Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация к проектной работе по математике "Геометрическое решение алгебраических задач"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация к проектной работе по математике "Геометрическое решение алгебраических задач"

библиотека
материалов
Геометрические решения алгебраических задач Выполнили: Мануйлова Валентина и...
Цель работы: Рассмотреть различные геометрические методы в решении алгебраич...
«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть...
Решите уравнение : «Найдите катет х прямоугольного треугольника, если его гип...
Решите систему уравнений при условии, что x, y, z и t – положительны. Решение...
Применение в решении задач теоремы, обратной теореме Пифагора. . Из условий х...
Решение текстовых задач На двух типографских станках, работающих одновременно...
Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одноврем...
Задачи с практическим применением Задача «О судне». Парусное судно стояло на...
Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки	 Найдите корни квад...
Решить квадратное уравнение 7х2-6х-1=0. Решение: 1)	Построим точки S (-b/2a;...
Графический способ решения алгебраических систем уравнений и задач Решить ура...
Дано: sin x = 0, 75, 0°≤ α ≤ 90° Найти cos α, tg α. .
Геометрическое решение некоторых нестандартных задач При каком а система урав...
Заключение Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вм...
15 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Геометрические решения алгебраических задач Выполнили: Мануйлова Валентина и
Описание слайда:

Геометрические решения алгебраических задач Выполнили: Мануйлова Валентина и Овчарова Наталья ученицы 10 физико-математического/социально-экономического класса МКОУ «Богучарский лицей». Руководитель: учитель математики ВКК Кобелева Татьяна Васильевна. 2014

№ слайда 2 Цель работы: Рассмотреть различные геометрические методы в решении алгебраич
Описание слайда:

Цель работы: Рассмотреть различные геометрические методы в решении алгебраических задач. Задачи работы: 1) показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящные решения; 2) рассмотреть применение теоремы Пифагора и обратной ей теоремы для решения алгебраических задач; 3) рассмотреть применение метода линейных и двумерных диаграмм для решения алгебраических задач; 4) продемонстрировать применение геометрического метода для решения текстовых задач.

№ слайда 3 «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть
Описание слайда:

«Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать» Решение: Пусть х-расстояние от лестницы до стены (рис. 2) По теореме Пифагора: 1172+ х2=1252 х2=1936; х=44 , так как х>0 Ответ: 44 стопы. Задача из «Арифметики» Магницкого

№ слайда 4 Решите уравнение : «Найдите катет х прямоугольного треугольника, если его гип
Описание слайда:

Решите уравнение : «Найдите катет х прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 13, а другой катет равен 12» В результате получаем |х|=5, а значит, х=±5. Ответ: х=±5.

№ слайда 5 Решите систему уравнений при условии, что x, y, z и t – положительны. Решение
Описание слайда:

Решите систему уравнений при условии, что x, y, z и t – положительны. Решение: Треугольник AВС с прямым углом С (рис. 4b), у которого катет АС = 8, поскольку сумма длин соответствующих катетов равна 8. Катет ВС = 6, так как x + у + z + t = 6. тогда гипотенуза АВ = =10. Отсюда следует, что гипотенузы рассматриваемых треугольников лежат на одной прямой, потому что в противном случае длина ломаной AFEDB была бы строго больше 10.Точки F, E и D делят гипотенузу АВ на части, которые относятся BD:DE:EF:FA = 1:2:3:4. Проведем через эти точки прямые, параллельные катету АС. По теореме о пропорциональных отрезках катет ВС разделился в том же отношении, т.е. x:y:z:t = 1:2:3:4. Ответ: x = 0,6, y = 1,2, z = 1,8, t = 2,4.

№ слайда 6 Применение в решении задач теоремы, обратной теореме Пифагора. . Из условий х
Описание слайда:

Применение в решении задач теоремы, обратной теореме Пифагора. . Из условий х2+у2=9, у2+z2=16 и у2=хz для положительных х, у, z, не вычисляя их значений, указать значение выражения ху+уz Решение: По теореме, обратной теореме Пифагора , числах, у и 3 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника АВD с прямым углом D. Из 2-го уравнения у, z и 4 так же есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника ВСD с прямым углом D. Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС – прямой (рис). Теперь рассмотрим выражение ху+уz. ху+уz=(х+z)у= 2SAВС=3•4=12. Ответ: ху+уz=12

№ слайда 7 Решение текстовых задач На двух типографских станках, работающих одновременно
Описание слайда:

Решение текстовых задач На двух типографских станках, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждом станке в отдельности, если известно, что на первом ее можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй? Решение: На оси абсцисс откладываем время работы станков в минутах. Оба станка сделают работу вместе за 10 минут. ОМ=10. Тогда одной первой понадобится t минут. А второй (t+15) минут.V - объем работ, который нужно выполнить. ОВ - график работы первого станка, ОС - второго, ОА – вместе (рис. 9). ΔОVB≅ΔNAB и ΔOPС≅ΔOMK, откуда VO/AN=VB/AB и СP/KM=OP/OM; покажем, что AN=KM. Так как за 10 минут первый станок выполнит часть работы, соответствующий отрезку NM (AN - отрезок работы который выполнит второй станок). Но за 10 минут второй станок выполнит часть работы, соответствующую МК. Поэтому АN=КМ. Учитывая это равенство и то, что СР=VO, получаем, VO/AN=CP/KM. Так как VO/AN=VB/AB и СP/KM=OP/OM, то получаем соотношение: VB/AB=OP/OM, значит t/(t-10)=(t+15)/10; t2-5t-150=0; t=15 Таким образом, I станок выполнит работу за 15 минут, а II за 30 минут. Ответ: 15 минут, 30 минут.

№ слайда 8 Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одноврем
Описание слайда:

Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся? Читаем с чертежа ответ: 3 часа.

№ слайда 9 Задачи с практическим применением Задача «О судне». Парусное судно стояло на
Описание слайда:

Задачи с практическим применением Задача «О судне». Парусное судно стояло на ремонте на Соломбальской судоверфи. Для крепления мачты необходимо было установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватило ли 50 м троса для крепления мачты? (рис. 11) Решение: По теореме Пифагора 122+52=144+25=169; 13•4=52 (м) Ответ: троса не хватило

№ слайда 10 Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки	 Найдите корни квад
Описание слайда:

Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки Найдите корни квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1;0) и С(х2;0) где х1 и х2 –корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0, и проходит через точку А(0;1) (рис). Тогда по теореме о секущих имеем OС×OВ=OЕ×OА, откуда OЕ= =(OB×OС)/OA=(x1×x2)/1=c/a. Центр окружности -точка пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд АЕ и BС , поэтому ОК=(x1+x2)/2=-b/2a,ОF=(1+c/a)/2=(a+c)/2a. Способ нахождения корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 с помощью циркуля и линейки: построим точки S (-b/2a; (a+c)/2a) – центр окружности и А(0;1); 2) проведем окружность радиуса SA; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Оx являются корнями исходного квадратного уравнения (рис).

№ слайда 11 Решить квадратное уравнение 7х2-6х-1=0. Решение: 1)	Построим точки S (-b/2a;
Описание слайда:

Решить квадратное уравнение 7х2-6х-1=0. Решение: 1) Построим точки S (-b/2a; (a+c)/2a) =S(3/7; 3/7) - центр окружности и А(0;1) на координатной плоскости; 2) Проведем окружность радиуса SA (рис. 4); 3) Окружность пересекает ось абсцисс в точках (-1/7;0) и (1;0) 4) Проверкой убеждаемся, что х1=−1/7; х2=1 – корни данного уравнения. Ответ: х1=−1/7; х2=1

№ слайда 12 Графический способ решения алгебраических систем уравнений и задач Решить ура
Описание слайда:

Графический способ решения алгебраических систем уравнений и задач Решить уравнение: |x-1|+2x-5=0. Решение: Запишем уравнение в виде lx-1=5-2х . Так как |x – 1| ≥ 0 при любых х, то и 5 – 2x ≥ 0 , т. е. x ≤ 2,5. Построим графики функций у1=|x-1|, y2=5-2x (рис. 5). Решением данного уравнения является абсцисса точки пересечения данных графиков. Ответ: х=2

№ слайда 13 Дано: sin x = 0, 75, 0°≤ α ≤ 90° Найти cos α, tg α. .
Описание слайда:

Дано: sin x = 0, 75, 0°≤ α ≤ 90° Найти cos α, tg α. .

№ слайда 14 Геометрическое решение некоторых нестандартных задач При каком а система урав
Описание слайда:

Геометрическое решение некоторых нестандартных задач При каком а система уравнений имеет ровно четыре решения? Решение: Построим линии, определяемые уравнениями системы (рис. 9). Четыре решения могут быть только в двух случаях, когда. a = R2 =1 или a = r2 =1/2 Ответ:1; 1/2

№ слайда 15 Заключение Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вм
Описание слайда:

Заключение Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Вспомним крылатую фразу французского математика Софии Жермен : «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах».В ходе работы нам удалось увидеть синтез этих двух великих наук. Мы убедились, что геометрические подходы часто упрощают решение задач. Геометрия-

Краткое описание документа:

Работа заняла 2 место в Воронежском Государственном Университете на Научно-практической конференции учащихся, секция "Математика"  2014 уч. год.

   Актуальность  темы состоит в необходимости связи алгебры и геометрии, как элементов, составляющих одно целое – науку математику, а также в применении знаний геометрии в жизни. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи.

Суть геометрического метода состоит в том, что решение задачи и доказательство направляется наглядным представлением.

Цель работы: рассмотреть различные  геометрические методы в решении алгебраических задач.

 Задачи работы:

1) показать, что преимущество геометрического решения алгебраических задач в его наглядности, так как геометрический подход допускает изящное решение;

 2) рассмотреть применение теоремы Пифагора  и обратной ей теоремы для решения алгебраических задач;

 3) рассмотреть применение метода линейных и двумерных диаграмм для решения алгебраических задач;

 4) продемонстрировать применение геометрического метода для решения текстовых задач.

В реферате рассмотрены:

1) исторические задачи, решенные геометрическим способом;

2) задачи на движение с использованием  чертежа и подобия треугольников;

3) решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки;

4) графический способ решения алгебраических систем уравнений и уравнений с модулем;

5) решение некоторых типов тригонометрических задач геометрическим способом;

 6) решение задач с параметром геометрическим способом.

 Геометрия придает алгебре необыкновенную красоту и изящность. А вместе алгебра и геометрия представляют собой единое целое. Вспомним крылатую фразу французского математика Софии Жермен : «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах» . В ходе работы нам удалось увидеть синтез этих двух великих наук. Мы рассмотрели в работе несколько типов задач, для которых подобрали решение и алгебраическим и геометрическим методами. Сравнили эти решения и попробовали применить данные способы для решения подобных задач. Достигнута цель работы, которая  заключается в углубленном изучении математики на основе интеграции алгебраического и геометрического методов решения задач.
    В процессе исследования мы решили много исторических, практических, алгебраических задач геометрическими способами. Решения некоторых из них продемонстрированы в работе. Рассматривая различные источники и анализируя литературу, мы пришли к выводу, что алгебраические задачи, которые можно решить геометрически, встречаются очень часто, как на ЕГЭ, так и в школьных учебниках.  Мы убедились, что геометрические подходы часто упрощают решение задач. Таким образом, цель работы достигнута.

Преимущества решения задач геометрическим способом:

  • Графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составления уравнений, помогает найти несколько способов решения.
  • Расширяется область использования графиков, повышается графическая культура.
  • Реализуются внутрипредметные (алгебра и геометрия) и межпредметные (математика и физика) связи.

Выводы

  1. Мы рассмотрели различные задачи, подобрали для них геометрические способы решения, сравнили алгебраический и геометрический методы решения.
  2. Удобнее и нагляднее всего решать геометрическим методом тригонометрические задачи. Этот метод можно использовать в качестве проверки при решении задач.
  3. Рассмотренные геометрические методы подходят для решения конкурсных нестандартных и олимпиадных задач. Позволяют существенно упростить их решение, сделать его более понятным и наглядным.
  4. Применение геометрических методов позволяет развивать пространственное воображение, которое является основным для освоения материала в старших классах. Позволяет сократить время решения задач (применимо к тестам).

 

 

 

Автор
Дата добавления 01.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров510
Номер материала 106245
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх