Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Способы решения алгебраических уравнений
2 слайд
3 слайд
Уравнение –
это золотой ключ, открывающий все математические сезамы
Историческая справка
Виды алгебраических уравнений
Способы решения уравнений
С помощью формул сокращенного умножения
Вынесение общего множителя за скобки
Метод группировки
Разложение левой части уравнения на множители.
Метод выделения полного квадрата.
Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов
Решение с помощью теоремы Виета.
Решение с помощью теоремы, обратной теореме Виета.
Решение уравнения несколькими способами.
4 слайд
История развития знаний о решении уравнений.
Первое руководство по решению уравнений.
Древние ученые владели общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Но ни в одном источнике не дано описания этих приемов. Исключение- «Арифметика» Диофанта Александрийского. Первое руководство по решению задач - труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми.
5 слайд
.
22 решения за одну ночь.
В 1594 году во дворе Генриха IV Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена, которая заключалась в решении уравнения 45-ой степени. Генрих IV послал за Виетом Франсуа, который один корень нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения
6 слайд
Франсуа Виет
Франсуа Виет - замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона
7 слайд
Кристиан Вольф - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию .Впервые ввёл термин «квадратное уравнение»
8 слайд
Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант».
9 слайд
В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Михаэль Штифель. Это было настоящее событие в математике.
10 слайд
Виды алгебраических уравнений
Линейное уравнение ax + b = 0
Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0
Кубическое уравнение ax3 + bx2 + cx + d = 0
Биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0
Уравнение 4-ой степени общего вида
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Алгебраическое уравнение n-ой степени общего вида
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0
11 слайд
Способы решения уравнений
С помощью формул сокращенного умножения:
(a±b)2=a2±2ab+b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2a1a2+2a1a3+…+2an-1an
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
a3±b3=(a±b)(a2±ab+b2)
an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+an-k+…+a+1)
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+an-kbk-n+…+abn-2+bn-1)
ПРИМЕР
12 слайд
Способы решения уравнений
(6x-1)2-4(3x+2)(3x-2)=-7;
36x2-12x+1-4(9x2-4)=-7;
36x2-12x+1-36x2+16=-7;
17-12x=-7;
-12x=-24;
x=2;
Ответ:{2}.
(2x-1)3-(2x-3)3=24x2-40x-24;
8x3-12x2+6x+1-8x3+36x2-54x-27=24x2-40x-24;
24x2-48x-26=24x2-40x-24;
-8x=2;
x=-0,25;
Ответ:{0,25}.
13 слайд
Способы решения уравнений
Например:
2х4 + 3х3 + х2 = 0;
x2(2x2+3x+1)=0;
x2=0,
2x2+3x+1=0;
x=0,
2x(x+1)+(x+1)=0;
x=0,
(2x+1)(x+1)=0;
x=0,
2x+1=0,
x+1=0;
x=0,
x=-0,5,
x=-1;
Ответ: {0;-0,5;-1}
2. Вынесение общего множителя за скобки:
4(y2-7)-16y(y2-7)=0;
(4-16y)(y2-7)=0;
4(1-4y)(y2-7)=0;
(1-4y)(y2-7)=0;
1-4y=0,
y2-7=0;
4y=-1,
y2=7;
y=-0,25,
y=√7;
Ответ:{-0,25;√7}.
14 слайд
Метод группировки:
Например:
x4-4x3+5x2-4x+4=0;
x4-4x3+4x2+x2-4x+4=0;
(x4-4x3+4x2)+(x2-4x+4)=0;
x2(x2-4x+4)+(x2-4x+4)=0;
(x2+1)(x2-4x+4)=0;
x2+1=0,
x2-4x+4=0;
x2=-1,
(x-2)2=0;
Ø,
x-2=0;
x=2;
Ответ:{2}.
Способы решения уравнений
15 слайд
Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2)
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
16 слайд
Метод выделения полного квадрата
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
х2 + 6х = х2 + 2· х ·3
х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х – 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32.
х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 =
= (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16
Данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0,
т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 = 4, х = 1, или х +3 = - 4 , х = – 7.
17 слайд
Решение квадратных уравнений по формуле
Вывод формулы:
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,
на 4а и следовательно имеем:
4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.
((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,
(2ах + b)2 = b2 – 4ас,
2ах + b = ±
2ах = – b ±
Х =
18 слайд
Например:
4х2+ 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3,
D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1,
D >0
х = ,
х = ;
х = ,
х = ,
х = ,
х = –1
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при b2 – 4ас>0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
19 слайд
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, тогда и только тогда, когда произведение корней равно свободному члену.
20 слайд
Теорема обратная теореме Виета
Если числа m и n таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c (m+n=-b, m·n=c), то эти числа являются корнями уравнения
ax2+bx+c=0
21 слайд
Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равно нулю , то есть a+ b+ c=0,то корнями уравнения являются х=1 х=c / а
Если а- в+ с= 0 или в=а+с, то x= -1, х= c\а
22 слайд
Решение уравнения несколькими способами.
а) x2-6x+5=0
x2-x-5x+5=0
(x2-x)-(5x-5)=0
x(x-1)-5(x-1)=0
(x-5)(x-1)=0
x-5=0,
x-1=0;
x=5,
x=1.
Ответ:{1; 5}.
б) x2-6x+5=0
x2-2·3·x+5=0
x2-2·3·x+9-9+5=0
(x-3)2-4=0
(x-3)2=4
x-3=2,
x-3=-2;
x=5,
x=1.
Ответ:{1; 5}.
23 слайд
в)x2-6x+5=0
a=1
b=-6
c=5
D=b2-4ac=36-4·1·5=36-20=16
D>0, следовательно
x=
x= ; ; x=5
x= ; ; x=1
Ответ:{1; 5}.
24 слайд
По теореме обратной теореме Виета
г)x2-6x+5=0
x1+x2=6
x1x2=5
5=1·5 или 5=-1·(-5)
x=1
x=5
Ответ: {1;5}
25 слайд
По свойству коэффициентов квадратного уравнения
д) x2-6x+5=0
a=1 , b=-6 , c=5
1-6+5=0 , значит
x=1
x=5
Ответ: {1;5}
26 слайд
Заключение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые нужно школьникам научиться решать.
27 слайд
Список использованной литературы
.
Алгебра. Сборник задач для учащихся 8-9 классов средней школы. Карп А. П.
Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. под редакцией Н. Я. Виленкина.
Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2. Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2010г.
Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2011г
Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 2004г
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В работе обобщён и систематизирован материал по теме:
« Способы решения алгебраических уравнений». В неё вошли виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом показаны способы решения уравнений , которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшие учебные заведения.
Типичная ошибка школьников, да и учителей тоже – стремление чересчур подробно и мелко детализировать приёмы и методы решения уравнений того или иного класса. Запоминать большое количество способов не только бесполезно, но и вредно: из-за их обилия не просматриваются общие идеи. Общие методы, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с 7 по 9 класс, нашли отражение в презентации.
6 660 072 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Шаповалова Римма Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.