Инфоурок Алгебра ПрезентацииПрезентация "Синус и косинус. Тангенс и котангенс" 10 класс Мордкович

Презентация "Синус и косинус. Тангенс и котангенс" 10 класс Мордкович

Скачать материал
Скачать материал "Презентация "Синус и косинус. Тангенс и котангенс" 10 класс Мордкович"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Менеджер спортивного клуба

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Синус и косинус. Тангенс и котангенс10 классМБОУ СОШ №33 г. КалугиЗилюкина О...

    1 слайд

    Синус и косинус. Тангенс и котангенс
    10 класс
    МБОУ СОШ №33 г. Калуги
    Зилюкина Ольга Викторовна
    Учитель математики

  • Определение синуса и косинусаОпределение 1. Если точка 𝑀 числовой окружности...

    2 слайд

    Определение синуса и косинуса
    Определение 1. Если точка 𝑀 числовой окружности соответствует числу 𝑡, то абсциссу точки 𝑀 называют косинусом числа 𝒕 ( 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ), а ординату точки 𝑀 называют синусом числа 𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝒕 .
    если 𝑀 𝑡 =𝑀 𝑥;𝑦 , то
    𝑥= cos 𝑡
    𝑦= sin 𝑡
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑀 𝑡
    𝑦
    𝑥
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    cos 𝑡
    sin 𝑡
    −1≤ cos 𝑡 ≤1
    −1≤ sin 𝑡 ≤1
    𝐼
    𝐼𝐼
    𝒙>𝟎
    𝒚>𝟎
    𝒙<𝟎
    𝒚>𝟎
    𝒙<𝟎
    𝒚<𝟎
    𝒙>𝟎
    𝒚<𝟎
    𝐼𝐼𝐼
    𝐼𝑉
    cos 2 𝑡 + sin 2 𝑡 =1

  • Определение синуса и косинуса

    3 слайд

    Определение синуса и косинуса

  • Определение синуса и косинусаПример 1. Вычислить  cos 𝑡  и  sin 𝑡 , если:
а)...

    4 слайд

    Определение синуса и косинуса
    Пример 1. Вычислить cos 𝑡 и sin 𝑡 , если:
    а) 𝑡= 45𝜋 4 ; б) 𝑡=− 37𝜋 3 ; в) 𝑡=45𝜋; г) 𝑡=−18𝜋.
    Решение.
    а) 45𝜋 4 =10𝜋+ 5𝜋 4 = 5𝜋 4 +2𝜋∙5, значит
    cos 45𝜋 4 = cos 5𝜋 4 =− 2 2 ; sin 45𝜋 4 = sin 5𝜋 4 =− 2 2
    б)− 37𝜋 3 =−12𝜋− 𝜋 3 =− 𝜋 3 +2𝜋∙(−6), значит
    cos − 37𝜋 3 = 1 2 ; sin − 37𝜋 3 =− 3 2
    в) 45𝜋=44π+𝜋=𝜋+2𝜋∙22, значит
    cos 45𝜋 =−1; sin 45𝜋 =0
    г) −18𝜋=0+2π∙(−9), значит
    cos −18𝜋 =1; sin (−18𝜋 )=0

  • Пример 2. Решить уравнение  sin 𝑡 = 1 2 .
Решение. Учтём, что  sin 𝑡 − ордина...

    5 слайд

    Пример 2. Решить уравнение sin 𝑡 = 1 2 .
    Решение. Учтём, что sin 𝑡 − ордината точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с ординатой 𝑦= 1 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
    𝑡= 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑡= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    Определение синуса и косинуса
    Пример 3. Решить уравнение cos 𝑡 =− 2 2 .
    Решение. Учтём, что cos 𝑡 − абсцисса точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с абсциссой 𝑥=− 2 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
    𝑡= 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑡= 5𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    или 𝑡=± 3𝜋 4 +2𝜋𝑘 .

  • Пример 4. Решить уравнения:
а)  sin 𝑡 =0;          б)  sin 𝑡 =1;        в)  s...

    6 слайд

    Пример 4. Решить уравнения:
    а) sin 𝑡 =0; б) sin 𝑡 =1; в) sin 𝑡 =−1.
    Решение. а) Найдем на числовой окружности точки с ординатой 𝑦=0 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют. Ординату 0 имеют точки 𝐴 и 𝐶, они соответствуют числам 0 (точка 𝐴), 𝜋 (точка 𝐶), 2𝜋 (точка 𝐴), 3𝜋 (точка 𝐶), −𝜋 (точка 𝐶), −2𝜋 (точка 𝐴) и т.д. Точки 𝐴 и 𝐶 соответствуют числам 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    𝑡=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    б) Ординату 𝑦=1 имеет точка 𝐵 числовой окружности, она соответствует числу 𝜋 2 и всем числам вида 𝜋 2 +2𝜋𝑘.
    𝑡= 𝜋 2 +2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.
    в) Ординату 𝑦=−1 имеет точка 𝐷 числовой окружности, она соответствует числу − 𝜋 2 и всем числам вида − 𝜋 2 +2𝜋𝑘.
    𝑡=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.

    Определение синуса и косинуса

  • Пример 4. Решить уравнения:
а)  cos 𝑡 =0;          б)  cos 𝑡 =1;        в)  c...

    7 слайд

    Пример 4. Решить уравнения:
    а) cos 𝑡 =0; б) cos 𝑡 =1; в) cos 𝑡 =−1.
    Решение. а) Найдем на числовой окружности точки с абсциссой 𝑥=0 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки 𝐵 и 𝐷, они соответствуют числам 𝜋 2 (точка𝐵), 3𝜋 2 (точка 𝐷), 5𝜋 2 (точка 𝐵), 7𝜋 2 (точка 𝐷), − 𝜋 2 (точка 𝐷), − 3𝜋 2 (точка 𝐵) и т.д. Точки 𝐵 и 𝐷 соответствуют числам 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    𝑡= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    б) Абсциссу 𝑥=1 имеет точка 𝐴 числовой окружности, она соответствует числу 0 и всем числам вида 0+2𝜋𝑘.
    𝑡=2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.
    в) Абсциссу 𝑥=−1 имеет точка 𝐶 числовой окружности, она соответствует числу 𝜋 и всем числам вида 𝜋+2𝜋𝑘.
    𝑡=𝜋+2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.

    Определение синуса и косинуса

  • Пример 6. Решить уравнения:
а)  cos 𝑡 = 2 5 ;      б)  sin 𝑡 =−0,3.
Решение....

    8 слайд

    Пример 6. Решить уравнения:
    а) cos 𝑡 = 2 5 ; б) sin 𝑡 =−0,3.
    Решение. а) Найдём на числовой окружности точки с абсциссой 2 5 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют.
    Определение синуса и косинуса
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝒙= 𝟐 𝟓
    𝑀
    𝑃
    Абсциссу 𝑥= 2 5 имеют точки 𝑀 и 𝑃, но каким числам 𝑡 они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы пока не можем.
    б) Найдём на числовой окружности точки с ординатой −0,3 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют.
    Ординату 𝑦=−0,3 имеют точки 𝐿 и 𝑁, но каким числам 𝑡 они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы пока не можем.
    𝒚=−𝟎,𝟑
    𝑁
    𝐿

  • Пример 7. Решить неравенство  sin 𝑡 &gt; 1 2 .
Решение. Учтём, что  sin 𝑡 − орди...

    9 слайд

    Пример 7. Решить неравенство sin 𝑡 > 1 2 .
    Решение. Учтём, что sin 𝑡 − ордината точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с ординатой 𝑦> 1 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
    Ответ: 𝜋 6 +2𝜋𝑘< 𝑡< 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    Определение синуса и косинуса
    Пример 8. Решить неравенство cos 𝑡 ≥− 2 2 .
    Решение. Учтём, что cos 𝑡 − абсцисса точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с абсциссой 𝑥≥− 2 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
    Ответ: − 3𝜋 4 +2𝜋𝑘≤ 𝑡≤ 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

  • Пример 9. Решить систему неравенств    sin 𝑡 ≤ 1 2 ,  cos 𝑡 ≥−   2  2 .  
Реш...

    10 слайд

    Пример 9. Решить систему неравенств sin 𝑡 ≤ 1 2 , cos 𝑡 ≥− 2 2 .
    Решение. Сначала изобразим решения заданной системы неравенств на числовой окружности. Найдём точки, координаты которых удовлетворяют условиям: 𝑦≤ 1 2 , 𝑥≥− 2 2 .
    Определение синуса и косинуса
    Первому неравенству удовлетворяют точки дуги 𝑁𝑀, а второму – точки дуги 𝑃𝐾.
    Нас интересуют общие точки обеих дуг – это тоски дуги 𝑃𝑀:
    − 3𝜋 4 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝒙=− 𝟐 𝟐
    𝐾
    𝑃
    𝒚= 𝟏 𝟐
    𝑀
    𝑁

  • Пример 10. Какое из двух чисел больше:  sin 1  или  sin 2 ?
Решение. Отметим...

    11 слайд

    Пример 10. Какое из двух чисел больше: sin 1 или sin 2 ?
    Решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2. Расстояние от точки 1 до точки 𝜋 2 (по окружности) примерно равно 0,57 (поскольку 𝜋 2 ≈1,57), а расстояние от точки 2 до точки до точки 𝜋 2 примерно равно 0,43. Точка 2 находится ближе к точке 𝜋 2 , чем точка 1, значит, её ордината больше: sin 1 > sin 2 .
    Определение синуса и косинуса
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    1
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    2

  • Пример 11. расположить в порядке возрастания числа  sin 3 , cos 4 , sin 7 , c...

    12 слайд

    Пример 11. расположить в порядке возрастания числа sin 3 , cos 4 , sin 7 , cos 7 .
    Решение. Отметим на числовой окружности точки 3, 4, 7.
    Определение синуса и косинуса
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    7
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    3
    4
    Заметим, что sin 3 , sin 7 , cos 7 - положительные числа, а cos 4 - отрицательное число, cos 4 - наименьшее из данных чисел.
    Число 7 отличается от числа 2𝜋 (точка 𝐴) примерно на 0,72 (поскольку 2𝜋≈6,28), а расстояние (по окружности) от точки 𝐴 до середины первой четверти равно 𝜋 4 , т.е. примерно 0,785. Значит точка 7 располагается чуть ниже середины первой четверти, а потому её ордината меньше её абсциссы: sin 7 < cos 7 .
    Точка 3 находится по отношению к точке 𝐶(𝜋) ближе, чем точка 7 по отношению к точке 𝐴(2𝜋), а потому ордината точки 3 меньше ординаты точки 7: sin 3 < sin 7 .
    cos 4 < sin 3 < sin 7 < cos 7

  • Свойство 1. Для любого числа 𝑡 справедливы равенства:свойство синуса и косину...

    13 слайд

    Свойство 1. Для любого числа 𝑡 справедливы равенства:
    свойство синуса и косинуса
    cos (−𝑡) = cos 𝑡
    sin (−𝑡) =− sin 𝑡
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑀 𝑡
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑃 −𝑡
    Доказательство. Если числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, то числу −𝑡 соответствует точка 𝑃, симметричная точке 𝑀 относительно горизонтального диаметра окружности, т.е. симметричная точке 𝑀 относительно оси абсцисс.
    У таких точек одна и та же абсцисса: cos (−𝑡) = cos 𝑡 . У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты: sin (−𝑡) =− sin 𝑡 .
    sin − 𝜋 6 =− sin 𝜋 6 =− 1 2
    cos − 𝜋 4 = cos 𝜋 4 = 2 2

  • Свойство 2. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства: свойство синуса и ко...

    14 слайд

    Свойство 2. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства:
    свойство синуса и косинуса
    cos (𝑡+2𝜋𝑘) = cos 𝑡
    sin (𝑡+2𝜋𝑘) = sin 𝑡
    Свойство 3. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства:
    cos (𝑡+𝜋) =− cos 𝑡
    sin (𝑡+𝜋) =− sin 𝑡
    sin 7𝜋 6 = sin 𝜋 6 +𝜋 =− sin 𝜋 6 == 1 2
    cos 5𝜋 4 = cos 𝜋 4 +𝜋 =− cos 𝜋 4 =− 2 2

  • Доказательство. Если числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, то чи...

