Презентация "Решение планиметрических задач высокого уровня сложности" 9 класс

• 1 слайд

  Решение планиметрических задач высокого уровня сложности
  МАОУ «Белоевская СОШ»
  Автор:
  Батина Надежда Ивановна учитель математики высшей категории
  2014
  

• 2 слайд

  Задача №1
  Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.
  

• 3 слайд

  Решение задачи №1
  Продолжим прямые AB и CD до пересечения их в точке O, тогда точка O лежит на прямой,
  проходящей через середины оснований.
  Поскольку ∠A и ∠D в сумме дают 90°, то угол O – прямой.
  

• 4 слайд

  Докажем, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности длин оснований. Проведем
  через точку С прямые CE и CK, параллельные AB и OM соответственно, тогда CK – медиана прямоугольного треугольника ECD, поэтому
  CK = 1/2 ED = 1/2 (AD - BC).
  Из условия задачи PM=8, а средняя линия трапеции 15.
  

• 5 слайд

  Далее
  PM = CK = 1/2 (AD - BC) = 8;
  1/2 (AD + BC) = 15.
  Решая полученную систему, имеем:
  BC = 7,
  AD=23.
  Ответ: 7 и 23.
  

• 6 слайд

  Задача №2
  Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке G. Найдите FG, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.
  

• 7 слайд

  План Решения задачи №2
  1. Доказать, что AFB –прямоугольный;
  2. Доказать, что FM||AD
  (воспользоваться свойством медианы прямоугольного треугольника);
  3. Значит, MF лежит на средней линии MN.
  Аналогично для отрезка NG.
  4. FG = MN – 1/2 AB – 1/2 CD
  Ответ: FG=7.
  

• 8 слайд

  Задача №3
  В параллелограмме ABCD длина диагонали BD равна 2, угол C равен 75°. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой BC. Найдите площадь параллелограмма.
  

• 9 слайд

  Решение задачи №3
  BC – касательная к окружности, описанной около треугольника ABD. Пусть O – центр этой окружности, тогда OB⊥BC, значит OB⊥AD. Хорда AD перпендикулярна к диаметру,
  значит, AK = KD.
  

• 10 слайд

  Итак, BK – медиана и высота треугольника ABD, поэтому AB = BD = 2.
  ∠A = ∠D = 75°, значит,
  ∠B = 30°
  Площадь параллелограмма
  в два раза больше площади треугольника ABD, следовательно:
  S = AB · BD · sin 30° = 2
  Ответ: 2.