Презентация "Синус и косинус" 10 класс

• 1 слайд

  Алгебра и начала математического анализа, 10 класс.
  
  Урок на тему:
  Синус и косинус.
  

• 2 слайд

  Синус и косинус.
  Что будем повторять ,что будем изучать:
  Определение синуса и косинуса.
  Определение тангенса и котангенса.
  Основное тригонометрическое тождество
  Формировать навыки решения простейших уравнений и неравенств.
  Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
  Основные свойства.
  Синус и косинус в жизни.
  

• 3 слайд

  Определение.
  Синус и косинус.
  Ребята, давайте отметим на числовой окружности точку Р, посмотрите рисунок,
  наша точка Р соответствует некоторому числу t числовой окружности,
  тогда абсциссу точки  Р будем называть косинусом числа t и обозначать cos(t),
  а ординату точки  Р назовем синусом числа t и обозначим sin(t).
  
  Наша точка Р(t) = Р(x,y) тогда:
  X = cos(t)
  Y = sin(t)
  
  А как будет выглядеть запись синуса и косинуса на математическом языке?
  Давайте посмотрим:
  

• 4 слайд

  Тангенс и котангенс.
  Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg(t).
  Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg(t).
  
  Стоит заметить, так как на 0 делить нельзя, то, для
  тангенса cos(t) ≠ 0, а для котангенса sin(t) ≠ 0
  Определение.
  Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности, запишем определения:
  

• 5 слайд

  Синус и косинус.
  Основное тригонометрическое тождество.
  Давайте вспомним уравнение числовой окружности:
  нашему числу Х соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу Y – ордината, посмотрим определение синуса и косинуса на первом слайде и получим:
  Важно, запомните!
  Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:
  
  

• 6 слайд

  Таблица значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
  Синус и косинус.
  не сущ. – не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя
  

• 7 слайд

  Основные свойства.
  Синус и косинус.
  Для любого числа t справедливы равенства:
  sin(-t) = -sin(t)
  cos(- t) = cos(t)
  tg(- t) = -tg(t)
  ctg(- t) = -ctg(t)
  sin(t + 2π •k ) = sin(t)
  cos(t +2π •k ) = cos(t)
  sin(t + π ) = -sin(t)
  cos(t +π ) = -cos(t)
  tg(t + π •k ) = tg(t)
  ctg(t +π •k ) = ctg(t)
  sin(t + π/2 ) = cos(t)
  cos(t +π/2 ) = -sin(t)
  

• 8 слайд

  Синус и косинус.
  Синус и косинус в жизни.
  Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни?
  На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.
  

• 9 слайд

  Пример
  Вычислить синус и косинус t при: t=53π/4
  Решение:
  Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности:
  
  53π/4 = (12 + 5/4) • π = 12π +5π/4 = 5π/4 + 2π•6
  Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)
  sin(5π/4 + 2π•6 ) = sin(5π/4 ) = sin(π/4 + π)
  cos(5π/4 + 2π•6 ) = cos(5π/4 )= cos(π/4 + π)
  Воспользуемся свойством sin(t + π ) = -sin(t), cos(t +π) = -cos(t)
  sin(π/4 + π )=-sin(π/4 )
  cos(π/4 + π)=-cos(π/4 )
  Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:
  
  sin(53π/4 ) =
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Синус и косинус.
  cos(53π/4 ) =
  

• 10 слайд

  Пример
  Решение:
  Синус и косинус.
  Вычислить синус и косинус t при: t= -49π/3
  Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:
  
  -49π/3 = -(16 + 1/3) • π = -16π +(-π/3) = (-π/3) + 2π•(-8)
  Воспользуемся свойством sin(t + 2π •k ) = sin(t), cos(t +2π •k ) = cos(t)
  sin(-π/3 + 2π•(-8) )=sin(-π/3 )
  cos(-π/3 + 2π•(-8) )=cos(-π/3 )
  Воспользуемся свойством sin(- t) = -sin(t), cos(- t) = cos(t)
  sin(-π/3)=-sin(π/3 )
  cos(-π/3)=cos(π/3 )
  Из таблицы значений синуса и косинуса получаем:
  
  sin(-49π/3 ) = -
  
  cos(-49π/3)=
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  Решить уравнение a) sin(t)= , б) sin(t) >
  Пример
  Синус и косинус.
  Решение:
  sin(t) – из определения, это ордината точки числовой окружности.
  Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой
  
  и записать, каким числам t, они соответствуют - точки F и G на рисунке.
  
  а) Точка F и G имееют координаты:
  π/3 +2 π •k и 2π/3 +2 π •k
  Ответ : a) t= π/3 +2 π •k и t= 2π/3 +2 π •k
  
  б)π/3 +2 π •k <t<2π/3 +2 π •k
  
  б) Уравнению y > ½ это дуга FG тогда:
  π/3 +2 π •k <t<2π/3 +2 π •k
  

• 12 слайд

  Пример
  Решить уравнение а)cos(t)=1/2 б) cos(t)>1/2
  Синус и косинус.
  cos(t) – из определения, это абсцисса точки числовой окружности.
  Значит на числовой окружности нужно найти точки с абсциссой равной 1/2 и записать, каким числам t, они соответствуют –
  точки F и G на рисунке
  а) Точка F и G соответствуют координаты:
  -π/3 +2 π •k и π/3 +2 π •k
  Ответ : а) t= -π/3 +2 π •k и t=π/3 +2 π •k
  б) –π/3 +2 π •k <t< π/3 +2 π •k
  
  б) Уравнению x >1/2
  соответствует дуга FG тогда:
  -π/3 +2 π •k <t< π/3 +2 π •k
  

• 13 слайд

  Пример
  Решение:
  Синус и косинус.
  Вычислить тангенс и котангенс t при: t= -7π/3
  Т.к. числам t и t+2π•k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то:
  
  -7π/3 = -(2 + 1/3) • π = -2π +(-π/3) = (-π/3) + 2π
  Воспользуемся свойством tg(x+ π •k ) = tg(x), ctg(x+π •k ) = ctg(x)
  tg((-π/3) + 2π ) = tg(- π/3)
  сtg((-π/3) + 2π ) = сtg(- π/3)
  Воспользуемся свойством tg(-x) = -tg(x), ctg(-x) = -ctg(x)
  tg(-π/3)=-tg(π/3 )
  сtg(-π/3)=-сtg(π/3 )
  Из таблицы значений получаем:
  tg(-7π/3) = -tg(π/3 ) =
  
  сtg(-7π/3) = -сtg(π/3 ) = -
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  Задачи для самостоятельного решения.
  1) Решить уравнение a) sin(t)= -½, б) sin(t) > -½ в) sin(t) < -½
  2) Решить уравнение а) cos(t) = -½, б) cos(t) > -½, в) cos(t) < ½,
  
  
  
  Синус и косинус.