Презентация "Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ"

• 1 слайд

  Тригонометрия
  Решение тригонометрических уравнений
  Подготовил учитель математики
  Абдукадырова Бунафша Химойевна
  

• 2 слайд

  Повторение!
  Решение уравнений 𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑎, 𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑎 и 𝑡𝑔𝑥=𝑎
  
  

• 3 слайд

  у
  х
  1 2
  𝜋 6
  𝜋− 𝜋 6
  2. Отмечаем значение « 1 2 » на оси у
  1. Выходим на окружность
  3. Проводим горизонтальную прямую до пересечения с окружностью.
  Записываем корни: х= 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧, где n- количество оборотов.
  𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  Ответ: х= 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 ; 𝑥= 5𝜋 6 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  𝑠𝑖𝑛𝑥= 1 2
  Алгоритм решения уравнения
  Внимательно! Значение «а» ( 1 2 ) мы отмечаем на оси у
  

• 4 слайд

  Частные случаи! Окружность обязательна!
  

• 5 слайд

  у
  х
  - 3 2
  2
  П- 𝜋 6
  𝜋+ 𝜋 6
  2. Отмечаем значение «− 3 2 » на оси x
  1. Выходим на окружность
  3. Проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью.
  Находим сначала угол 3х: 3х= П- 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧,
  3𝑥=П+ 𝜋 6 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  cos3𝑥=− 3 2
  4. Получаем точки на окружности- корни нашего уравнения.
  Помним, что делаем, когда дается сложный угол!
  3х= 5𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 ;
  3𝑥= 7𝜋 6 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  ×
  ×
  3х= 5𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
  3𝑥= 7𝜋 6 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  х= 5𝜋 18 + 2𝜋𝑛 3 , 𝑛𝜖𝑧
  𝑥= 7𝜋 18 + 2𝜋𝑛 3 ,𝑛𝜖𝑧
  |÷3
  |÷3
  Ответ: х= 5𝜋 18 + 2𝜋𝑛 3 , 𝑛𝜖𝑧; 𝑥= 7𝜋 18 + 2𝜋𝑛 3 ,𝑛𝜖𝑧
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  у
  х
  3 2
  𝜋 6
  − 𝜋 6
  2. Отмечаем значение « 3 2 » на оси x
  1. Выходим на окружность
  3. Проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью.
  И записываем корни: х= - 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 𝑥=− 𝜋 6 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  Корни практически одинаковые, поэтому в ответе корни можно объединить таким образом Ответ: х= ± 𝜋 6 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
  cos𝑥= 3 2
  Алгоритм решения уравнения
  ×
  ×
  Внимательно! Значение «а» ( 3 2 ) мы отмечаем на оси х
  

• 7 слайд

  у
  х
  − 2 2
  𝜋− 𝜋 4
  𝜋+ 𝜋 4
  2. Отмечаем значение «− 2 2 » на оси x
  1. Выходим на окружность
  3. Проводим вертикальную прямую до пересечения с окружностью.
  И записываем корни: х= π− 𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧,
  𝑥=𝜋+ 𝜋 4 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  Ответ: х= 3𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧;х= 5𝜋 4 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  
  cos𝑥=− 2 2
  Алгоритм решения уравнения
  ×
  ×
  х= - 3𝜋 4 +2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧,
  𝑥= 5𝜋 4 +2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑧
  

• 8 слайд

  Частные случаи для КОСИНУСА. Выучить!
  

• 9 слайд

  Уравнение tgx=a
  1
  1
  0
  a
  𝛼
  
  𝛼
  
  𝝅+𝜶
  𝝅
  𝒙=𝜶+𝟐𝝅𝒏.𝒏𝝐𝒛
  𝒙=𝝅+𝜶+𝟐𝝅𝒏.𝒏𝜺𝒛
  Корни уравнения:
  𝜶 берем из таблицы в зависимости от "а"
  

• 10 слайд

  Уравнение tgx= 𝟑 ; 3 =1,7
  1
  1
  0
  𝟑
  𝜋 3
  
  𝝅+ 𝝅 𝟑
  𝝅
  𝒙= 𝝅 𝟑 +𝟐𝝅𝒏.𝒏𝝐𝒛
  𝒙= 𝟒𝝅 𝟑 +𝟐𝝅𝒏.𝒏𝜺𝒛
  Корни уравнения:
  

• 11 слайд

  Уравнение tg2x=-1
  1
  1
  0
  -1
  - 𝜋 4
  
  𝝅− 𝝅 𝟒
  𝝅
  𝟐𝒙=− 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏.𝒏𝝐𝒛
  𝟐𝒙=𝝅− 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏.𝒏𝜺𝒛
  Корни уравнения:
  𝟐𝒙=− 𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏.𝒏𝝐𝒛 | :𝟐
  𝟐𝒙= 𝟑𝝅 𝟒 +𝟐𝝅𝒏.𝒏𝜺𝒛 | :𝟐
  𝒙=− 𝝅 𝟖 +𝝅𝒏.𝒏𝝐𝒛
  𝒙= 𝟑𝝅 𝟖 +𝝅𝒏.𝒏𝜺𝒛
  Ответ: 𝒙=− 𝝅 𝟖 +𝝅𝒏.𝒏𝝐𝒛 ;𝒙= 𝟑𝝅 𝟖 +𝝅𝒏.𝒏𝜺𝒛
  

• 12 слайд

  Закрепление материала!
  На прошлых уроках мы научились решать уравнения, требующие преобразований, а точнее когда нам дано ПРОИЗВЕДЕНИЕ в уравнении. (смотреть следующие слайды).
  

• 13 слайд

  2𝑠𝑖𝑛𝑥+1 2𝑐𝑜𝑠𝑥− 3 =0
  Помним про правило - произведение равно нулю, значит, хотя бы один множителей равен нулю и приравниваем каждый множитель к нулю :
  Решим уравнение:
  1. 2𝑠𝑖𝑛𝑥+1=0
  2. 2𝑐𝑜𝑠𝑥− 3 =0
  2𝑠𝑖𝑛𝑥=−1
  |÷2
  𝑠𝑖𝑛𝑥=− 1 2
  И решаем простейшее тригонометрические уравнения.
  Окружность обязательно!
  2𝑐𝑜𝑠𝑥= 3
  |÷2
  𝑐𝑜𝑠𝑥= 3 2
  𝑠𝑖𝑛𝑥=− 1 2
  𝑥
  у
  − 1 2
  ×
  ×
  − 𝜋 6
  П+ 𝜋 6
  𝑥=− 𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝑥= 7𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝑐𝑜𝑠𝑥= 3 2
  у
  𝑥
  𝜋 6
  ×
  ×
  − 𝜋 6
  𝑥= 𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝑥=− 𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  Ответ: х=− 𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧;𝑥= 7𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧; 𝑥=± 𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  

• 14 слайд

  s𝑖𝑛𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 =0
  Помним про правило - произведение равно нулю, значит, хотя бы один множителей равен нулю и приравниваем каждый множитель к нулю :
  Решим уравнение:
  1. 𝑠𝑖𝑛𝑥=0 ( частный случай)
  2. 2𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 =0
  2𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3
  |÷2
  𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2
  𝑥
  у
  ×
  ×
  𝑥=Пк,к𝜖𝑧
  у
  𝑥
  𝜋− 𝜋 6
  ×
  ×
  𝜋+ 𝜋 6
  𝑥= 5𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝑥= 7𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  Ответ: х=Пк,к𝜖𝑧;𝑥= 5𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧; 𝑥= 7𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  П
  0
  

• 15 слайд

  Разложение на множители
  Разложение на множители – это метод решения тригонометрических уравнений, когда можно вынести общий множитель. Рассмотрим примеры.
  

• 16 слайд

  𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 =0
  Помним про правило - произведение равно нулю, значит, хотя бы один множителей равен нулю и приравниваем каждый множитель к нулю :
  Уравнение:
  1. cos𝑥=0 ( частный случай)
  2. 2𝑐𝑜𝑠𝑥+ 3 =0
  2𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3
  |÷2
  𝑐𝑜𝑠𝑥=− 3 2
  𝑥
  у
  ×
  ×
  𝑥= 𝜋 2 +π𝑘,𝑘𝜖𝑧
  у
  𝑥
  𝜋− 𝜋 6
  ×
  ×
  𝜋+ 𝜋 6
  𝑥= 5𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝑥= 7𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  Ответ:𝑥= 𝜋 2 +π𝑘,𝑘𝜖𝑧 ;𝑥= 5𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧; 𝑥= 7𝜋 6 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝜋 2
  − 𝜋 2
  2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥+ 3 𝑐𝑜𝑠𝑥=0
  − 3 2
  Общий множитель: 𝑐𝑜𝑠𝑥
  Вынесем 𝑐𝑜𝑠𝑥 за скобки:
  

• 17 слайд

  2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑠𝑖𝑛𝑥=0
  Уравнение:
  1. 𝑠𝑖𝑛𝑥=0 (частный случай)
  2. 2𝑐𝑜𝑠𝑥−1=0
  2𝑐𝑜𝑠𝑥=1
  |÷2
  𝑐𝑜𝑠𝑥= 1 2
  𝑥
  у
  ×
  ×
  П
  𝑥=Пn,n𝜖𝑧
  у
  𝑥
  𝜋 3
  ×
  ×
  − 𝜋 3
  𝑥= 𝜋 3 +2Пn,n𝜖𝑧
  𝑥=− 𝜋 3 +2Пn,n𝜖𝑧
  Ответ: х=Пn,n𝜖𝑧; 𝑥=± 𝜋 3 +2Пn,n𝜖𝑧
  Общий множитель в данном уравнении: sinx
  Вынесем sinx за скобки:
  𝑠𝑖𝑛𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥−1 =0
  0
  1 2
  

• 18 слайд

  Домашнее задание
  1) cosx= 1 2
  2) sin2𝑥= 2 2
  3) cos2𝑥=− 3 2 ;
  4) 𝑡𝑔3𝑥=1
  5) 2𝑠𝑖𝑛𝑥− 2 2𝑐𝑜𝑠𝑥−1 =0;
  6) sin𝑥 𝑡𝑔𝑥+1 =0
  7) 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥=0
  8) 3 𝑡𝑔 2 𝑥−3𝑡𝑔𝑥=0 (Подсказка ;𝑡𝑔𝑥=0 там же, где и 𝑠𝑖𝑛𝑥=0)
  9) 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠5𝑥−𝑐𝑜𝑠5𝑥=0