    15 слайд

    Доказательство. Если числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, то числу 𝑡+𝜋 соответствует точка 𝑃, симметричная точке 𝑀 относительно центра окружности – начала координат.
    свойство синуса и косинуса
    Свойство 3. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства:
    cos (𝑡+𝜋) =− cos 𝑡
    sin (𝑡+𝜋) =− sin 𝑡
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑀 𝑡
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑃 𝑡+𝜋
    У таких точек абсциссы и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку:
    cos (𝑡+𝜋) =− cos 𝑡
    sin (𝑡+𝜋) =− sin 𝑡

  • Определение 2. Отношение синуса числа 𝑡 к косинусу того же числа называют тан...

    16 слайд

    Определение 2. Отношение синуса числа 𝑡 к косинусу того же числа называют тангенсом числа 𝒕 ( 𝐭𝐠 𝒕 ). Отношение косинуса числа 𝑡 к синусу того же числа называют котангенсом числа 𝒕 ( 𝐜𝒕𝒈 𝒕 ):
    Определение тангенса и котангенса
    tg 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡 , где 𝑡≠ 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
    ctg 𝑡 = cos 𝑡 sin 𝑡 , где 𝑡≠𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍

  • Пример 12. Вычислить:
а)  tg  𝜋 4  ;         б)  tg  5𝜋 4  ;        в)  ctg...

    17 слайд

    Пример 12. Вычислить:
    а) tg 𝜋 4 ; б) tg 5𝜋 4 ; в) ctg 𝜋 2 ; г) ctg 5𝜋 6 .
    Решение. а) sin 𝜋 4 = 2 2 ; cos 𝜋 4 = 2 2 ; tg 𝜋 4 = sin 𝜋 4 cos 𝜋 4 = 2 2 : 2 2 =1
    б) sin 5𝜋 3 =− 3 2 , cos 5𝜋 3 = 1 2 ; tg 5𝜋 3 =− 3 2 : 1 2 =− 3
    в) sin 𝜋 2 = 1 2 , cos 𝜋 2 =0; ctg 𝜋 2 =0:1=0
    г) sin 5𝜋 6 = 1 2 , cos 5𝜋 6 =− 3 2 ; ctg 5𝜋 6 = − 3 2 : 1 2 =− 3
    Определение тангенса и котангенса

  • Определение тангенса и котангенса

    18 слайд

    Определение тангенса и котангенса

  • Пример 13. расположить в порядке возрастания числа 1, sin 1 , cos 1 , tg 1 ....

    19 слайд

    Пример 13. расположить в порядке возрастания числа 1, sin 1 , cos 1 , tg 1 .
    Решение. Отметим на числовой окружности точку 1: она расположена между точками 𝜋 4 и 𝜋 3 , ближе к точке 𝜋 3 .
    Определение тангенса и котангенса
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝜋 3
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝜋 4
    У этой точки абсцисса и ордината положительны, причем абсцисса меньше ординаты: cos 1 < sin 1 , оба эти числа меньше 1.
    Что касается tg 1 : ордината точки 1 больше ординаты точки 𝜋 4 , а абсцисса точки 1 меньше абсциссы точки 𝜋 4 : sin 𝜋 4 < sin 1 , cos 𝜋 4 > cos 1 .
    tg 1 = sin 1 cos 1 > sin 𝜋 4 cos 1 > sin 𝜋 4 cos 𝜋 4 = tg 𝜋 4 =1
    cos 1 < sin 1 <1< tg 1
    1

  • Свойство 4. Для любого допустимого значения 𝑡 справедливы равенства: свойства...

    20 слайд

    Свойство 4. Для любого допустимого значения 𝑡 справедливы равенства:
    свойства тангенса и котангенса
    tg −𝑡 =− tg 𝑡
    ctg −𝑡 =− ctg 𝑡
    Доказательство. Воспользуемся тем, что cos −𝑡 = cos 𝑡 , а sin −𝑡 =− sin 𝑡 :
    tg −𝑡 = sin −𝑡 cos −𝑡 = − sin 𝑡 cos 𝑡 =− sin 𝑡 cos 𝑡 =− tg 𝑡
    ctg −𝑡 = cos −𝑡 sin −𝑡 = cos 𝑡 − sin 𝑡 =− cos 𝑡 sin 𝑡 =− ctg 𝑡

  • Свойство 5. Для любого допустимого значения 𝑡 справедливы равенства: свойства...

    21 слайд

    Свойство 5. Для любого допустимого значения 𝑡 справедливы равенства:
    свойства тангенса и котангенса
    tg 𝑡+𝜋 = tg 𝑡
    ctg 𝑡+𝜋 = ctg 𝑡
    Доказательство. Воспользуемся тем, что cos 𝑡+𝜋 =− cos 𝑡 , а sin 𝑡+𝜋 =− sin 𝑡 :
    tg 𝑡+𝜋 = sin 𝑡+𝜋 cos 𝑡+𝜋 = − sin 𝑡 − cos 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡 = tg 𝑡
    ctg 𝑡+𝜋 = cos 𝑡+𝜋 sin 𝑡+𝜋 = − cos 𝑡 − sin 𝑡 = cos 𝑡 sin 𝑡 = ctg 𝑡
    tg 𝑡+𝜋𝑘 = tg 𝑡 ;
    ctg 𝑡+𝜋𝑘 = ctg 𝑡 , где 𝑘∈𝑍.

  • Пример 14. Вычислить:
а)  tg  − 7𝜋 3   ;        б)  ctg  5𝜋 4  .
Решение. а)...

    22 слайд

    Пример 14. Вычислить:
    а) tg − 7𝜋 3 ; б) ctg 5𝜋 4 .
    Решение. а) по свойству 4 выполняется равенство tg − 7𝜋 3 =− tg 7𝜋 3 ; так как 7𝜋 3 =2𝜋+ 𝜋 3 , то
    − tg 7𝜋 3 =− tg 2𝜋+ 𝜋 3 =− tg 𝜋 3 =− 3
    tg − 7𝜋 3 =− 3
    б) ctg 5𝜋 4 = ctg 𝜋+ 𝜋 4 = ctg 𝜋 4 =1.
    свойства тангенса и котангенса

  • На координатной плоскости проведём касательную к числовой окружности в точке...

    23 слайд

    На координатной плоскости проведём касательную к числовой окружности в точке 𝐴 и будем считать это касательную числовой прямой, ориентированной так же как ось 𝑦 и с началом в точке 𝐴.
    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 𝑡
    𝑃
    𝐾
    𝑀 1
    𝑙
    tg 𝑡
    Пусть числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, принадлежащая первой четверти.
    ∆𝑂𝑀𝐾∾∆𝑂𝑃𝐴: 𝑀𝐾 𝑂𝐾 = 𝑃𝐴 𝑂𝐴 .
    𝑀𝐾= sin 𝑡 , 𝑂𝐾= cos 𝑡 , 𝑂𝐴=1: sin 𝑡 cos 𝑡 = 𝑃𝐴 1 ,т.е. 𝑃𝐴= tg 𝑡
    tg 𝑡 можно трактовать как координату точки 𝑃 на числовой прямой 𝑙. Та же точка 𝑃 характеризует значение тангенса для точки 𝑀 1 , диаметрально противоположной точке 𝑀.

  • Пусть числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, принадлежащая второй...

    24 слайд

    Пусть числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, принадлежащая второй четверти.
    ∆𝑂𝑀𝐾∾∆𝑂𝑃𝐴: 𝑀𝐾 𝑂𝐾 = 𝑃𝐴 𝑂𝐴 .


    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 𝑡
    𝑃
    𝐾
    𝑙
    tg 𝑡
    𝑀 1
    𝑀𝐾= sin 𝑡 , 𝑂𝐾=− cos 𝑡 , 𝑂𝐴=1: sin 𝑡 −cos 𝑡 = 𝑃𝐴 1 ,т.е.
    𝑃𝐴=− tg 𝑡
    Длина отрезка 𝑃𝐴=− tg 𝑡 - положительное число. Касательную 𝑙 рассматриваем как числовую прямую 𝑃 соответствует отрицательному числу, противоположному длине отрезка 𝑃𝐴. Точка 𝑃 на числовой прямой имеет координату tg 𝑡 . Точка 𝑃 характеризует значение тангенса для точки 𝑀 1 , диаметрально противоположной точке 𝑀.

  • Если числу 𝑡 соответствует на числовой окружности точка 𝑀, то проведя прямую...

    25 слайд

    Если числу 𝑡 соответствует на числовой окружности точка 𝑀, то проведя прямую 𝑂𝑀, получим в пересечении её с числовой прямой 𝑙 точку 𝑃, которая имеет на числовой прямой 𝑙 координату tg 𝑡 . Числовую прямую 𝑙 называют линией тангенсов.
    Аналогично вводится линия котангенсов.
    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 𝑡
    𝑃
    𝑙
    ctg 𝑡

  • Пример 15. Решить уравнение: 
а)  tg 𝑡 =  3 ;   б)  tg 𝑡 =−1;     в)  ctg 𝑡 =...

    26 слайд

    Пример 15. Решить уравнение:
    а) tg 𝑡 = 3 ; б) tg 𝑡 =−1; в) ctg 𝑡 =− 3 .
    Решение. а) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 3 .
    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 1
    𝑃
    𝐾
    𝑀 2
    Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность в двух точках 𝑀 1 и 𝑀 2 , соответствующие тем значениям 𝑡, для которых tg 𝑡 = 3 .
    Точка 𝑀 1 соответствует значениям 𝑡= 𝜋 2 +2𝜋𝑘, точка 𝑀 2 - значениям 𝑡= 4𝜋 3 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝑡= 𝜋 3 +𝜋𝑛.

  • линии тангенсов и котангенсовПример 15. Решить уравнение: 
б)  tg 𝑡 =−1;...

    27 слайд

    линии тангенсов и котангенсов
    Пример 15. Решить уравнение:
    б) tg 𝑡 =−1; в) ctg 𝑡 =− 3 .
    Решение. б) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 −1 .
    Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность в двух точках 𝑀 1 и 𝑀 2 , соответствующие тем значениям 𝑡, для которых tg 𝑡 =−1.
    Точка 𝑀 1 соответствует значениям 𝑡=− 𝜋 4 +2𝜋𝑘, точка 𝑀 2 - значениям 𝑡= 3𝜋 4 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝑡=− 𝜋 4 +𝜋𝑛.
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 1
    𝑃
    𝐾
    𝑀 2

  • Пример 15. Решить уравнение: 
в)  ctg 𝑡 =−  3 .
Решение. в) Отметим на линии...

    28 слайд

    Пример 15. Решить уравнение:
    в) ctg 𝑡 =− 3 .
    Решение. в) Отметим на линии котангенсов точку 𝑃=𝑃 − 3 .
    Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность в двух точках 𝑀 1 и 𝑀 2 , соответствующие тем значениям 𝑡, для которых tg 𝑡 = 3 .
    Точка 𝑀 1 соответствует значениям 𝑡= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, точка 𝑀 2 - значениям 𝑡= 11𝜋 6 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝑡= 5𝜋 6 +𝜋𝑛.
    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑃
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 1
    𝑀 2

  • Пример 15. Решить неравенство: 
а)  tg 𝑡 &gt;  3 ;   б)  tg 𝑡   3  означает, что...

    29 слайд

    Пример 15. Решить неравенство:
    а) tg 𝑡 > 3 ; б) tg 𝑡 <−1; в) ctg 𝑡 ≥− 3 .
    Решение. а) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 3 . Неравенство tg 𝑡 > 3 означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие выше точки 𝑃.
    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 1
    𝑃
    𝐾
    𝑀 2
    Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность точках 𝑀 1 , 𝑀 2 , точкам, расположенным выше точки 𝑃, соответствуют точки открытых дуг 𝑀 1 𝐵, 𝑀 2 𝐷.
    𝑀 1 𝐵: 𝜋 3 +2𝜋𝑘<𝑡< 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑀 2 𝐷: 4𝜋 3 +2𝜋𝑘<𝑡< 3𝜋 2 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝜋 3 +𝜋𝑛<𝑡< 𝜋 2 +𝜋𝑛.

  • линии тангенсов и котангенсов𝐴𝐵𝐶𝐷𝑦𝑥011−1−1𝑂 𝑀 1 𝑃𝐾 𝑀 2 Пример 15. Решить нера...

    30 слайд

    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 1
    𝑃
    𝐾
    𝑀 2
    Пример 15. Решить неравенство:
    б) tg 𝑡 <−1; в) ctg 𝑡 ≥− 3 .
    Решение. б) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 −1 . Неравенство tg 𝑡 <−1 означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие ниже точки 𝑃.
    Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность точках 𝑀 1 , 𝑀 2 , точкам, расположенным ниже точки 𝑃, соответствуют точки открытых дуг 𝐷 𝑀 1 , 𝐵 𝑀 2 .
    𝐷 𝑀 1 : − 𝜋 2 +2𝜋𝑘<𝑡<− 𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝐵 𝑀 2 :− 𝜋 2 +2𝜋𝑘<𝑡< 3𝜋 4 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: − 𝜋 2 +𝜋𝑛<𝑡<− 𝜋 4 +𝜋𝑛.

  • Пример 15. Решить неравенство: 
в)  ctg 𝑡 ≥−  3 .
Решение. в) Отметим на лини...

    31 слайд

    Пример 15. Решить неравенство:
    в) ctg 𝑡 ≥− 3 .
    Решение. в) Отметим на линии котангенсов точку 𝑃=𝑃 − 3 . Неравенство ctg 𝑡 ≥− 3 означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие правее точки 𝑃, и сама точка 𝑃.
    линии тангенсов и котангенсов
    𝐴
    𝐵
    𝐶
    𝐷
    𝑃
    𝑦
    𝑥
    0
    1
    1
    −1
    −1
    𝑂
    𝑀 2
    𝑀 1
    Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность точках 𝑀 1 , 𝑀 2 , точкам, расположенным правее точки 𝑃, соответствуют точки открытых дуг 𝐴 𝑀 1 , 𝐶 𝑀 2 .
    𝐴 𝑀 1 : 2𝜋𝑘<𝑡< 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝐶 𝑀 2 :𝜋+2𝜋𝑘<𝑡< 11𝜋 6 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝜋𝑛<𝑡< 5𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 716 881 материал в базе

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях),  изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.

    «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.

    Тема

    § 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс

    Больше материалов по этой теме
Скачать материал

Другие материалы

Презентация "Числовая окружность на координатной плоскости" 10 класс Мордкович
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.
  • Тема: § 12. Числовая окружность на координатной плоскости
  • 14.05.2024
  • 109
  • 1
«Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях),  изд-во «Мнемозина»», Мордкович А.Г.
Методы решения иррациональных уравнений и неравенств
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)», Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
  • 14.05.2024
  • 77
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)», Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.
Задачи профессионально-ориентированного содержания по теме «Физический смысл производной» для студентов СПО технической направленности.
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: Глава 8. Производная и её геометрический смысл
  • 14.05.2024
  • 117
  • 2
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Задачи профессионально-ориентированного содержания по теме «Дискретная случайная величина, закон ее распределения» для студентов специальности «Почтовая связь»
  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: Глава 13. Статистика
  • 14.05.2024
  • 94
  • 0
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Алгебра 11 сынып "Туындының анықтамасы. Туындыны табу ережелері."
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
  • Тема: § 1. Определение числовой функции и способы ее задания
  • 14.05.2024
  • 137
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 14.05.2024 118
    • PPTX 2.1 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Зилюкина Ольга Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Зилюкина Ольга Викторовна
    Зилюкина Ольга Викторовна
    • На сайте: 5 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 1302
    • Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Мини-курс

От Зейгарника до Личко: путь к пониманию человеческой психологии

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 25 человек из 16 регионов

Мини-курс

Adobe Animate: анимация и производство контента

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Технологический прогресс и право: взгляд в будущее

2 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе