Презентация "Решение логарифмических неравенств"

• 1 слайд

  Николаева Наталья Сергеевна,
  учитель математики и информатики,
  МОУ «Гимназия № 13 Тракторозаводского района Волгограда»
  
  Решение логарифмических неравенств
  

• 2 слайд

  № 1. 𝒍𝒐𝒈 𝟒 𝟏−𝒙 𝒙−𝟓 + 𝒍𝒐𝒈 𝟎,𝟐𝟓 𝒙−𝟏 ≥ 𝒍𝒐𝒈 𝟏 𝟒 (𝒙−𝟓) 𝟐
  Решение.
  𝑙𝑜𝑔 4 1−𝑥 𝑥−5 − 𝑙𝑜𝑔 4 𝑥−1 + 𝑙𝑜𝑔 4 (𝑥−5) 2 ≥0;
  
  𝑙𝑜𝑔 4 (1−𝑥) (𝑥−5) 2 (𝑥−5)(𝑥−1) ≥0; 1−𝑥 𝑥−5 >0; 𝑥−1>0; (𝑥−5) 2 >0; <=> 𝑙𝑜𝑔 4 5−𝑥 ≥0; 1−𝑥<0; 𝑥−5<0; <=>
  
  
  <=> 5−𝑥≥1; 1<𝑥<5; <=> 𝑥≤4; 1<𝑥<5; <=>1<𝑥≤4.
  
  Ответ: (1;4]. 
  1−𝑥<0
  

• 3 слайд

  № 2. 𝟐𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐𝒙 − 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙 𝟏−𝒙 ≤ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒙 −𝟑
  Решение.
  𝑙𝑜𝑔 5 (2𝑥) 2 − 𝑙𝑜𝑔 5 𝑥 1−𝑥 ≤ 𝑙𝑜𝑔 5 8𝑥 2 + 1 𝑥 −3 2𝑥>0; ;<=>
  
  𝑙𝑜𝑔 5 4 𝑥 2 (1−𝑥) 𝑥 ≤ 𝑙𝑜𝑔 5 8𝑥 2 + 1 𝑥 −3 ; 𝑥>0; 𝑥 1−𝑥 >0; <=> 4𝑥(1−𝑥)≤ 8𝑥 2 + 1 𝑥 −3; 𝑥>0; 1−𝑥>0; <=>
  
  <=> 4 𝑥 2 −4 𝑥 3 ≤ 8𝑥 3 +1−3𝑥; 0<𝑥<1; <=> 12 𝑥 3 −4 𝑥 2 −3𝑥+1≥0; 0<𝑥<1; <=>
  
  <=> 4 𝑥 2 −1 (3𝑥−1)≥0; 0<𝑥<1; <=> − 1 2 ≤𝑥≤ 1 3 ; 𝑥≥ 1 2 ; 0<𝑥<1; <=> 0<𝑥≤ 1 3 ; 1 2 ≤𝑥<1.
  Ответ: 0; 1 3 ∪ 1 2 ;1 . 
  𝑥>0
  𝑥>0
  

• 4 слайд

  № 3. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏𝟖−𝟗𝒙 − 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙+𝟐 > 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟖
  Решение.
  𝑙𝑜𝑔 2 −9(𝑥−2) > 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−2 (𝑥−4)+ 𝑙𝑜𝑔 2 𝑥+2
  
  −9 𝑥−2 > 𝑥−2 𝑥−4 𝑥+2 ; 𝑥−2 𝑥−4 >0; 𝑥+2>0; <=>
  
  <=> −9 𝑥−2 > 𝑥−2 𝑥−4 𝑥+2 ; 𝑥−2 𝑥−4 >0; 𝑥+2>0; −9 𝑥−2 >0;(добавим условие) <=>
  
  <=> −9< 𝑥−4 𝑥+2 ; 𝑥−4<0; 𝑥+2>0; 𝑥−2<0; <=> 𝑥 2 −2𝑥+1>0; 𝑥<4; 𝑥>−2; 𝑥<2; <=> 𝑥≠1; −2<𝑥<2.
  
  Ответ: (−2;1)∪(1;2). 
  𝑥−2<0
  

• 5 слайд

  № 4. 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏 𝒙 −𝟏 + 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟏 𝒙 +𝟏 ≤ 𝒍𝒐𝒈 𝟐 𝟐𝟕𝒙−𝟏
  Решение.
  𝑙𝑜𝑔 2 1−𝑥 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 2 1+𝑥 𝑥 ≤ 𝑙𝑜𝑔 2 27𝑥−1 ;
  
  𝑙𝑜𝑔 2 1−𝑥 𝑥 1+𝑥 𝑥 ≤ 𝑙𝑜𝑔 2 27𝑥−1 ; 1−𝑥 𝑥 >0; 1+𝑥 𝑥 >0; <=> 1−𝑥 𝑥 1+𝑥 𝑥 ≤27𝑥−1; 0<𝑥<1; 𝑥<−1; 𝑥>0; <=>
  
  <=> 1− 𝑥 2 ≤27 𝑥 3 − 𝑥 2 ; 0<𝑥<1; <=> 27 𝑥 3 −1≥0; 0<𝑥<1; <=> 𝑥≥ 1 3 ; 0<𝑥<1;
  
  1 3 ≤𝑥<1.
  Ответ: 1 3 ;1 . 
  

• 6 слайд

  № 5. 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝟐− 𝟐 𝒙 −𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙+𝟑 ≤ 𝒍𝒐𝒈 𝟓 𝒙+𝟑 𝒙 𝟐
  Решение.
  𝑙𝑜𝑔 5 2(𝑥−1) 𝑥 ≤ 𝑙𝑜𝑔 5 𝑥+3 𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔 5 𝑥+3 ;
  
  2(𝑥−1) 𝑥 ≤ 𝑥+3 2 𝑥 2 ; 2(𝑥−1) 𝑥 >0; 𝑥+3 𝑥 2 >0; 𝑥+3>0; <=> 2(𝑥−1) 𝑥 ≤ 𝑥+3 2 𝑥 2 ; 𝑥−1 𝑥 >0; 𝑥+3>0; <=> 2 𝑥 2 −2𝑥≤ 𝑥 2 +6𝑥+9; 𝑥<0; 𝑥>1; 𝑥>−3; <=>
  
  <=> 𝑥 2 −8𝑥−9≤0; −3<𝑥<0; 𝑥>1; <=> −1≤𝑥≤9; −3<𝑥<0; 𝑥>1; <=> −1≤𝑥<0; 1<𝑥≤9.
  
  
  Ответ: [−1;0)∪(1;9].