Презентация публичной лекции "Метод координат и метод векторов в решении задач"

• 1 слайд

  Публичная лекция.
  Метод координат
  и метод векторов при решении задач
  Подготовила
  учитель математики
  Краснова Е.В.
  

• 2 слайд

  Рассмотрение эффективных приемов использования популярных методов решения задач (векторного и координатного)
  Рассмотрение примеров решения задач.
  Цель:
  

• 3 слайд

  Пьер Ферма
  
  Рено Декарт
  
  
  
  
  
  История
  

• 4 слайд

  Координаты точки на прямой.
  
  Некоторые определения и вычислительные формулы
  А(а)
  0
  1
  а
  А
  

• 5 слайд

  1. Вычисление длины отрезка АВ.
  Дано: А(х1), В(х2).
  Найти АВ.
  Решение:
  
  Задачи на прямой в координатах
  

• 6 слайд

  2. Вычисление координаты середины отрезка.
  Дано: А(х1), В(х2), С – середина отрезка АВ.
  Найти координату С.
  Решение:
  
  Задачи на прямой в координатах
  

• 7 слайд

  Координаты точки на плоскости
  Определение координат
  точки методом проекций на оси.
  

• 8 слайд

  Координаты точки на плоскости
  Определение координат
  точки через координаты
  ее радиус-вектора.
  

• 9 слайд

  Деление отрезка пополам.
  
  Дано: А(х1, у1), В(х2, у2),С(х, у) – середина отрезка АВ.
  Найти координаты С.
  Решение:
  

• 10 слайд

  
  Дано: А(х1, у1), В(х2, у2)
  Найти АВ.
  Решение:
  
  Расстояние между точками
  

• 11 слайд

  Коллинеарность векторов
  
  Первый признак:
  
  
  Второй признак:
  
  Некоторые свойства векторов
  

• 12 слайд

  Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца.
  Некоторые свойства векторов
  

• 13 слайд

  Вычисление длины вектора и длины отрезка
  
  Некоторые свойства векторов
  

• 14 слайд

  Скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат
  
  Некоторые свойства векторов
  

• 15 слайд

  Признак перпендикулярности векторов:
  два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
  
  Некоторые свойства векторов
  

• 16 слайд

  Вычисление угла между векторами.
  
  Некоторые свойства векторов
  

• 17 слайд

  Вычисление площади параллелограмма, построенного на двух векторах.
  Некоторые свойства векторов
  

• 18 слайд

  Параметрические уравнения прямой.
  Уравнения прямой и отрезка
  

• 19 слайд

  Канонические уравнения прямой.
  Уравнения прямой и отрезка
  

• 20 слайд

  Общее уравнение прямой.
  Уравнения прямой и отрезка
  

• 21 слайд

  Условие перпендикулярности двух прямых, заданных как графики линейных функций.
  
  Уравнения прямой и отрезка
  

• 22 слайд

  Уравнение окружности
  

• 23 слайд

  Примеры решения задач
  Задача 1. Дана прямоугольная трапеция с основаниями a и b. Найдите расстояние между серединами ее диагоналей.
  Решение. 1. Введем систему координат как указано на рисунке 3. Тогда вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0).
  (y – высота трапеции, АВ).
  2. Найдем координаты середин
  диагоналей. Для точки О,
  для точки О1:
  .
  По формуле найдем расстояние между точками О и О1:
  

• 24 слайд

  Примеры решения задач
  Задача 2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного
  треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см.
  Найдите две другие медианы этого треугольника.
  Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 4. В этой системе вершины треугольника будут иметь координаты:
  А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка М2(0,0).
  .
  Вычислим длины отрезков АМ1 и СМ3, используя формулу (6). Для АМ1 получим:
  .
  

• 25 слайд

  Примеры решения задач
  Задача 3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы острых углов. Вычислите косинус угла между ними.
  Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 5. В этом случае Вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а середины катетов (Здесь а – длина катета.):
  
  2. По формуле (4) вычислим координаты векторов
  

• 26 слайд

  Метод координат в пространстве
  

• 27 слайд

  Координаты вектора по координатам его начала и конца определяются так: если М1(x1,y1,z1),
  M2 (x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
  Основные формулы
  

• 28 слайд

  Скалярное произведение векторов = (а1, а2, а3) и = (b1, b2, b3) в координатах равно:
  Основные формулы
  

• 29 слайд

  Длина вектора = (а1, а2, а3) вычисляется по формуле
  
  Основные формулы
  

• 30 слайд

  Угол между векторами = (а1, а2, а3) и = (b1, b2, b3) из определения скалярного произведения
  Основные формулы
  

• 31 слайд

  Угол между векторами = (а1, а2, а3) и = (b1, b2, b3) из определения скалярного произведения
  
  
  Основные формулы
  

• 32 слайд

  Расстояние между двумя различными точками М1(x1,y1,z1) и M2 (x2, y2, z2) равно
  
  
  Основные формулы
  

• 33 слайд

  Уравнение сферы с центром в точке С(x0,y0,z0) и радиусом r имеет вид:
  
  (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2
  Основные формулы
  

• 34 слайд

  Координаты точки М(x,y,z) – середины отрезка М1М2, где М1(x1,y1,z1) и
  M2 (x2, y2, z2), М1 ≠ М2 находятся по формулам:
  
  Основные формулы
  

• 35 слайд

  Условие коллинеарности векторов
  Основные формулы
  

• 36 слайд

  Примеры решения задач
  

• 37 слайд

  Примеры решения задач
  

• 38 слайд

  Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.
  
  Находим координаты необходимых для нас точек.
   
  Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.
   
  Переходим от аналитических соотношений к геометрическим
  Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:
  
  

• 39 слайд

  Примеры решения задач
  Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра имеют следующую длину: AB=8, AD=6, AA1=12. Пусть М – середина отрезка DA1, а F – центр стороны BC.
  Рисунок
  1.Введите систему координат, с началом в точке А и координатными осями, направленными по лучам AB, AD, и AA1- соответственно, и определите координаты всех вершин параллелепипеда и точек M и F.
  2.Составьте уравнения прямых FD1 и BM.
  3.Определите угол между этими прямыми.
  4.Найдите координаты вектора, перпендикулярного плоскости AD1F.
  5.Определите угол между этой плоскостью и прямой BM.
  

• 40 слайд

  Примеры решения задач
  

• 41 слайд

  Примеры решения задач
  

• 42 слайд

  Примеры решения задач
  

• 43 слайд

  Примеры решения задач
  

• 44 слайд

  Многие задачи в математике решаются методом координат, суть которого состоит в следующем:
  
  Задавая фигуры уравнениями (неравенствами) и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы применяем алгебру к решению геометрических задач;
  
  Пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические соотношения геометрически, применяя геометрию к решению алгебраических задач.
  
  

• 45 слайд

  СПАСИБО
  ЗА
  ВНИМАНИЕ!
  

Краткое описание документа:

Публичная лекция "Метод координат и метод векторов при решении задач" была заслушана на заседании научного общества учащихся школы.

Аудитория слушателей разновозрастная. Это учащиеся с 5 по 11 класс, интересующиеся математикой.

Учащимся представлены необходимые для понимания темы научные факты, приведены примеры использования методов координат и векторных методов в решении задач различного уровня сложности.