Презентация внеклассного занятия по геометрии "Бимедианы четырехугольника. Теорема Вариньона в теориях и задачах"

• 1 слайд

  Конспект внеклассного занятия
  по геометрии 8 класс
  «Бимедианы четырёхугольника. Теорема Вариньона в теории и задачах»
  Автор:: Ковалева Людмила Леонидовна учитель математики, высшей квалификационной категории, «Почётный работник общего образования РФ», МБОУ «СОШ №77» г.Кемерово
  

• 2 слайд

  Актуальность темы:
  1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.
  2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
  3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.
  4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .
  

• 3 слайд

  Цель работы:
  Расширить свой кругозор, узнать новую информацию из раздела геометрии, познакомиться с теоремой Вариньона и научиться применять её на практике.
  Объект исследования: Теорема Вариньона
  
  Предмет исследования: геометрия
  

• 4 слайд

  Задачи:
  1. Изучить теоретический материал: ознакомиться с понятием “параллелограмм Вариньона”, рассмотреть способы решения задач по данной теореме, вывести доказательство и сделать следствие по теореме Вариньона.
  2. Сравнить способы решения с помощью обыденного решения задач, и используя теорему Вариньона.
  3. Показать наглядно способы решения на примере конкурсных и олимпиадных заданий, применяя теорему Вариньона.
  

• 5 слайд

  Вариньон Пьер.
  Вариньон Пьер(1654-1722)-выдающийся механик и учёный, член Французской Академии Наук(с 1688 г.).
  Изучал философию, математику в частности.
  Место рождения-Каен.
  Главнейшие научные заслуги Вариньона относятся к механике. Вариньон исходя из принципа равновесия рычага, начала параллелограмма сил и применяя теорему моментов, выводит условия равновесия всех простых машин.
  Является первым учёным, который доказал, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
  

• 6 слайд

  Основные теоретические сведения.
  Определение.
  Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон.
  
  Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.
  

• 7 слайд

  Теорема Вариньона
  

• 8 слайд

  Теорема Вариньона.
  Теорема: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
  

• 9 слайд

• 10 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  KLMN – параллелограмм
  Вариньона;
  AC=BD
  Доказать: KLMN – ромб
  а) диагонали равны (см. рис. 2.1.)
  б) бимедианы перпендикулярны (см. рис. 2.2).
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  KLMN – параллелограмм Вариньона;
  KM и LN перпендикулярны
  Доказать:
  KLMN – ромб
  

• 11 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 2.1. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  а) диагонали перпендикулярны (см. рис 3.1.);
  Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
  б) бимедианы равны (см. рис. 3.2.).
  Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
  

• 12 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 2.2. Бимедианы четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
  Доказательство.
  Пусть KM и LN – бимедианы ABCD, PQ – отрезок, соединяющий середины диагоналей АС и BD.
  То, что бимедианы KM и LN точкой пересечения делятся пополам, следует из того, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма Вариньона. Поэтому нам достаточно доказать, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам (рис.5, .1 и 5.2); обращаем внимание на то, что в невыпуклом четырехугольнике одна из диагоналей расположена вне четырехугольника).
  Используя теорему о средней линии треугольника для соответствующих треугольников, имеем:LQ║CD║PN и PL║AB║NQ.
  Тем самым, PLQN – параллелограмм. По свойству параллелограмма следует, что отрезки PQ и LN их точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.
  

• 13 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике:
  а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4.1.);
  Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата).
  б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4.2.).
  Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).
  

• 14 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 3.(теорема Эйлера).
  Для четырехугольника сумма квадратов всех сторон равна сумме
  квадратов диагоналей плюс учетверенный квадрат отрезка,
  соединяющего середины диагоналей, то есть
  .
  

• 15 слайд

  Следствия из теоремы.
  Следствие 4.(теорема о бабочках).
  Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны.
  Доказательство:
  Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем:
  Что и требовалось доказать
  

• 16 слайд

  Разбор задач
  задачи из школьного курса геометрии
  Задача 1.
  У четырехугольника диагонали равны a и b.
  Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
  Решение.
  параллелограмм; со сторонами
  
  параллелограмм; со сторонами
  и
  Ответ:
  Периметр параллелограмма
  Вариньона равен a+b.
  

• 17 слайд

  Разбор задач
  задачи из школьного курса геометрии
  Задача 2.
  Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
  Решение.
  См. теорему Вариньона.
  

• 18 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 3.
   Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  AC = BD
  Доказать: SABCD= KM*LN
  Доказательство:
  Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
  Что и требовалось доказать
  

• 19 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 5.
  Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»
  

• 20 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 5.
  Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»
  

• 21 слайд

  Конкурсные задачи.
  Задача 4.
  Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника
  Дано:
  ABCD – четырехугольник;
  AC = BD
  Доказать: SABCD= KM*LN
  Доказательство:
  Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
  Что и требовалось доказать
  

• 22 слайд

  Задача 6
  Задача 7
  Задача 8
  На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника ABCD выбраны точки
  
  так, что
  
  Докажите, что
  и точка A находится между
  и B, точка B – между
  и C, точка C – между
  и D, точка D – между
  и A
  Пусть L и N – середины противоположных сторон BC и AD четырехугольника ABCD .
  Доказать, что площадь четырехугольника LPNQ равна сумме площадей треугольников ABP и CQD
  Пусть K, L, M, N – середины сторон (рис. 13) выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что площадь четырехугольника, образованного прямыми CK, AM, BN, DL, равна сумме площадей четырех треугольников, отмеченных на рисунке
  

• 23 слайд

  Заключение
  «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.
  Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.
  Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
  

• 24 слайд

  Заключение
  Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные).
  Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается больше времени, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает наименьшее время. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет около 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных задач.
  От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение.
  Цель работы считаю достигнутой, задачи решены.
  

• 25 слайд

  СПАСИБО
  ЗА ВНИМАНИЕ !
  

• 26 слайд

  Список литературы:
  Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер
  Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50
  В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.
  Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, – М.: Просвещение, 2008.
  Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.
  Интернет-ресурсы easymath.com.ua/
  Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7 – 11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение,1990.- 384 с.
  Штейнгауз Г.Математический калейдоскоп. – М.:наука,1981.
  Прасолов В.В. задачи по планиметрии. – Т.1, 2. – М.: Наука,1995.
  Коксетер Г. С. М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука,1978.
  В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.
  

• 27 слайд

  интернет - ресурсы
  шаблона:
  images.yandex.ru
  luzan.ucoz.ru
  shimrg.rusedu.net
  

Краткое описание документа:

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.

2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.

4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися .