-
Курсы
-
Другое
Выполнила : учащаяся XI информационно-математического класса МОУ Богучарский лицей Шведова Мария Александровна Руководитель: Кобелева Татьяна Васильевна учитель математики ВКК МОУ Богучарский лицей Функционально - графические методы при решении уравнений ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ XXVI НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИКА» Воронеж 2011 г.
Использование монотонности и четности функции Использование ограниченности функции. Графический метод Нахождение области определения и области значения. Функциональные методы
Порядок решения уравнения функциональным методом: Определение свойств функции Нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции). Нахождение корня подбором, решение системы уравнений
Если в уравнении f(x)=g(x) f(x) – убывающая, а g(x) – возрастающая, то уравнение имеет не более 1 корня Теорема №1 Пример 1. 2X = 3 – x x= 1 является корнем уравнения, т.к. 21=3 – 1 2 = 2 – верное равенство А т.к. у = 2X – возрастающая, а у = 3 – х – убывающая, то уравнение корней более не имеет. Ответ: х=1 Пример 2. log1/3 x= x – 4 x = 3 – является корнем уравнения, т.к. log1/3 3 = 3 – 4 -1 = - 1 – верное равенство А т.к. у = log1/3 x – убывающая, а у = х – 4 – возрастающая, то уравнение корней более не имеет. Ответ: х = 3
Пример3. Решить уравнение х²+1 = 2-Х² х²+1 = 2-Х² х=0 является корнем уравнения, т.к. 0+1=20 1=1 – верное равенство А т.к. у= х²+1- возрастающая, а у=2-Х² - убывающая, то уравнение больше не имеет корней. Ответ: х=0.
Если в уравнении f(x) = c f(x) – монотонна, а с = const, то уравнение имеет не более одного корня. Теорема №2 Пример 1.
Пример 2. 2x + 3x + 4x = 9x 2x + 3x = 9x - 4x 2x + 3x = (2x + 3x)(2x - 3x ) (2x + 3x) - (2x + 3x)(2x - 3x) = 0 (2x + 3x )(1 – (2x + 3x)) = 0 2x + 3x = 0 или 1 – (2x + 3x)=0 Т.к. ax > 0, то уравнение 1 - 2x - 3x =0 корней не имеет. 2x + 1 = 3x | : 3x ≠0 (2/3)x + (1/3)x = 1 x = 1 является корнем уравнения. А т.к. y = (2/3)x – убывающая, у = (1/3)x – убывающая, следовательно у = (2/3)x + (1/3)x –убывающая и 1 = const, то уравнение не имеет больше корней. Ответ: х = 1
Пример3.
Если на множестве φ наибольшее значение одной из функций y=f(x), y=g(x) равно φ и наименьшее значение другой функции тоже равно φ, то уравнение f(x)=g(x) равносильно на множестве φ системе уравнений: g(x)=φ f(x) =φ Теорема №3 (Метод Мажорант) Пример 1. x2+3 = cosx + 2 x2 +1 = cosx y=x2 + 1 : E(f) х2≥0 x2 + 1=1 х2+1≥1 cosx=1 x=0 y = cosx : E(f) -1≤cosx≤1 Ответ: x=0
Пример 2. Решить уравнение log3(x2 + 4x +13) = cosπx – sin Решение. Найдем области значений данных функций log3(x2 + 4x +13) ≥2, т.к. x2 + 4x +13≥9, т.к. log39=2 cosπx – sin≤2, т.к. cosπx≤1 и – sin≤1 Т.к. первая функция больше или равна двух, а вторая меньше или равна двух, то данное уравнение равносильно системе уравнений log3(x2 + 4x +13) =2 cosπx – sin≤2 Первое уравнение имеет только один корень х=-2, подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство. Следовательно, корнем уравнения является -2. Ответ: х=-2
Пример3. Решить уравнение sin5π=x2 – 4x + 5 4 1
Четность функции Пример1.
При решении уравнений иногда очень полезно применять свойства функции, учитывая сформулированные теоремы.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Работа была представлена на XXVI конференции НОУ ВГУ
в секции: "Математика"
Цель данной работы – показать возможность применения свойств функций при решении уравнений и показать рациональность применения этих методов по сравнению с другими.
Функциональный метод, как правило, используется для уравнений, содержащих разные функции. Но не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др.
Функционально – графические методы основаны на:
– - использовании монотонности и четности функции;
– - использовании ограниченности функции;
– - построении и "чтении" графиков функции ;
– -нахождении области определения и области значения функции.
Обычно функционально- графические методы применяют, когда в обеих частях уравнения стоят функции разного вида, когда в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число и когда в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу.
Порядок решения уравнения функциональным методом:
– определение свойств функции
– нахождение ОДЗ или промежутков монотонности функции (в зависимости от свойства функции).
– нахождение корня подбором, решение системы уравнений.
В каталоге 6 713 курсов по разным направлениям
