Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Способы извлечения квадратных
корней
2 слайд
Актуальность
Умения извлекать квадратные корни нужны при изучении некоторых тем математики, химии и физики .
Знание способов и алгоритмов извлечения квадратных корней без калькулятора особенно актуально при сдаче ЕГЭ по математике.
3 слайд
Гипотеза:
Существуют ли способы извлечения квадратных корней без калькулятора
4 слайд
Цель работы:
Изучить способы извлечения квадратных корней без калькулятора и отобрать самые рациональные для практического применения.
5 слайд
Задачи:
Изучить литературу по данному вопросу.
Рассмотреть особенности каждого найденного способа
Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов и алгоритмов.
Познакомить одноклассников с рациональными способами вычисления квадратных корней.
6 слайд
Методы исследования
Анализ
Сравнение
Экспериментальное подтверждение
7 слайд
Способ разложения на простые множители
21344400=213444*10*10=2*2*3*3*7*7*11*11*2*5*2*5
213444 2 4-четное число, значит все число делится на 2
106722 2
53361 3 5+3+3+6+1=18 делится на 3
17787 3 1+7+7+8+7=30 делится на 3
5923 7
847 7
121 11
11 11
1
𝟐∗𝟐∗𝟑∗𝟑∗𝟕∗𝟕∗𝟏𝟏∗𝟏𝟏∗𝟐∗𝟓∗𝟐∗𝟓 = 𝟐²∗ 𝟑 2 ∗ 𝟕 2 ∗𝟏 𝟏 2 ∗ 𝟐 2 ∗ 𝟓 2 = 𝟐∗𝟑∗7∗11∗2∗5=4620
Занимает много времени, нужно знать простые числа, признаки делимости чисел .
8 слайд
Метод вычетов нечетного числа
Этот способ предлагал своим ученикам преподаватель математики одной из школ Вашингтона миссис Бруксбанк
Суть метода: из подкоренного выражения нужно последовательно вычитать нечетные числа пока разность не станет равной 0 и посчитать количество вычитаний .
256 =16
256-1=255-3=252-5=247-7=240-9=231-11=220-13=207-15=192-17=175-19=
156-21=135-23=112-25=87-27=60-29=31-31=0 16
49 =7
49-1=48-3=45-5=40-7=33-9=24-11=13-13=0 7
Российские ученые называют этот метод арифметическим извлечением квадратного корня или «методом черепахи». Для извлечения квадратного корня требуется много времени и хорошие вычислительные навыки.
9 слайд
Метод Ньютона
Этот метод разработал Исаак Ньютон, но открыл его математик Древнего мира ( около 100г.н.э.) Герон Александрийский.
Пусть а 1 -первое приближение числа х ( а 1 − можно брать значение квадратного корня из натурального числа- точного квадрата не большего х),тогда
а 2 = 1 2 ( а 1 + х а 1 ), а 3 = 1 2 ( а 2 + х а 2 ) и т. д. а 𝑛+1 = 1 2 ( 𝑎 𝑛 + х а 𝑛 )
х=31, а 1 =5, а 2 = 1 2 (5+ 31 5 ) =5,6 а 3 = 1 2 ( 5,6+ 31 5,6 ) =5,5678… и т.д.
31 =5,5678…
Способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, но нужно выполнять большие вычисления
10 слайд
Формула Древнего Вавилона
6259 = 6241+18≈ 79+ 18 158 = 79+0,11 =79,11
6259 =79,1138420253 (калькулятор)
43 = 36+7 ≈6+ 7 2∗6 = 6,58
Для больших чисел сложно вычислять по этой формуле. Нужно знать квадраты чисел, близких к данному.
11 слайд
Способ использования таблиц квадратов двузначных чисел
71 =8,4… 7056
Закрыть две последние
цифры, найти число,
которое меньше
подкоренного.
Самый левый столбик –
это целые, самый верхний
это десятые.
Используется только для корней до 100, нужна таблица квадратов натуральных чисел.
12 слайд
Деление на пары
4624 =68 6²=36, 46-36=10, 6*2=12,сносим следующую пару
36
12 8 I1024
8 I 1024
* на место единиц подбираем одно и то же число, чтобы произведение было равным или небольшим полученного числа,
1497536, 864= 1223,73…
1
22 I 049
2 44
242 575
2 484
2443 9136
3 7329
24467 180786
7 171269
24474 3 951540
3 734229
Способ применим ко всем числам, точность высока, но требует хороших вычислительных навыков.
Вычисления на калькуляторе 1497536,864= 1223,73888718
13 слайд
Способ отбрасывания полного квадрата
Выделяем из числа квадрат, который оканчивается той же цифрой, что и данное число.
Извлечение корней до числа 75²= 5625
2209 = 2200+9 = 2200+3² = 22+25 =47
4624 = 4300+324 = 4300+18² = 43+25 = 68
Извлечение корней после 75²= 5625
8649 = 8600+49 = 8600+7² = 86+7 =93
Способ применим только для точного квадрата четырехзначных чисел , применяются два алгоритма до квадрата 75 и после него.
14 слайд
Геометрический метод
Результат извлечения квадратного корня может дать погрешность, которая зависит от точности построения и погрешности измерительных инструментов, используются две теоремы: о высоте прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла - h= 𝑎𝑏 ;о свойстве вписанного угла, опирающегося на диаметр окружности - угол АВС=90°.
h= 11 Cтроим а=1, b=11,то а+b- диаметр
окружности, значит радиус окружности а+b 2 , из
Точки Н проводим перпендикуляр, В – точка
пересечения перпендикуляра и окружности, НВ=h,
Измеряем линейкой НВ= 11
h
15 слайд
Канадский метод
Этот метод был открыт молодым канадским ученым в20в
Х = 𝑆 + (X-S) /(2 𝑆 ) Х- число, из которого извлекается корень,
S – число ближайшего точного квадрата.
87 = 81 + (87- 81)/ (2 81 ) = 9+(6/ 2*9) =9 +0,333…=9,3…
250 = 256 + (250- 256)/ (2 256 ) =16+(- 6/ 2*16) =16- 0,1875 = 15,8125
Метод не сложный, но нужно знать формулу для вычисления
16 слайд
Метод подбора угадыванием
Применим для четырехзначных чисел, которые являются полным квадратом
7396 = 86
7396 Число разбиваем на пары. Из 73 можно выделить квадрат 8,
вторая пара оканчивается цифрой 6,то последняя цифра в искомом числе 4 или 6 (4*4=16, 6*6=36), т.е. 84 или 86 . Между ними число 75 квадрат которого вычисляется по алгоритму: десяток увеличиваем на единицу, находим произведение десятков и дописываем 25, если полученное число больше данного ,то выбираем меньшее и наоборот.
85²=(8*(8+1))25=(8*9)25=7225<7396 значит берем 86
17 слайд
Графический метод
Построение графика занимает много времени, большая погрешность извлечения квадратного корня, применим для небольших чисел.
y= х
18 слайд
вывод:
При изучении темы «Квадратные уравнения» и тем связанных с ней по алгебре, теоремы Пифагора и решении задач по геометрии я столкнулась с проблемой извлечения квадратных корней, что побудило меня к поиску алгоритмов извлечения квадратных корней.
Во время работы над темой я изучила литературу по данному вопросу, в результате познакомилась с несколькими алгоритмами извлечения квадратных корней, исследовала их достоинства и недостатки.
Одноклассникам я бы порекомендовала способ деления на пары, который пригодится и на ОГЭ, и ЕГЭ по математике.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Способы извлечения квадратного корня без калькулятора - этот материал востребован при изучении арифметического квадратного корня, свойств квадратных корней,решении квадратных уравнений,и уравнений ,сводящихся к квадратным,при решении задач с помощью квадратных уравнений на уроках алгебры в 8 классе, при решении задач на применение теоремы Пифагора на уроках геометрии.
В работе рассмотрены способы: разложение числа на простые множители,использования таблиц квадратов двузначных чисел, использования формулы Древнего Вавилона и Ньютона, деления на пары,отбрасывания полного квадрата, геометрический и графический метод.
6 625 839 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Бондаренко Елена Федотовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300 ч. — 1200 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.