Презентация на тему " Математика на шахматной доске"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №39»

Математика на шахматной доске

ВЫПОЛНИЛА:

Осипова Аня

ученица 7 «А» класса

ПРОВЕРИЛА:

Руководитель математики

Буяновская Н.Ю.

Астрахань 2008

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

Основная часть…………….……………………………………………………..5

Заключение………………………………………………………………………11

Список литературы……………………………………………………………...12

Введение

Зародившись чуть ли не с появлением человека на Земле, математика к настоящему времени достигла блестящих вершин, расширилась область её применения. Значение математики в различных областях знаний огромно. Одной из них является шахматная математика.

У шахмат и математики много родственного. Выдающийся математик Годфри Харальд Харди заметил однажды, что решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сама игра — насвистывание математических мелодий. Формы мышления математика и шахматиста очень близки, и не случайно математики часто бывают способными шахматистами.

Среди крупных ученых, специалистов в области точных наук, известно немало сильных шахматистов, например, математик академик А. А. Марков, механик академик А. Ю. Ишлинский, физик академик, лауреат Нобелевской премии П. Л. Капица.

В то же время многие гроссмейстеры имеют математическое или близкое к нему образование. Склонность к занятиям математикой проявлялась даже у чемпионов мира по шахматам. Интересовался ею первый шахматный король В. Стейниц.

Профессиональным математиком был его преемник доктор Эм. Ласкер. Доктор М. Эйве, пятый чемпион мира, возглавлял один из вычислительных центров в Голландии.

Первый советский чемпион мира М. Ботвинник, доктор технических наук и специалист в области электротехники, в последние годы все силы отдает разработке алгоритма игры в шахматы и, по существу, переквалифицировался в математика-прикладника. Яркими математическими способностями в юные годы обладал М. Таль.

Чемпион мира А. Карпов с золотой медалью закончил математическую школу, был победителем ряда математических олимпиад. После окончания школы он поступил на механико-математический факультет МГУ, но  ради шахмат «пожертвовал» математикой...

Сопоставление математики и шахмат, как сфер человеческой деятельности, очень интересно и заслуживает специального изучения.

Шахматы постоянно используются для иллюстрации различных математических понятий и идей. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе, теории игр и т. д. Важное место занимают шахматы в «компьютерной науке».

В своей работе я рассмотрю математику на шахматной доске. В ней я расскажу об одной области занимательной математики, а так же представлю решение некоторых занимательных задач.

Основная часть.

Шахматная математика — один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Впрочем, некоторые шахматно-математические головоломки так сложны, что видные математики разрабатывали для них специальный математический аппарат.

Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых.

Приведу два примера, показывающие, как шахматная доска может быть использована для решения математических задач.

Доказательство теоремы Пифагора. Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль однажды признался, что в детстве был потрясён доказательством теоремы, которую нерадивые школьники произносят так «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Нарисуем на шахматной доске квадрат (рис 1).

Рис. 1

Доска разбита здесь на пять частей — сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника. А теперь сделаем так, чтобы на шахматной доске перед нами были те же четыре треугольника, а вместо одного квадрата уже два, но меньшего размера (рис.2).

Рис. 2

Треугольники в обоих случаях одни и те же, а значит, имеют равную площадь. Следовательно, равную площадь занимают и оставшиеся части доски: в первом случае один квадрат, во втором — два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие — на его катетах, приходим к выводу, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Головоломка с домино. Удастся ли плотно покрыть костями домино размером 2x1 доску 8x8 квадратов, из которой вырезаны противоположные угловые квадраты?

Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение и проще, и изящнее. Окрасим урезанный квадрат чёрным и белым цветами, превратив его в шахматную доску без угловых полей al и h8. При искомом покрытии доски каждая кость домино занимает одно белое и одно чёрное поле, и, значит, весь набор костей (31 штука) покрывает одинаковое число белых и чёрных полей. Но на урезанной доске чёрных полей на два меньше, чем белых (вырезанные поля чёрные), и, следовательно, необходимого покрытия доски не существует!

 Итак, раскраска доски не только помогает шахматисту ориентироваться на ней во время игры, но и позволяет решать необычные математические головоломки. «Красиво, ничего не скажешь!» — воскликнул чемпион мира по шахматам Гарри Каспаров, когда познакомился с решением задачи.

С точки зрения математика, наиболее интересное свойство шахматной доски заключается в том, что расстояние на ней не совсем обычно: кратчайший путь между двумя точками (полями) не обязательно измеряется по прямой линии.

Компьютер решает шахматные головоломки. В решении математических головоломок на шахматной доске, где требуется огромный перебор вариантов, человек давно уступил место компьютеру.

Начнём со знаменитой задачи о восьми ферзях: требуется подсчитать число различных расстановок на шахматной доске восьми ферзей, не угрожающих друг другу, т. е. не стоящих на одной вертикали, горизонтали и диагонали (цвет фигур не имеет значения). Головоломкой о восьми ферзях интересовался Карл Фридрих Гаусс, но и он не сумел найти всех возможных решений. Позднее доказали, что общее число расстановок 8 ферзей равно 92 (рис. 3).

Рис. 3

Когда-то подсчитать число решений этой задачи было весьма трудно. В наши дни полный набор расстановок, при введении в компьютер соответствующей программы, можно найти за считанные секунды. Не случайно головоломка о ферзях встречается как полезное упражнение во многих пособиях по программированию.

А вот одна необычная игра, которая имеет прямое отношение к той же задаче. Двое игроков по очереди ставят ферзей на вертикали а, b, с и т. д., причём ферзи не должны нападать друг на друга. Проигрывает тот, кто не в состоянии сделать очередной ход — на доске уже стоят 8 ферзей или нельзя поставить нового ферзя без нарушения указанного условия.

Рис. 4

На рисунке 4 белые выиграли все поля вертикали f  под контролем ферзей, и у черных нет хода. А в положении на рис.5  победа на стороне  черных: на вертикале е нет ни одного  доступного поля для белого ферзя.

Рис. 5

Есть и другой вариант той же игры: тот, кто делает последний ход, выигрывает столько очков, сколько ещё осталось на доске свободных вертикалей. Тогда в первом примере белые выиграли три очка, а во втором чёрные — четыре очка.

Каков же итог таких игр при наилучших действиях обеих сторон? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно перебрать все возможные партии (их несколько тысяч), что, согласитесь, довольно скучно. Работу поручили компьютеру. Вот к каким выводам он пришёл.

В первом варианте игры побеждают чёрные, а во втором — партия заканчивается вничью. Хотя последний ход принадлежит чёрным, их выигрыш составляет нуль очков.

Другая популярная головоломка, связанная с путешествием коня по шахматной доске, называется задачей о ходе коня. Нужно, чтобы конь обошёл все поля шахматной доски, не становясь ни на одно из них дважды.

И этой головоломкой занимались многие известные математики, а великий Эйлер даже посвятил ей большое исследование. Общее число маршрутов коня огромно. Впрочем, компьютер внёс уточнения в метод поиска обходных маршрутов коня.

Ещё с середины XIX в. известно правило Варнсдорфа: чтобы конь обошёл доску, при каждом ходе его следует ставить на поле, с которого он может сделать наименьшее число «прыжков» на ещё не пройденные им поля. Если таких полей несколько, то выбирают любое из них.

Более 150 лет правило Варнсдорфа считалось безукоризненным. Однако машинный эксперимент, проведённый уже в наше время, показал: произвольное применение второй части правила иногда заводит коня в тупик. Последовательно нумеруя поля, посещаемые конём (рис.6),  видно, что, начав маршрут с поля b7, он сделал 55 ходов, добрался до b8, а далее двинуться не может.   

Рис. 6

Согласно правилу Варнсдорфа, конь вынужден был пойти с d7 на b8 (номер 56), поскольку именно на b8 он обладает наименьшими возможностями для перемещений: их число равно 0. В результате часть полей — а8, b6, с7, d5, e8, f4, f6, h5 — осталась непройденной. Конечно, компьютер в данном случае не опроверг правило Варнсдорфа, а лишь уточнил его.

Просто оказалось, что второй частью правила нужно пользоваться аккуратнее.

С поля b4 конь мог пойти на а6 и d5, но такой же выбор был у него и на поле f4 — на d5 и h5. Последний ход и надо было предпочесть. Тогда конь легко завершал искомый маршрут: сначала посещал все ранее не пройденные поля: Kf4—h5—f6—e8—с7—а8—b6—d5, а затем поля 52—56 прежнего маршрута: Kd5—b4—а6—b8— d7—с5. В итоге на доске не оставалось ни одного поля, на котором бы не побывал конь, причём ровно по одному разу.

А вот ещё одна занятная головоломка, связанная с движением коня по шахматной доске. Если каждый его ход изобразить на доске отрезком прямой, соединяющим центры соответствующих полей, то полученный график маршрута в конце концов самопересечётся. Возникает вопрос: каков самый длинный, т. е. содержащий наибольшее число ходов, несамопересекающийся путь коня на шахматной доске? Не у каждого хватит терпения возиться с этой головоломкой. Другое дело — машина. Именно она и нашла рекордный путь, состоящий из 35 ходов. Извилистый маршрут коня изображён на рис. 7. Любой следующий ход ведёт к самопересечению графика.                                              Рис. 7

Заключение

     В данном докладе  я рассмотрела лишь небольшую часть применения математики в шахматах.

     Итак, я доказала, что без знаний математики невозможно решить многие задачи на шахматной доске.

     С  этой целью я привела примеры задач, которые решены великими математиками и с помощью компьютера.

    Так же, я представила  решённые мною задачи. В этом мне помогли знания математики.

 Не усвоив математических знаний трудно понять, что совершается в области математики теперь, в области других наук. Так что роль математики  в жизни общества возрастает с каждым днем.

Список литературы

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1972. – 274 с.

2. Гик  Е.Я. Шахматы и математика. - М.: Наука, 1983. - 190 с.

3. Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. - М.: Наука, 1976. - 176 с.

4. Карпов А.Е., Гик Е.Я. Шахматный калейдоскоп. – М.: Наука, 1981. – 217 с.

5. Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия. -  М.: Наука, 1988. -  288 с.

6. Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. - М.: Просвещение, 1983. - 436 с.

7.  Математика на шахматной доске //Математика /Гл. ред. М.Д. Аксенова. - М.: Аванта+, 1998. - 688 с.

8. Фельдблюм Б. О самом важном в математике. – М.: Дет. лит-ра, 1969. – 126 с.

9. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352 с.