Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация учебно-исследовательская работа учащихся

Презентация учебно-исследовательская работа учащихся



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Модель числовой окружности Исполнитель: Вали...
  Введение Актуальность исследования: Актуальность исследования объясняется т...
Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка A — п...
Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат х...
Точка    середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М2Р на п...
Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете .Возьмем точку ...
Пример 1. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному...
Пример 2. Найти на числовой окружности точки  ,  ,  . Решение. Разделив перву...
Пример 4.  Найти на числовой окружности точки с ординатой    и записать, каки...
Пример 5. Решите неравенство Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность...
Заключение Модель изготовлена из подручных материалов, имевшихся в кабинете...
 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
1 из 14

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Модель числовой окружности Исполнитель: Вали
Описание слайда:

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА Модель числовой окружности Исполнитель: Валитова И.И. обучающаяся 10б класса ГБОУ РПЛИ Научный руководитель: Дурнева В.М.,учитель математики

№ слайда 2   Введение Актуальность исследования: Актуальность исследования объясняется т
Описание слайда:

  Введение Актуальность исследования: Актуальность исследования объясняется тем, что тригонометрия всегда была сложным разделом математики. А для лучшего понимания при изучении этого раздела в школе необходима наглядная демонстрация решений тригонометрических функций и неравенств. Для этого нам понадобится математическая модель числовой окружности Цели и задачи: - создать модель числовой окружности для лучшего восприятия темы "тригонометрия"; - подобрать материал для изготовления модели числовой окружности; - изготовить модель; - показать наглядное применение модели числовой окружности к решению тригонометрических функций и неравенств.   Методы исследования: – изучение понятия "числовая окружность"; –решение тригонометрических функций и неравенств с помощью модели числовой окружности; Практическая значимость: Модель позволяет иллюстрировать решения тригонометрических уравнений и неравенств на уроках алгебры.  

№ слайда 3 Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка A — п
Описание слайда:

Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка A — правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу: 1) Если t> 0, то, двигаясь из точки A в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины t. Точка M и будет искомой точкой M(t). 2) Если t < 0, то, двигаясь из точки A по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины |t|. Точка M и будет искомой точкой M(t). 3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку A; A = A(0). Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

№ слайда 4 Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат х
Описание слайда:

Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат хОу так, как показано на рис. 2: центр окружности совмещен с началом координат, радиус окружности принимается за масштабный отрезок. Начальная точка А числовой окружности совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При этом    Каждая точка числовой окружности имеет в системе хОу свои координаты, причем: у точек первой четверти — х > 0, у> 0; у точек второй четверти — х < 0, у > 0; у точек третьей четверти — х < 0, у < 0; у точек четвертой четверти — х > 0, у < 0 (рис. 2).  Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства:  Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R— 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид х2+у2 = 1. Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности, прежде всего тех, которые представлены на первом и втором макетах Начнем с точек первого макета:

№ слайда 5 Точка    середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М2Р на п
Описание слайда:

Точка    середина первой четверти. Опустим из точки М. перпендикуляр М2Р на прямую ОА и рассмотрим треугольник ОМ}Р (рис. 3). Так как дуга АМХ составляет половину дуги АВ, то    Значит, ОМ1Р — равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М1Р равны, т.е. у точки Мх абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М1х; у) удовлетворяют уравнению окружности х2 + у2 = 1. Таким образом, для отыскания координат точки Мх нужно решить систему уравнений Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим: (мы учли, что абсцисса точки М1 положительна). А так как у = х, то И  Итак, Проанализируем полученное равенство. Что означает запись    Она означает, что точка М1 числовой окружности соответствует числу  А что означает запись    Она означает, что точка имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано М(1), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует числу t если будет написано М(х; у), то это значит, что числа х и у являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, а I — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности. Рассмотрим точку    середину второй четверти. Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и для модуля ординаты этой точки те же значения   Но, учтя, что во второй четверти х < 0, а у > О, делаем вывод:

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7 Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете .Возьмем точку 
Описание слайда:

Теперь найдем координаты точек, изображенных на втором макете .Возьмем точку    опустим из нее перпендикуляр М1Р на прямую ОА и рассмотрим прямоугольный треугольник ОМхР (рис. 4). Гипотенузой этого треугольника является ОМ , причем ОМх = 1. Угол МуОР равен 30°, поскольку дуга АМ1 составляет треть дуги АВ, а дуга АВ содержит 90°. Из геометрии известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит,    это ордината точки М: По теореме Пифагора, (мы учли, что точка    принадлежит первой четверти, а потому обе ее координаты — положительные числа). С точкой  связан тот же прямоугольный треугольник, только ориентированный по-другому (рис. 4). Получаем  Те же самые значения (с точностью до знака) будут координатами всех остальных точек второго макета (исключая, разумеется, точки    причем по чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу 1/2   а какая —числу    Возьмем для примера точку    (р. 106). Будем рассуждать так. Проведем перпендикуляр М2L к оси х. Во-первых,  Значит, из двух чисел    в качестве ординаты точки М3 нужно взять меньшее. Окончательно получаем

№ слайда 8
Описание слайда:

№ слайда 9 Пример 1. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному
Описание слайда:

Пример 1. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: . Решение. Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что длина каждой четверти единичной окружности равна . Имеем: , значит, числу   соответствует точка B. Далее. AC = π, значит числу π соответствует точка C; , значит, числу   соответствует точка D. Числу 2π соответствует точка A, так как, пройдя по окружности путь длиной 2π, т.е. ровно одну окружность, мы попадаем в начальную точку A. Что такое  ? Это . Значит, двигаясь из точки A в положительном направлении, нужно пройти целую окружность (путь длиной 2π) и дополнительно путь длиной  , который закончится в точке D. Что такое 9π. Это 4×2π + π. Значит, двигаясь из точки A в положительном направлении, нужно четыре раза описать целую окружность (путь длиной 4×2π) и дополнительно еще путь длиной π, который закончится в точке C. Осталось найти на числовой окружности точку, соответствующую отрицательному числу . для этого нужно, отправившись из точки A, пройти по окружности в отрицательном направлении путь длиной . Этот путь закончится в точке B.

№ слайда 10 Пример 2. Найти на числовой окружности точки  ,  ,  . Решение. Разделив перву
Описание слайда:

Пример 2. Найти на числовой окружности точки  ,  ,  . Решение. Разделив первую четверть AB на три равные части точками K и P, поучим  ,  . Разделив дугу AB пополам точкой M, получим  . Пример 3. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, -7. Решение. Точки, соответствующие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, — это соответствующие точки на следующем рисунке: . Чтобы найти точку, соответствующую числу -7 нужно, отправляясь из точки A и двигаясь в отрицательном направлении, пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим ≈6,28, значит, нужно еще пройти путь длиной 0,72. Что же это за дуга7 Она немного меньше половины четверти окружности, т.е. длина меньше числа  . Точка M = M(-7) отмечена на следующем рисунке: . Вообще. для числовой окружности справедливо следующее утверждение: Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует любому числу вида t + 2πk, где k — любое целое число. В самом деле, 2π — длина числовой (единичной) окружности, а целое число |k| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Если мы находимся в точке M(t). то выполнив еще k полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке M. Итак, M(t) — M(t + 2πk).

№ слайда 11 Пример 4.  Найти на числовой окружности точки с ординатой    и записать, каки
Описание слайда:

Пример 4.  Найти на числовой окружности точки с ординатой    и записать, каким числам t они соответствуют. [3] Решение. Прямая    пересекает числовую окружность в двух точках: М и Р (рис. 107). Точка М соответствует числу   (см. второй макет — рис. 101), а значит, и любому числу вида а значит, и любому числу вида  Получили, как обычно говорят в таких случаях, две серии значений: + 2пк и — + 2т1к.

№ слайда 12 Пример 5. Решите неравенство Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность
Описание слайда:

Пример 5. Решите неравенство Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит Для x   [0; 2π]  решением данного неравенства будут Ясно также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на 2πn,  то sin x также будет не меньше Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить 2πn, где Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все где Ответ.  где

№ слайда 13 Заключение Модель изготовлена из подручных материалов, имевшихся в кабинете
Описание слайда:

Заключение Модель изготовлена из подручных материалов, имевшихся в кабинете математики. R=1. С помощью данной модели мы можем: 1)находить длину дуги окружности и декартовы координаты точки; 2)записывать все числа, соответствующие данной точке числовой окружности; 3)определить знак тригонометрической функции в зависимости от величины числа t; 4)легко продемонстрировать учащимся решение тригонометрических уравнений и неравенств. Выполняя данную научно-практическую работу я открыла для себя много новых знаний и лучше восприняла тему"тригонометрия

№ слайда 14  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!


Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров206
Номер материала ДВ-034772
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх