Презентация "Производная сложной функции" 10 класс

• 1 слайд

  Производная
  
  

• 2 слайд

  Содержание:
  Приращение функции
  Понятие о производной
  Определение производной
  Правила вычисления производной
  Производная сложной функции
  Производные тригонометрических функций
  

• 3 слайд

  Приращение функции.
  Δf=f(x0+ Δ x)-f(x0)
  
  конспект
  

• 4 слайд

  Определение.
  Производной функции ƒ в точке
  х0 называется число, к которому стремится разностное отношение, при Δ х, стремящемся к нулю.
  
  Конец.
  

• 5 слайд

  Понятие о производной.
  (x2)΄= Δ у/ Δx=(x0+ Δx)2-x02/ Δx=x20+2x Δx+
  +Δx2-x02/ Δx=2x0 Δx+ Δx2/ Δx=2x0+Δx→2x0
  ↓
  0
  Назад
  

• 6 слайд

  Определение производной.
  f΄(x0)=lim /Δx →0
  f(x0+ Δx)-f(x0)/Δx
  f (x)-дифференцируема
  с΄=0; x΄=1; (c x)΄=c (x)΄= c
  
  Далее.
  

• 7 слайд

  Правило вычисления производных.
  (u ± v ) ΄ = u ΄± v ΄
  (u · v ) ΄ = u΄ v + u v ΄
  (u / v) ΄ =u ΄ v – u v ΄/ v2
  (x n) ΄=n x n-1
  Вперед.
  

• 8 слайд

  Производная сложной функции.
  h ( x ) = g ( f ( x ) )
  h ΄(x0)=g ΄(f(x0))·f ΄(x0)
  Далее.
  

• 9 слайд

  Производные тригонометрических функций.
  (sin x) ΄ =cos x
  (cos x) ΄ = - sin x
  (tg x) ΄ = 1/cos2
  (ctg x) ΄ = -1/sin2 x
  h( x)=g ( f ( x ) )
  h ΄ (x0)=g ΄ (f(x0))·f ΄ (x0)
  Далее.
  

• 10 слайд

  Дифференцирование.
  Функцию, имеющую производную в точке хо называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D1-множество точек, в которых функция ƒ дифференцируема.Сопоставляя каждому х € D1число ƒ ΄ (х), получим новую функцию с областью определения D1.Эта функция называется производной функции
  y = ƒ (х).Мы получаем формулы (х3)=3х2
  (х2)=2х,(kх +b) ΄ =k.В формуле k=0, b=С
  где С произвольная постоянная получаем
  что С΄ =0,производная постоянная равна нулю.
  

• 11 слайд

  Приращение функции.
  При сравнении значения функции ƒ в некоторой фиксированной точке х0 значениями этой функции в различных
  Точках х лежащих в окрестности х0,удобно выражать разность ƒ (х)-ƒ (х0)
  Через разность х-х0,пользуясь понятиями «приращение аргумента»и
  «приращение функции».
  Δ х = х-х0 → х = х0+ Δ х.
  Вследствие этого функции ƒ изменится на
  Величину ƒ (х)- ƒ (х0)= ƒ (х0+ Δ х)-ƒ (х0).
  
  

• 12 слайд

  Приращение функции.
  Эта разность называется приращением
  Функции ƒ в точке х0 соответствующим
  приращению Δ х, и обозначается Δ ƒ ,
  Т.е.по определению Δ ƒ = ƒ (х0+ Δ х)- ƒ (х0),
  откуда
  ƒ(х)= ƒ (х0+ Δ х)= ƒ (х0)+ Δ ƒ .
  Обратите внимание :при фиксированном х0
  Приращение Δ ƒ есть функция от Δ х.
  Δ ƒ называют также приращением зависимой
  Переменной и обозначают через Δ у для функции
  У= ƒ (х).
  ДАЛЬШЕ
  

• 13 слайд

  Производная сложной функции
  Если функция f имеет производную в точке х0,а функция g имеет производную в точке у0=f(х0),то сложная
  функция h(х)=g (f(х)) также имеет производную в точке х0,причем
  h΄(х0)=g΄(f(х0)) · f΄(х0).
  Далее.
  

• 14 слайд

  Приращение функции.
  Пример 1.Найдем приращения Δ х и Δ f в точке х0 ,если f(х)= Х2 ,А) Х0=2 и: Х=1,9;
  Δ х = х-х0=1,9-2= - 0,1;
  Δ f =f(1,9)-f(2)=1,92-22= - 0,39
  
  НАЗАД
  

• 15 слайд

  Производная сложной функции.
  Пример 1.Найдем производную функции
  h (x)=(2x+3)100
  Функцию h можно представить в виде сложной функции
  h (x)=g (f (x)), где g (y)=y100, y=f (x)=2x+3.
  Так как f ΄(x)=2 и g΄(y)=100y99, имеем
  h΄(x)=2·100y99=200(2x+3)99
  Назад.
  

• 16 слайд

  Правила вычисления производных.
  Правило 1.Если функции U и v дифференцируемое в точке х0 ,то их сумма дифференцируема в этой точке и производная суммы равна сумме производных.
  (U + v) ΄ = U΄ + v΄ .
  Правило 2.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0,то их произведение дифференцируемо в этой точке (u v ) ΄= u΄ v +u v΄.
  Правило 3.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функции v не равна нулю в этой точке то
  Частное u/ v также дифференцируемо в х0 и
  (u/ v ) ΄ =(u΄ v- u v΄)/v2.
  
  Далее.
  

• 17 слайд

  Правила вычисления производных.
  Пример 1. Найдем производные функций:
  А) f (x)=x2-1/x
  (1/x) ΄= - x΄/x2= -1/x2, поэтому (x2- 1/x) ΄=
  =(х2) ΄-(1/x) ΄=2x-(-1/x2)=2x+1/x2
  Конец.
  

• 18 слайд

  Производные тригонометрических функций.
  Формула производной синуса. Докажем, что функция синуса имеет производную в любой точке и (sin x) ΄= cos x.
  Применяя формулу
  sin α –sinβ=2cos α β/2 · sin α+β/2,
  Находим
  Δ sin x/ Δ x=sin(x0+Δ x)-sin x0/Δ x =
  =2cos(x0+Δ x/2)sin Δx/2/ Δ x=
  = sinΔx/2/Δx/2cos(x0+Δx/2).
  Далее.
  

• 19 слайд

  Производные тригонометрических функций.
  Для вывода формулы достаточно показать ,что
  а) sinΔx/2/Δx/2→ 1при Δx→ 0;
  б) cos(x0+Δx/2) → cos x0 при Δx→ 0
  Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу. Действительно, при Δ х→0
  (x0+Δx/2) Δ Δ sin x/Δx=sinΔx/2/Δx/2Δ· cos →
  →1· cos x0=cos x0.
  
  
  Конец.
  

• 20 слайд

  Формула приближенного вычисления.
  У=f(x0)+f΄(x0)(x-x0)
  У ≈f(x0)+f '(x0) Δx
  

• 21 слайд

  Производная в физике и технике.
  Vср (Δt)=Δx/Δt→v(t0)
  Δx/Δt→x'(t0)
  V (t)= x´(t)
  a=v' (t)
  

• 22 слайд

  Метод интервалов.
  1f <=>Δf →0 при Δ х →0
  f (x) →(a) при х →а
  f '=> f
  2 f и f ≠ 0 => (±соns)
  

• 23 слайд

  Метод интервалов.
  У=k x + b A(x0;f(x0))
  У=f '(x) • x + b
  f(x0)23=f´(x0) • x0 + b
  b= f(x0)-f´(x0) • x0
  У=f ´(x0) x + f(x0)-f´(x0) • x0
  У=f(x0)+f´(x0) (x-x0)
  

• 24 слайд

  Касательная к графику функции.
  k=f ´(x0)=tgα
  f ´(x1)>0; f ´(x2)=0; f ´(x3)<0
  f ´(x1)=1; f ´(x2)=0; f ´(x3)=-1
  

• 25 слайд

  Касательная к графику функции.
  f (c)= f (b ) – f ( a ) / b - a