Презентация темы «Решение задач с параметрами в итоговом повторении курса алгебры.»

• 1 слайд

  Презентация темы «Решение задач с параметрами в итоговом повторении курса алгебры.»
  Разработано учителем математики гимназии №22 Захарьян А. А.
  

• 2 слайд

  Оглавление
  Предисловие 3
  Занятие №1 4-20
  Занятие №2 21-29
  Занятие №3 30-42
  

• 3 слайд

  Предисловие
  В последнее время в билетах вступительных экзаменов по математике, в ЕГЭ обязательно встречаются задачи с параметрами. Однако эта тема не входит в программу школьного курса за исключением классов с углублённым изучением математики. Существует мнение, что решение задачи с параметрами не выходит за пределы программы школьного курса математики. Имеется в виду, что если ученик или абитуриент владеет школьной программой, то он может самостоятельно, без специальной подготовки справится с задачей с параметрами. На самом деле решить задачу с параметрами может учащийся, который прошел специальную целенаправленную подготовку. Поэтому в школьной математике этим задачам должно уделяться внимание.
  В классах с углублённым изучением математики параметрам уделяется достаточно внимания, начиная с решения линейных уравнений. При изучении каждой темы «углублёнки» можно найти время для решения задач с параметрами. Чего нельзя сказать об общеобразовательных классах и классах с гуманитарным уклоном. Поэтому я предлагаю учителям, работающим в неспециализированных выпускных классах перед итоговым повторением уделить несколько часов решению задач с параметрами
  

• 4 слайд

  Занятие №1 (2 часа)
  Главное, что должен усвоить школьник это то, что параметр – это число, хоть и неизвестное, но фиксированное, имеющее двойственную природу. После этих вступительных слов можно спросить у школьников встречались ли они с параметрами. Это линейная функция y=kx+b, где x и y – переменные, k и b – параметры; квадратное уравнение ax2+bx+c=0, где x - переменная a, b, c, - параметры.
  Задачи надо начинать решать с очень простых, постепенно усложняя их.
  

• 5 слайд

  Пример №1. Сравнить –а и 5а
  Решение:
  1) если а <0, то –а>0, 5a<0, значит –а>5a
  2) если а=0, то –а=0, 5а=0, значит –а=5а
  3) если а>0, то –а<0, 5a>0, значит –а<5a.
  Ответ: если a<0, то –а>5a
  если а=0, то–а=5а
  если а>0, то–а<5a.
  a
  a<0
  a=0
  a>0
  

• 6 слайд

  Пример №2. Решить уравнение ах=2
  Решение:
  1) если а=0, то 0х=2, решений нет
  2) если а≠0, то х=
  Ответ: если а=0, то решений нет
  если а≠0, то х=
  a
  a=0
  a=0
  

• 7 слайд

  Пример №3 Решить уравнение
  (а2-9)х=а+3
  Решение:
  1) если а=3, то 0х=6, решений нет
  2) если а=-3, то 0х=0, х
  3) если а≠±3, то а2-9≠0,
  
  
  Ответ: если а=3, то решений нет
  если а=-3, то x
  если а≠±3, то
  a
  a=3
  a=-3
  a=3
  a=-3
  

• 8 слайд

  Пример №4 Решить неравенство: ах<7
  Решение:
  1) если a>0, то
  
  2) если а<0, то
  3) если а=0, то - «И»
  
  Ответ: если а>0, то х<
  если а<0, то
  если а=0, то
  
  a
  a=0
  a>0
  a<0
  

• 9 слайд

  Пример №5 Решить уравнение
  
  Решение:
  
  
  
  
  Ответ: если а=-3, то решений нет
  если а≠-3, то х=а.
  
  

• 10 слайд

  Пример №6 Решить уравнение
  
  Решение:
  1) если а=-1, то -2х+1+1=0; х=1
  
  2) если а≠-1,то х=1 или
  
  
  Ответ: если а=-1, то х=1
  если а≠-1,то х=1 или
  

• 11 слайд

  Пример №7 Решить уравнение
  
  Решение:
  
  
  
  
  Ответ: если b<-4, то x=-4 или x=b
  если b=-4, то x=-4
  если b>-4, то x=b.
  
  

• 12 слайд

  Пример №8 Решить уравнение
  
  Решение:
  
  
  
  1) если а≠0, то х=1
  2) если а=0, то x значит х=1 или х=-1
  
  Ответ: если а≠0, то х=1
  если а=0, то х=±1
  
  
  

• 13 слайд

  Пример №9 Решить неравенство
  
  Решение:
  1) a) если b=1, то
  б) если b=-1, то
  2) если b≠±1, то неравенство квадратное
  

• 14 слайд

  a)
  
  

• 15 слайд

  б)
  учитывая, что при
  
  то
  
  Ответ: если b=1, то
  
  если b=-1, то
  
  если то
  

• 16 слайд

  если то
  
  
  
  
  если то
  
  
  Рассмотренные выше задачи требовалось просто решить. В следующих задачах будет поставлено какое-то более «узкое», конкретное условие.
  

• 17 слайд

  Пример №10 При каких а уравнение
  имеет единственное решение?
  Решение:
  1) если а=0, то х=3
  2) если а≠0, то уравнение квадратное и оно имеет единственное решение при D=0
  D=1-12a
  
  
  
  Ответ: при а=0 или а=
  

• 18 слайд

  Пример №11 При каких а уравнение
  
  имеет единственное решение?
  Решение:
  1) если а=2, то решений нет
  2) если а≠2, то уравнение имеет единственное решение при D=0
  
  
  
  
  Ответ: при а=5
  

• 19 слайд

  Задачи для самостоятельного домашнего решения задаются с ответами для самоконтроля
  При каких а уравнение имеет решения, найти их
  
  
  при
  
  
  2) Решить уравнение:
  a)
  
  (при а=1 или а=3 решений нет; при а≠1 и а≠3 х=а)
  
  

• 20 слайд

  б)
  
  (при а=-2 решений нет; при а≠-2 х=2)
  
  3) При каких а уравнение имеет ровно три корня
  
  
  (при )
  

• 21 слайд

  Занятие №2 (2 часа)
  Урок начинается с разбора домашнего задания. Затем учитель предлагает решить более общую задачу.
  

• 22 слайд

  Пример №12 Выяснить, при каких значениях параметра а уравнение
  имеет:
  
  1) два различных корня;
  2) не более одного корня;
  3) два корня различных знаков;
  4) два положительных корня.
  
  

• 23 слайд

  Решение:
  1) уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда оно квадратное и D>0.
  
  
  
  
  2) а) если а=4, то
  б)
  
  

• 24 слайд

  3) уравнение имеет два корня различных
  знаков тогда и только тогда, когда значит
  
  
  
  4) уравнение имеет два положительных корня тогда и только тогда, когда
  

• 25 слайд

  Самостоятельная работа.
  Вариант I
  1. Для всякого а решить уравнение
  
  Решение:
  Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то х=1 или х=2а
  Ответ: 1; 2а.
  2. При каких b уравнение имеет единственный корень? Для каждого b найти этот корень.
  
  Решение:
  Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда D=0
  

• 26 слайд

  
  
  
  
  1) если b=12, то
  
  2) если b=-12, то
  
  Ответ: при b=12 x=-2
  при b=-12 x=2.
  
  
  
  
  
  

• 27 слайд

  3. Для каждого значения параметра решить неравенство:
  
  Решение:
  
  Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию f(x)= ,
  непрерывную на R, имеющую нули 2, -2, b
  Рассмотрим три случая:
  1)
  b
  -2
  2
  

• 28 слайд

  2) -2<b<2
  
  
  
  
  3)
  
  
  Ответ: если то
  если -2<b<2, то
  если то
  -2
  b
  2
  -2
  2
  b
  

• 29 слайд

  Вариант II
  Задания аналогичны заданиям варианта I.
  1.
  Ответ: -1; 3а.
  
  2.
  Ответ: при b=20 x=-2
  при b=-20 x=2.
  
  3.
  Ответ: если то
  если -1<a<1, то
  если то
  

• 30 слайд

  Занятие №3 (2 часа)
  Теперь можно приступать к решению задач ЕГЭ с параметрами.
  

• 31 слайд

  Пример №1. Найти все значения параметра p,
  при которых уравнение имеет хотя бы один корень.
  Решение:
  
  
  
  
  
  Рассмотрим функцию f(a)= определённую на [-1;0)U(0;1] и найдём её область значений.
  f(-1)=11; f(1)=3; при
  f ’(a)=
  

• 32 слайд

  f ’(a)=0
  
  Т.к. то экстремумов у функции нет, следовательно E(f)=(0;11].
  Чтобы уравнение а значит и данное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы
  
  Ответ:
  

• 33 слайд

  Пример №2. Найти все значения а, при которых область определения функции
  
  содержит ровно одно двузначное натуральное число.
  Решение:
  
  D(y):
  
  Решим первое неравенство системы:
  
  
  
  

• 34 слайд

  
  
  
  
  1) если 0<a<1, то
  
  
  
  
  Решение не удовлетворяет условию задачи.
  

• 35 слайд

  2) если а>1, то
  
  
  
  Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо и достаточно, чтобы
  
  Ответ:
  

• 36 слайд

  Пример №3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства
  
  содержит какой-нибудь отрезок длиной 2,но не содержит никакого отрезка длиной 3
  Решение:
  
  

• 37 слайд

  Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию непрерывную на R\{0}, имеющую нули 4, а:
  1) если
  
  - решение содержит отрезок длиной 3, что не удовлетворяет условию задачи.
  2) если 0<a<4
  
  
  Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
  a
  0
  4
  4
  a
  0
  

• 38 слайд

  
  
  
  т.е.
  3) если
  
  - аналогично случаю 1)
  Ответ:
  0
  4
  a
  

• 39 слайд

  Пример №4. Найти все значения параметра p, при которых уравнение
  
  имеет хотя бы один корень, и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения
  
  Решение:
  
  1)
  
  Пусть =t, тогда
  

• 40 слайд

  
  
  
  Рассмотрим функцию
  D(f)=[0; ),
  f(t)=0 t=0.
  E(f)=(- ;0]
  f’(t)= f’(t)<0
  Значит графики функций и y=p могут иметь только одну общую точку, т.е. уравнение
  а значит и уравнение
  может иметь ровно один корень при
  

• 41 слайд

  2) Узнаем при каких p уравнение
  имеет ровно один корень:
  а) если 2p+3=0 ( ), то -удовлетворяет условию.
  б) если то уравнение имеет единственный корень при D=0.
  
  
  D=0
  
  Итак, уравнение имеет ровно
  
  один корень при
  
  

• 42 слайд

  Но уравнению удовлетворяют только
  
  т.е. при и p=-1 уравнения и
  имеют равное число корней, а именно, по одному.
  Ответ: ; -1