Презентация урока по теме "Модуль действительного числа. Уравнения и неравенства , содержащее неизвестное под знаком модуля.

• 1 слайд

  Модуль действительного числа.
  Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
  Цель урока: обобщить знания о модуле действительного числа, изучить свойства модуля. Научиться решать уравнения и неравенства нестандартными способами.
  

• 2 слайд

  Что мы должны научиться делать?
  1.Использовать свойства модуля.
  2.Решать уравнения и неравенства стандартными способами.
  3.Решать уравнения и неравенства нестандартными способами.
  

• 3 слайд

  Модуль действительного числа и его свойства
  Модулем положительного числа называется то же самое число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное данному, модуль нуля равен нулю.
  Модуль числа а обозначается │а│.
  а, если а > 0
  │а│ = -а, если а < 0
  0, если а = 0.
  Геометрический смысл модуля: это расстояние от начала координат до точки, которая изображает данное число на координатной прямой.
  в а
  --------•----------•-------•---------> х
  В О А
  Теорема: Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, которые являются изображениями этих чисел на координатной прямой.
  т.е. по рисунку АВ =│а – в │.
  Пример: найти
  а) │2 - √3│= 2 - √3, т.к. 2 > √3
  б) │√3 - 2│= -(√3 - 2) = 2 - √3, т.к. √3 < 2.
  

• 4 слайд

  Свойства:
  │а│= │- а│.
  Если │а│≤ в, то - в ≤ а ≤ в.
  Если │а│≥ в, то или а ≥ в, или а ≤ - в.
  Модуль произведения конечного числа множителей равен произведению модулей этих множителей: │ав│ = │а│∙ │в│.
  Квадрат модуля числа равен квадрату числа: │а│2 = а2.
  Модуль частного равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя:
  │а/в│ = │а│ / │в│, если в ≠ 0.
  Модуль суммы конечного числа действительных чисел, не превышает суммы модулей : │а + в│≤ │а│+│в│.
  Модуль разности конечного числа действительных чисел не меньше модулей уменьшаемого и вычитаемого: │а - в│≥│а│-│в│.
  А так же
  │а + в│≥│а│-│в│.
  √ а2 = │а│.
  Пример: √4х2 + 12х + 9 = √ (2х + 3)2 = │2х + 3│.
  
  
  
  

• 5 слайд

  Решение уравнений стандартными способами
  Решение с использованием определения:
  │х + 3│= 2. Решение: х + 3 = ± 2
  х + 3 = 2 х + 3 = -2
  х = 2 – 3 х = -2 – 3
  х = -1 х = -5.
  Ответ: -1; -5.
  Решить уравнения: а) │2х + 1│ = 3;
  б) │2х - 3│ = 9.
  Решение уравнения следующих видов:
  │f(х)│= │g(х)│ а) возвести левую и правую части уравнения в квадрат и
  решить полученное уравнение;
  б) f(х)= g(х)
  Решить эту совокупность.
  f(х)= - g(х)
  
  

• 6 слайд

  Пример: │2х - 3│= │2х + 7│ Решение: Применим первый способ, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат. Получим следующее уравнение
  (2х – 3)2 = (2х + 7)2
  4х2 – 12х + 9 = 4х2 + 28х + 49
  - 12х – 28х = 49 – 9
  -40х = 40
  х = -1 Ответ:-1.
  2. │f(х)│= g(х). Решение данного уравнения равносильно совокупности двух систем g(х) ≥ 0
  f(х) = g(х).
  
  g(х) ≥ 0
  f(х) = - g(х).
  
  Пример: │х2 – х - 8│= - х. Решение: решим совокупность следующих систем
  

• 7 слайд

  -х ≥ 0
  х2 – х - 8= - х
  -х ≥ 0
  х2 – х - 8= х
  Решим первую систему
  - х ≥ 0 х ≤ 0 х ≤ 0 х ≤ 0
  х2 – х – 8 = - х, х2 – 8 = 0, х2 = 8, х = ± 2√2, х = - 2√2.
  Решим вторую систему
  - х ≥ 0 х ≤ 0 х ≤ 0
  х2 – х – 8 = х, х2 – 2х – 8 = 0, х = 4, х = - 2, х = - 2.
  Ответ: - 2, -2√2.
  Метод интервалов для уравнений с неизвестным под знаком модуля.
  Общие положения при решении уравнений этим методом:
  Область допустимых значений;
  Находим корни каждой функции;
  Они делят ОДЗ на интервалы знакопостоянства функций;
  На каждом интервале раскрываем модуль по определению и решаем полученное уравнение;
  Проверяем принадлежность полученных корней к интервалам.
  Рассмотрим применение этого метода на примере.
  
  

• 8 слайд

  │х│ - 2 │х + 1│+ 3 │х + 2│= 0. Решение:
  ОДЗ: х Є R
  Х = 0, Х+ 1 = 0, Х + 2 = 0
  Х = -1 Х = -2. -------------------•------•-----•-------------------->Х
  -2 -1 0
  Х < -2. (Раскроем модуль. Возьмем например число х = -3 и подставим в уравнение. Если выражение, стоящее под знаком модуля положительно, то знак модуля не меняется, если отрицательно – знак модуля меняется на противоположный.)
  -х + 2(х + 1) – 3(х + 2) = 0,
  -х + 2х + 2 – 3х – 6 = 0,
  -2х – 4 = 0,
  -2х = 4,
  х = -2. Данное число не принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит не является корнем уравнения.
  -2 ≤ х ≤ -1. (Подставим х = -1,5.)
  -х + 2(х + 1) + 3(х + 2) = 0,
  -х + 2х + 2 + 3х + 6 = 0,
  4х + 8 = 0,
  4х = -8,
  х = -2. Данное число принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит является корнем уравнения.
  
  

• 9 слайд

  3. -1 < х < 0 ( Подставим х = -0,5.)
  -х – 2(х + 1) + 3(х + 2) = 0,
  -х – 2х – 2 + 3х + 6 = 0,
  0х + 4 = 0,
  0х = -4, уравнение решений не имеет.
  4. х ≥ 0 (Подставим х = 1)
  х – 2(х + 1) + 3(х + 2) = 0,
  х – 2х – 2 + 3х + 6 = 0,
  2х + 4 = 0,
  2х = -4,
  х = -2. Данное число не принадлежит рассматриваемому промежутку, а значит не является корнем уравнения.
  5. Вывод: х = -2.
  Ответ: -2.
  Пример №2. Решить уравнение : │4 - х│ + │2х - 2│ = 5 – 2х.
  
  

• 10 слайд

  Решение уравнений нестандартными способами
  Если │f(х)│= f(х), то достаточно рассмотреть только условие f(х) ≥ 0.
  Если │f(х)│= - f(х), то рассматривается только условие f(х) ≤ 0.
  Если │ f(х) │+ │g(х)│ = f(х) - g(х), то f(х) ≥ 0
  g(х) ≤ 0.
  Если │ f(х) │+ │g(х)│ = f(х) + g(х), то f(х) ≥ 0
  g(х) ≥ 0.
  Если │ f(х) │+ │g(х)│ = - f(х) + g(х), то f(х) ≤ 0
  g(х) ≥ 0.
  6. Если │х - а│ + │х - в│ = в – а (в > а), то а ≤ х ≤ в.
  Если │х - а│ - │х - в│ = в – а (в > а), то х ≥ в.
  Рассмотрим решение одного уравнения стандартным и нестандартным способами.
  Пример: │х + 5│ + │х- 8│ = 13. Решение:
  1. ОДЗ: хєR. х = -5, х = 8. -------•---------•------->х
  -5 8
  х < -5 (подставим -6) -5 ≤ х ≤ 8 (х = 0) х > 8 (х = 10)
  -(х+5) – (х-8) = 13, (х+5) – (х-8) = 13, (х+5) + (х-8) = 13,
  -х – 5 –х +8 = 13, х + 5 – х + 8 = 13, х + 5 + х – 8 = 13,
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд

  - 2х + 3 = 13, 0х + 13 = 13 , 2х – 3 = 13,
  - 2х = 10, 0х = 0, 2х = 16,
  х = - 5. х – любое число. х = 8.
  число не принадлежит решением является число не принадлежит
  данному промежутку, весь рассматриваемый данному промежутку,
  значит не является промежуток -5 ≤ х ≤ 8 . значит не является
  решением уравнения. решением уравнения
  
  Ответ: х є [ -5 ; 8 ].
  2. │х + 5│ + │х- 8│ = 13. Решение:
  ОДЗ: хєR.
  а = -5, в = 8, значит в – а = 8 + 5 = 13, т.о. -5 ≤ х ≤ 8.
  Ответ: х є [ -5 ; 8 ].
  Решить самостоятельно: │х + 3│ - │х- 2│= 5.
  
  Решение неравенств
  Рассмотрим несколько случаев решения неравенств:
  Если │f(х)│> а, то а) а > 0 f(х) > а б) а ≤ 0 Решением будет ОДЗ f(х)
  f(х) < -а
  

• 12 слайд

  2. Если │f(х)│< а, то а) а > 0: -а < f(х) < а б) а ≤ 0, решений нет.
  
  3. Если │f(х)│> f(х), то f(х) < 0 ,
  │f(х)│≥ f(х), то решением являются все значения из ОДЗ.
  4. Если │f(х)│≤ f(х), то f(х) ≥ 0;
  │f(х)│< f(х), то решения нет.
  5. Если │ f(х)│> g(х), то f(х) > g(х)
  f(х) < - g(х).
  
  6. Если │f(х)│< g(х), то f(х) < g(х)
  f(х) > - g(х).
  
  7. Знак разности модулей двух выражений, совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.
  Например, в записи это будет так : │х3 + х - 1│ - │х3 – х + 1│заменим выражением
  (х3 + х – 1)2 – (х3 – х + 1)2.
  8. А если вы забыли все способы решения неравенств, то его можно решить, применив метод интервалов.
  
  

• 13 слайд

  Примеры:
  
  1). │х3 + х - 1│> х3 – х + 1 (решим, применив способ №3.)
  
  х3 + х – 1 > х3 – х + 1 2х > 2 х > 1 х > 1
  х3 + х – 1 < - х3 + х – 1 , 2х3 < 0, х3 < 0, х < 0. Решением этой совокупности является
  хє ( -∞; 0) U ( 1; +∞).
  Ответ: ( -∞; 0) U ( 1; +∞).
  2). Найти наибольшее целое решение неравенства: │х – 5│ < 4.
  (Такого типа неравенства чаще всего встречаются в 1-й части тестовой тетради на ВНО)
  Решим неравенство, использовав свойство №2.
  - 4 < х – 5 < 4,
  1 < х < 9, т.о. х є ( 1; 9) и наибольшее целое решение
  х = 8.
  Решение неравенства методом интервалов:
  │х - 1│ + │х - 2│≥ х + 3. Решение: ОДЗ: хєR.
  х = 1, х = 2 ---------------•-----------•-----------------> х
  1 2
  а) х < 1 //////////////////////////////
  -(х – 1) – (х – 2) ≥ х + 3, ------------•----------◦------------> х
  -х + 1 – х + 2 ≥ х + 3, /////////////0 1
  - 3х ≥ 0,
  х ≤ 0 значит хє ( -∞; 0 ].
  
  

• 14 слайд

  б) 1 ≤ х ≤ 2
  (х – 1) – (х – 2) ≥ х + 3,
  х – 1 – х + 2 ≥ х + 3, /////////
  -х ≥ 2, ------------•--------•-----•----------> х
  х ≤ -2. //////////////-2 1 2
  решения нет.
  в) х > 2
  (х – 1) + (х – 2) ≥ х + 3, //////////////////////////////////
  х – 1 + х – 2 ≥ х + 3, ------------◦--------------•-------------> х
  х ≥ 6. 2 6///////////////
  значит хє [6; + ∞).
  Т.о. хє ( -∞; 0 ] U [6; + ∞). Ответ: ( -∞; 0 ] U [6; + ∞).
  Решить уравнения и неравенства.
  а) │х + 1│ + │х - 2│ = 3; Домашнее задание:
  б) │х - 1│ + │х - 2│ = │х - 3│ + 4; Глава 6,§ 1.
  в) │х - 1│ + │х - 3│ = 2х – 4; № 2 (2,3,7), № 3 (1,8).
  г) │2х - 1│ - │х - 4│ > 4;
  д)│3х - 5│ > 9х + 1.