В биологии они применяются для моделирования популяций и...

    62 слайд

    Фракталы в биологии
    В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).
    После создания кривой Коха было предложено использовать её
    при вычислении протяжённости береговой линии.

  • Фракталы  для домохозяекФрактальные  сережки        Фрактальное  печенье

    63 слайд


    Фракталы для домохозяек

    Фрактальные сережки
    Фрактальное печенье

  • «Мир устроен не только причудливей, 
 	чем мы думаем, но и причудливей, 
 	че...

    64 слайд

    «Мир устроен не только причудливей,
    чем мы думаем, но и причудливей,
    чем мы можем предполагать»

    Джон Холдейн

  • Фрактальная графика

    65 слайд

    Фрактальная графика

  • 66 слайд

  • 67 слайд

  • 68 слайд

  • 69 слайд

  • 70 слайд

  • 71 слайд

  • 72 слайд

  • 73 слайд

  • Практическая часть 
проекта

    74 слайд

    Практическая часть
    проекта

  • Результат работыСоздали научную работу 
«Путешествие в мир фракталов»

    75 слайд

    Результат работы
    Создали научную работу
    «Путешествие в мир фракталов»

  • Автор: Рыжкова Ангелина

    76 слайд

    Автор: Рыжкова Ангелина

  • Автор: Фомина Ирина.

    77 слайд

    Автор: Фомина Ирина.

  • Наши достиженияПриняли участие с работой « Путешествие в мир фракталов» в VII...

    78 слайд

    Наши достижения
    Приняли участие с работой « Путешествие в мир фракталов» в VII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Наука 2.0» по учебному предмету «Математика». Заняли первое место.
    Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» во Всероссийском конкурсе «Великие открытия и изобретения». Заняли первое место.
    Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» в VIII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Я – исследователь» по учебному предмету Математика. Заняли первое место.

  • Гимн фракталам!Можно с полной  уверенностью сказать об огромном практическом...

    79 слайд

    Гимн фракталам!
    Можно с полной уверенностью сказать об огромном практическом применении фракталов и фрактальных алгоритмов на сегодняшний день.
    Спектр областей где применяются фракталы очень обширен.
    И наверняка, в ближайшем обозримом будущем, перечень областей где будут применятся фракталы будет только пополняться!!!

  • Результаты работы:Познакомились  с  историей возникновения и развития фрактал...

    80 слайд

    Результаты работы:
    Познакомились с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
    Изучили виды фракталов, их применение в современном мире.
    Создали собственные фракталы на языках программирования Pascal и Logo
    Создали научную работу о фракталах, опубликовали ее в сети Интернет.
    Создали брошюры «Фракталы вокруг нас», «Применение фракталов»
    Провели внеклассные мероприятия «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11классов.

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 892 228 материалов в базе

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 08.03.2018 2134
    • PPTX 6.4 мбайт
    • 16 скачиваний
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Могутова Татьяна Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Могутова Татьяна Михайловна
    Могутова Татьяна Михайловна
    • На сайте: 7 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 9
    • Всего просмотров: 136986
    • Всего материалов: 53

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой