Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
«Комплексные числа»
Выполнил:
ученик 9 класса
МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ»
Ерочкин Иван
Руководитель:
учитель математики Кадышкина Н.В.
МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ»
Исследовательская работа по теме:
2 слайд
Число – одно из основных понятий математики
3 слайд
Введение
Решить уравнение:
Д <0,
Но корень можно извлечь в комплексных числах!
Нет решения?
Есть!
4 слайд
Цель работы:
Изучить комплексные числа и их роль в математике
Задачи для достижения цели
· Освоить действия, производимые с комплексными числами, заданными в различной форме.
· Проанализировать литературу по данному вопросу.
Оценить значение и роль комплексных чисел в повышении интереса математике
5 слайд
Предмет исследования:
Комплексные числа
Объект исследования:
Формы задания комплексного
числа и действия над ними
6 слайд
отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа
для общеобразовательных учреждений раздела,
изучающего комплексные числа
предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел
позволит углубить познания во многих разделах
математики, вооружит дополнительным инструментом для
решения различных задач
Проблема:
Рабочая гипотеза:
7 слайд
Комплексные числа:
обладают богатой историей;
Нужны для выполнения заданий других разделов математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.
Красоту такого раздела математики и хотелось раскрыть этой работой.
Актуальность работы
8 слайд
Изучение и анализ литературных источников, поиск в Интернете
Решение практических задач
3. Опрос.
4 .Анализ проделанной работы.
Методы исследования:
9 слайд
Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище
божественного духа. почти что амфибия с небытиём.
Г. Лейбниц
Никто ведь не сомневается в точности результатов,
получаемых при вычислениях с мнимыми количествами,
хотя они представляют собой только алгебраические
формы и иероглифы нелепых количеств.
Л. Карно
Несколько высказываний знаменитых учёных
о комплексных числах:
“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн
10 слайд
Компания действительных чисел очень пёстрая –
здесь и целые числа, и дроби, иррациональные
числа. При этом каждой точке числовой
обязательно соответствует некоторое
действительное число.
Из истории возникновения комплексных чисел
11 слайд
Кардано Джироламо
В 1545 г предложил ввести числа новой природы ,называл такие величины «чисто отрицательными»
Рене Декарт
В 1637 году французским математиком и философом Р. Декартом было введено название «мнимые числа»
ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
∙
=
12 слайд
Гаусс в 1831 году ввел термин “комплексные числа”
Карл Фридрих Гаусс
Леонард Эйлер
в 1777 г.Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова
imaginaire (мнимый) для обозначения числа
i =
13 слайд
Комплексным числом z называется выражение
z = a + b·i , где a и b – действительные числа, i2= -1,
a = Re z –действительная часть z (вещественная)
(Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);
b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Алгебраическая форма комплекного числа
14 слайд
Переместительное свойство:
Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1
Сочетательное свойство:
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)
Распределительное свойство:
Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3
Основные свойства:
15 слайд
1. Сумма комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 – b2·i равна:
z1 + z 2 = ( а1 + а2) +(b1+ b2) · i
2. Разность комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 – b2·i равна:
z1 - z 2 = ( а1 - а2) +(b1 - b2) · i
3. Произведение комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 – b2·i равно:
z1 · z 2 = ( а1 · а2 - b1 · b2) +( а2 ·b1 +b2 ·а1) · i
4. Частное комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 – b2·i равно:
Действия над комплексными числами.
16 слайд
Решение:
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i =
(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i =
(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2=
10 –14i + 15i + 21 =
(10+21)+(– 14i+15i)=31+i .
(Здесь учтено, что i2 = – 1).
Примеры
Даны числа: z1 = (2 + 3i) и z2 =(5 – 7i)
Найти: а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
17 слайд
Решение уравнений
с комплексными
переменными
Решить квадратное уравнение
Дискриминант:
Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет.
Но корень можно извлечь в комплексных числах!
Получаются два корня:
Таким образом, уравнение
имеет два сопряженных комплексных корня:
,
.
18 слайд
корней, часть из которых может быть комплексными
имеет ровно
И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени
19 слайд
Комплексная плоскость
20 слайд
Построение комплексных чисел
на комплексной плоскости
21 слайд
Геометрическая форма комплексного числа
Комплексное число z = a + b·i изображается на плоскости
точкой, имеющей координаты (а; Ь)
Действительные числа изображаются
точками оси абсцисс,
а чисто - мнимые – точками оси ординат.
Комплексное число изображается также
вектором на комплексной плоскости с
началом в точке О и концом в точке М.
22 слайд
Действия над комплексными числами ,
заданными в геометрической форме
Сумма комплексных чисел
Разность комплексных чисел
23 слайд
y
M(а;в)
O
x
φ = arg z
a
b
N
Комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора
a = Re z = r ∙ cos φ,
b = Im z = r ∙ sin φ,
,
Тригонометрическая форма комплексного числа.
r
φ = arg z
24 слайд
Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме
Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
25 слайд
Возведение комплексных чисел в степень
Абрахам де Муавр (1667 – 1754) –
английский математик
, где n – целое положительное число.
Формула Муавра
26 слайд
где - арифметическое значение корня из действительного неотрицательного числа,
k – любое целое число.
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
27 слайд
Показательная форма комплексного числа
-формула Эйлера
Для комплексных чисел
,
справедливы равенства
Для n-ой степени числа z справедливо равенство:
Корень n-ой степени из числа z равен:
28 слайд
Области применения
комплексных чисел
Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки
Теория функций комплексной переменной находит широкое применение
при решении важных практических задач картографии, электротехники,
теплопроводности.
3.Комплексные числа в настоящее время используют для решения задач,
связанных с самолетостроением и аэромеханикой, а также используются
для расчета различных конструкций на прочность.
4. Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял
теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных
задач. Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной
силе крыла самолета
4. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский
решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.
29 слайд
Теоретическая и практическая значимость работы:
Данный материал можно использовать для знакомства с комплексными числами ;
Изучение данного материала формирует умение решать квадратные уравнения, когда дискриминант отрицательный;
Данный материал позволяет решать уравнения высших степеней
30 слайд
Спасибо
за внимание
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Данная презентация создана для защиты исследовательской работы на тему " Комплексные числа". В ней представлены основные моменты работы: введение, цель и задачи, теоретическая и практическая части,заключение и выводы.
Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точках пространства, окружающего заряженный конденсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруднений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров).
6 663 793 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кадышкина Надежда Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.