Презентация к уроку "Элементы теории вероятностей"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Элементы теории вероятностей.
  В теории вероятностей пространство элементарных исходов принято обозначать буквой , при этом сами элементарные исходы обозначаются
  1, 2, 3 и т.д.
  Пример. Из колоды в 36 карт вытаскивается 1 карта.
  В этом случае  состоит из 36 исходов:
   = 6, 6, 6, 6, 7,….
  

• 

  2 слайд

  Достоверное и невозможное событие.
  Считается, что событие А произошло, если результатом эксперимента стал элементарный исход А.
  Событие, совпадающее со всем пространством , называют достоверным (это событие происходит при любом результате эксперимента).
  Пустое множество называется невозможным событием
  (не происходит никогда).
  

• 

  3 слайд

  случайные события, это события, которые могут произойти, а могут и не произойти, в результате некоторого эксперимента.
  Случайное событие
  

• 

  4 слайд

  Алгебра событий.
  
  Суммой событий А и В называется событие А+В, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.
  Произведением событий А и В называется событие АВ, которое заключается в том, что происходят оба этих события. Если АВ – невозможное событие, то события А и В называются несовместными.
  Разностью между событием А и событием В называется событие А–В, которое заключается в том, что событие А происходит, а событие В не происходит.
  Событием, противоположным событию А, называется событиеА, которое заключается в том, что событие А не происходит.
  

• 

  5 слайд

  Вероятность события
  Пусть  – пространство элементарных исходов. Вероятностью на пространстве  называется заданная на этом пространстве числовая функция Р, обладающая двумя свойствами:
  Р(i)  0 для всех i;
  Р(1) + Р(2) + Р(3) + … = 1
  Величину Р(i) называют вероятностью исхода i и обозначают рi. Эта величина характеризует частоту появления данного исхода в результате проведения серии экспериментов.
  Вероятность на пространстве  удобно бывает задавать с помощью таблицы:
  Такая таблица иногда называется распределением вероятности на пространстве .
  

• 

  6 слайд

  Подходы к определению вероятности события.
  Классический подход заключается в том, что вероятности всех элементарных исходов считаются одинаковыми. Этот подход применим лишь в случае, когда пространство элементарных исходов конечно.
  
  
  Статистический подход предполагает проведение большого количества экспериментов, после чего в качестве pi берется частота исхода i, то есть отношение числа экспериментов, при которых данный исход имел место, к общему количеству экспериментов.
  

• 

  7 слайд

  Вероятностное пространство
  Пространство элементарных исходов  с заданной на нем вероятностью Р называется вероятностным пространством.
  Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих этому событию.
  При этом вероятность невозможного события полагается равной нулю.
  Свойства вероятности.
  Р() = 1
  0Р(А)1 для любого события А
  Если АВ, то Р(А)Р(В)
  Если события А и В несовместны, то
  Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
  Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) для любых событий А и В
  
  
  
  
  

• 

  8 слайд

  Классический подход.
  При классическом определении вероятности справедлива формула
  
  
  Формула позволяет находить вероятность данного события чисто комбинаторными методами.
  Задача . Из карточной колоды (36 карт) берется карта. Какова вероятность, что она бубновой масти?
  Решение. В данном случае пространство  состоит из 36 элементарных исходов (по числу карт в колоде). Предположение о том, что эти исходы равновероятны, не выглядит слишком смелым. Так как благоприятных исходов 9, то, согласно формуле .
  

• 

  9 слайд

  Пример 1
  Что вероятнее выбросить при метании двух костей – 7 очков или 8 очков?
  Решение:
  7 очков: 6/36=1/6
  8 очков: 5/36
  

• 

  10 слайд

  Пример 2
  В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соответствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвращаются.
  Какова вероятность того что:
  Получится слово «око»
  Получится слово «ар»
  
  

• 

  11 слайд

  Пример 3
  В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского алфавита. Из него извлекают 6 жетонов и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность получить слово «Москва», если:
  вынутые жетоны обратно возвращаются
  вынутые жетоны обратно не возвращаются?
  1) 2)
  

• 

  12 слайд

  Пример 4
  Из квадратиков с буквами сложили слово «Миссисипи», после чего квадратики положили в мешок и перемешали.
  Какова вероятность, что после поочередного извлечения получится тоже слово?
  

• 

  13 слайд

  Пример 5
  В мешке лежат 5 жетонов, помеченных буквами
  «а», «б», «в», «г».
  Из него 4 раза извлекают жетон, который после записи снова возвращается обратно.
  Какова вероятность, что при этом ни одна буква не повторится дважды?
  

• 

  14 слайд

  Пример 6
  Из карточной колоды (36 карт) берутся две карты. Какова вероятность, что обе они бубновой масти?
  Решение.
  Тогда пространство элементарных исходов  состоит из неупорядоченных пар (то есть сочетаний из 36 по 2). Их общее количество .
  
  Множество благоприятных исходов состоит из неупорядоченных пар карт бубновой масти. Их общее количество =36.
  
  
  Отсюда
  

• 

  15 слайд

  Пример 7
  Задача. 12 команд произвольным образом разбиваются на две подгруппы по 6 команд в каждой. Какова вероятность, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе?
  Решение.
  Назовем две сильнейшие команды «Спартак» и ЦСКА.
  В качестве элементарного исхода будем рассматривать неупорядоченную выборку, состоящую из пяти команд, попавших в одну группу со
  «Спартаком». Тогда
  
  Благоприятный исход – это такая выборка, в которой присутствует ЦСКА, остальные же 4 команды выбираются из 10 оставшихся. Таким образом, число благоприятных выборок равно
  
  
  То есть искомая вероятность равна
  

• 

  16 слайд

  Пример 8
  Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка.
  Какова вероятность, что это событие рано или поздно произойдет?
  Решение.
  Вероятность того, что шестерка не выпадет ни
  разу за n бросаний равна .
  Соответственно, вероятность того, что шестерка выпадет хотя бы
  раз (за n бросаний), равна .
  Вероятность того, что шестерка выпадет когда-нибудь, не меньше этой величины.
  Так как с ростом n величина стремится к нулю, то искомая вероятность равна 1.
  

• 

  17 слайд

  Независимые события
  События А и В называются независимыми, если
  р(АВ) = р(А)р(В).
  Независимость двух событий означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, то есть
  
  р(ВА) = р(В) и р(АВ) = р(А).
  

• 

  18 слайд

  Независимые события
  Если события А и В независимыми, то
  р(А+В) = р(В) + р(А )-р(А)р(В).
  Пример 9:
  Два зенитных орудия стреляют одновременно и независимо друг от друга по самолету. Самолет сбит, если в него попал хоть один снаряд.
  Какова вероятность сбить самолет, если вероятность попадания первого орудия равна 0,8, а второго 0,75
  

• 

  19 слайд

  Условная вероятность
  Как найти вероятность события В, если известно, что произошло событие А? Эта величина носит название условной вероятности и обозначается p(BA) (читается «вероятность B при условии A»). Таким образом имеем:
  
  
  
  
  
  Обычно эта формула служит определением условной вероятности. Формулу обычно используют для определения вероятности произведения двух (или нескольких) событий:
  
  р(АВ) = р(А)р(ВА)
  

• 

  20 слайд

  Формула полной вероятности
  Для любых событий А и В справедлива формула
  
  P(A) = P(AB)P(B) + P(AВ)P(А)
  Пример 10. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что этот шар белый?
  Решение.
  Пусть событие В состоит в том, что выбран ящик первого типа. Тогда
  Р(В) = 0,4; P(А) = 0,6; P(БB) = 0,6; P(БА) = 0,2.
  Применяя формулу из предыдущей задачи, получим
  Р(А) = 0,60,4+0,20,6 = 0,36.
  

• 

  21 слайд

  Формула полной вероятности
  Пусть события Н1, Н2,…Нn попарно несовместны и в сумме дают все пространство . Тогда справедлива формула
  
  
  
  Эта формула называется формулой полной вероятности.
  Пример 11.
  В физико-математическом классе учится 50% математиков, 30% физиков и 20% лодырей. Каждый из математиков выучили по 80% заданных учителем формул, каждый из физиков – по 60%, а каждый из лодырей – по 10%.
  Какова вероятность, что случайно выбранный ученик правильно напишет необходимую формулу?
  

• 

  22 слайд

  Пример 11
  Партия электрических лампочек на 20% изготовлена заводом 1, на30% - заводом 2 и на 50% - заводом 3.
  Для 1 завода вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01
  Для 2 -0,005
  Для 3 – 0,006.
  Какова вероятность того, что взятая наугад лампочка оказалась бракованной?
  
  
  

• 

  23 слайд

  Формула Байеса
  Если существуют попарно исключающие друг друга гипотезы Хk, охватывающие всевозможные случаи, и если известны вероятности события А при каждой из этих гипотез, то по этой формуле можно найти вероятность гипотезы Нk при условии, что прошло А.
  

• 

  24 слайд

  Пример 12
  20% выпускников 17 школы собираются поступать в московские вузы, 30% – в ТГТУ и 50% – в ТВГУ. Среди поступающих в московские вузы 20% сдают выпускной экзамен по ОБЖ, среди поступающих в ТГТУ и ТВГУ этот процент составляет 60% и 40% соответственно. Известно, что Вася решил сдавать экзамен по ОБЖ. Какова вероятность, что он собирается продолжить свое образование в ТГТУ?
  

• 

  25 слайд

  Формула Бернулли
  Результат серии испытаний можно записать как упорядоченный набор из нулей и единиц, в котором единица соответствует успешно проведенному испытанию, а нуль означает, что в соответствующем испытании событие А не произошло. Вероятность того, что на k - ом месте в этом наборе стоит единица равна р, нуль q. Так как испытания независимы, то вероятность результата серии равна произведению вероятностей результатов отдельных испытаний. В этом произведении m раз встречается число р и n–m раз – число q. Осталось сосчитать количество наборов, состоящих из m нулей и n–m единиц.
  Таких наборов, очевидно, .
  Отсюда получаем справедливость формулы.
  

• 

  26 слайд

  Какова вероятность того, что при 10 бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза?
  Пример 13
  

• 

  27 слайд

  Мы стреляем в мишень с вероятностью попадания
  Всего производится 7 выстрелов.
  Какова вероятность попасть в мишень ровно 3 раза?
  Пример 14
  

• 

  28 слайд

  Самостоятельная работа
  В партии из 40 деталей 5 оказалось с дефектами. Какова вероятность того, что взятые наугад 4 детали окажутся без дефектов?
  Из 10 винтовок, среди которых 6 снайперских и 4 обычные, наугад выбирается одна и из нее производится выстрел. Какова вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки 0,9, а из обычной 0,7?
  На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероятность того, что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?
  В магазин вошли 11 покупателей. Вероятность совершить покупку каждым из них равна 0,1. Какова вероятность того, что 7 из них совершат покупку7?
  Из последовательности чисел 101,102,103,…200 выбирают наугад с возвращением 10 чисел. Какова вероятность того, что среди них кратных 8 будет не более одного?
  

• 

  29 слайд

  Сверим ответы:
  Вероятность выбора 4 деталей без дефекта:
  0,9*0,6+0,4*0,7=0,82
  Чисел, кратных 6, всего 8,
  P=0,1; q=1-0.1=0,9
  Среди данных чисел кратных 8 – 13, значит вероятность выбрать из 100 чисел 13 равна
  Тогда искомая вероятность
  
  

• 

  30 слайд

  Спасибо за внимание!