Презентация "Решение уравнений с параметром"

• 1 слайд

  Решение уравнений с параметром
  
  Учитель математики МБОУ СОШ№33
  Юревич Н.А.
  
  г.Белгород
  
  
  
  
  
  

• 2 слайд

• 3 слайд

  Содержание
  Линейные уравнения с параметром
  Квадратные уравнения с параметром
  Экзаменационные задания из материала ГИА.
  Экзаменационные задания из материала ЕГЭ.
  

• 4 слайд

  Линейное уравнение
  Линейным уравнением с параметром относительно х называют уравнение вида
  
  ax-b=0,
  где a и b – некоторые выражения, зависящие только от параметра, а х – неизвестное.
  
  
  Линейное уравнение с параметром приводят к виду ax=b.
  
  При а≠0 оно имеет единственное решение x= ,
  
  при а=0 и b=0 его решением является любое число;
  
  если же а=0,а b=0,то уравнение решений не имеет.
  

• 5 слайд

  Пример 1.
  Для всех значений параметра а решить уравнение 2а(а — 2) х=а — 2.
  
  Решение:. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, необходимо решить уравнение при следующих значениях параметра:
  
  1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2
  Рассмотрим эти случаи.
   
  При а=0 уравнение принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.
  
  2) При а=2 уравнение принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
  
  3) При а≠0, а≠2 из уравнения получаем, х=
  Откуда x=
  
  0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное число;
  3) если а≠0, а≠2 , то х=
  .
  

• 6 слайд

  Пример2.
  Решить уравнение
  ax-4=6a-3x.
  
  Решение.
  
  Приведем уравнение к виду ax=b.
  
  (а+3)x=6а+4.
  
  При a ≠-3 мы получим
  -.
  При а=-3 уравнение х(а+3)=6а+4 примет вид : 0*х=-14.
  Очевидно, что оно решений не имеет.
  
  
  
  
  
  Ответ: при а=-3 корней нет;
  при
  

• 7 слайд

  Пример 3
  Для всех значений параметра а решить уравнение.
  Решение:
  Запишем уравнение в стандартном виде
  
  
  . Если , т.е. , то имеем 0 * Х = 0, решением является множество
  
  действительных чисел:
  
  2. Если , то
  
  
  Ответ: Если , то ,
  
  Если , то х=-4.
  
  

• 8 слайд

  Пример4 . Решите уравнение
  .
  
  Решение:
  
  По смыслу задачи (5a+x)(x-5a) ≠ 0, то есть х ≠ ± 5а.
  
  Умножив обе части уравнения на произведение (5a+x)(x-5a), получим уравнение
  Или .
  
  При а=0 уравнение примет вид 0*х=0, решением которого будет любое число, кроме нуля (так как х ≠ ± 5а).
  
  При а ≠ 0 имеем х=5а. Этот корень попадает под ограничение х ≠ ± 5а.
  
  
  Ответ: при а=0 уравнение имеет бесконечно много решений – все действительные числа, кроме нуля;
  При любом а(-∞;0)U(0;+∞) решений нет.
  В меню Далее
  

• 9 слайд

  Квадратные уравнения с параметром.
  
  
  Известно, что уравнение
  называется квадратным только в случае а≠0.
  
  
  Однако решение таких уравнений очень часто начинают с нахождения дискриминанта. Это неверно! В качестве коэффициента при может быть выражение с параметром. А оно вполне может быть равным нулю, и данное уравнение квадратным не будет, получится линейное уравнение.
  
  Поэтому, решая квадратное уравнение с параметром, необходимо первым делом смотреть на коэффициент при . Если этот коэффициент – выражение с параметром, то нужно отдельно выделить случай, когда оно равно нулю, и решить получившееся линейное уравнение.
  

• 10 слайд

  Пример1. Решить уравнение:
  Решение.
  «Особо» нужно выделить значение а=0, так как при таком а уравнение линейное, а при остальных – квадратное, а также необходимо выяснить, при каких а дискриминант трёхчлена положителен, отрицателен, равен 0 .
  
  
  Таким образом, при а=0 – одно решение х=0,
  при а≠0 – два решения
  
  Ответ: При a=0, x=0;
  при а≠0 .
  

• 11 слайд

  Пример 2. Решить уравнение ax=x2+3
  
  Решение:
  Корней нет
  Ответ:1)при 2) при 3)при
  уравнение не имеет решений
  
  
  

• 12 слайд

  Пример3. Найдите число решений уравнения
  .
  Решение.
  Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически.
  
  Имеем
  
  
  Положим . Тогда имеем систему
  
  Далее рассмотрим графики На рисунке приведены пять различных случаев. Два из них очевидны.
  Если a<0, то решение одно.
  Если a=0, то точек пересечения двух графиков – две. Но одна из них – (0;0), что по условию задачи не подходит в качестве решения. Следовательно, при a=0 снова имеем единственное решение.
  Пусть теперь a>0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ:
  если a≤0, то n=1;
  если 0<a<1, то n=3;
  если a=1,то n=2;
  если a>1, то n=1.
  
  

• 13 слайд

  .Ответ: если a≤0, то n=1;
  если 0<a<1, то n=3;
  если a=1,то n=2;
  если a>1, то n=1.
  
  
  
  
  
  В меню Далее
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  Экзаменационные задания из материала ГИА.
  Пример 1. (Базовый уровень)Определите ненулевые коэффициенты p и q квадратного уравнения так, чтобы его корни были равны p и q.
  Решение
  Из т. Виета следует
  
  Пусть , где p≠0, q≠0 (из условия).
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ответ: p=1; q=-2.
  

• 15 слайд

  Пример 2.(Повышенный уровень) Часть2. Найдите все значения m, при которых парабола имеет с прямой x + my - 1=0 одну – единственную общую точку
  . Решение
  Так как парабола и прямая имеют общую точку, следовательно, получится уравнение
  или
  Начнём решение данного уравнения с «вырожденного случая» m=0: уравнение примет вид 1*х=0, его корень х=0.
  При D=0, квадратное уравнение имеет единственное решение.
  
  Решим уравнение
  
  
  
  
  
  
  
  
  Вывод: при - парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.
  
  Ответ: при m=0, m=-1, m= парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку.
  

• 16 слайд

  Пример 3.(Повышенный уровень) Часть2.
  Определите количество корней уравнения при всех положительных значениях параметра а.
  Решение
  Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически. ,а>0
  Далее рассмотрим графики у= и y=a. На рисунке приведены три различных случая
  4 решения при а
  3 решения при а=7;
  2 решения при а>7.
  
  Ответ:
  4 решения при а
  3 решения при а=7;
  2 решения при а>7.
  
  
  В меню
  
  

• 17 слайд

  
  
  Экзаменационные задания из материала ЕГЭ.
  Пример 1.Укажите наибольшее значение параметра а, при котором
  уравнение имеет ровно три решения
  Решение :В одной системе координат aох построим графики функций
  
  
  
  Получили, что при а=4 уравнение имеет три решения.
  Ответ: при а=4 уравнение имеет три решения.
  
  
  
  
  

• 18 слайд

  Пример 2. . Найдите значение параметра а, при котором уравнение
  имеет единственное решение. Если таких значений
  несколько, в ответе запишите их сумму.
  Решение: В одной системе координат аох построим графики функций
  
  
  
  
  Получили, что при а=-0,5 и а=-1,5 уравнение имеет единственное решение. -0,5+(-1,5)=-2
  
  
  Ответ: -2.
  
  В меню
  

• 19 слайд

  СПАСИБО
  ЗА ВНИМАНИЕ!!!