• 

  1 слайд

  Дискретные случайные величины
  

• 

  2 слайд

  Цель занятия:
  Познакомиться с понятием дискретной случайной величины, научиться составлять её закон распределения, вычислять числовые характеристики дискретной случайной величины.
  

• 

  3 слайд

  Случайное событие, связанное с некоторым опытом, является качественной характеристикой опыта.
  Количественной же характеристикой результата проведенного опыта является случайная величина, к рассмотрению которой мы приступаем.
  

• 

  4 слайд

  Определение 1. Случайной называется величина, которая в результате опыта принимает с определенной вероятностью то или иное значение , зависящее от исхода опыта.
  
  
  
  Обозначения случайных величин:
  X, Y, Z,.., а их значений соответственно: x, y, z, …
  
  
  
  

• 

  5 слайд

  Пример 1. Игрок бросает монету – при выпадении герба он выигрывает 1 рубль, решки – проигрывает 1 рубль. Случайная величина Х – выигрыш игрока будет принимать значения +1 или -1 в зависимости от того, чем закончится эксперимент – гербом или решкой.
  Пример 2. Эксперимент – одновременное бросание двух игральных кубиков, случайная величина – сумма выпавших очков, может принимать все целые значения от 2 до 12 в зависимости от выпавшей комбинации.
  

• 

  6 слайд

  Пример 3. Эксперимент – n-кратное повторение опыта с бросанием монеты, случайная величина – количество выпавших гербов – может принимать все целые значения от 0 до n.
  Пример 4. Эксперимент – извлечение шара из урны, содержащей равное количество белых и черных шаров, с возвращением шара в урну после каждого извлечения. Случайная величина – количество извлечений до первого появления белого шара.
  Эта случайная величина может принимать …
  все целые положительные значения: 1, 2, 3, …, n, …
  

• 

  7 слайд

  Пример 5. Эксперимент – случайный выбор точки из отрезка [0; 1]. Случайная величина – координата точки. Эта случайная величина может принимать …
  любые значения от 0 до 1.
  Пример 6. Эксперимент – наблюдение за временем безотказной работы некоторого устройства: от момента включения до первого выхода из строя. Случайная величина – время безотказной работы – может принимать …
  все действительные числа от 0 до +∞.
  

• 

  8 слайд

  Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, т.е. множество ее значений представляет собой конечную последовательность
  х1, х2, …, хn или бесконечную последовательность х1, х2, …, хn, …
  Вероятность того, что случайная величина Х примет значение х, обозначают
  Р(х) = Р(Х = х).
  

• 

  9 слайд

  Определение 3. Соответствие между возможными значениями х1, х2, …, хn случайной величины Х и их вероятностями р1, р2, …, рn называется законом распределения случайной величины Х.
  Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы
  

• 

  10 слайд

  
  
  
  События Х = х1, Х = х2, …, Х = хn образуют полную систему попарно несовместных событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т.е.
  р1 + р2 + … + рn = 1.
  х1
  х1
  
  

• 

  11 слайд

  Пример. Бросаются две правильные однородные монеты. Сколько из них выпадет гербом кверху?
  

• 

  12 слайд

  Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и умножения
  1. Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины Х и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.
  2. Произведением двух случайных величин X и Y называется случайная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины Х и всех значений случайной величины Y, соответствующие вероятности перемножаются.
  

• 

  13 слайд

  Пример. ДСВ X и Y заданы в виде таблиц:
  Найти: 1) Х + С, где С = 2; 2) Z=X + Y.
  

• 

  14 слайд

  Биномиальное распределение
  Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а непоявления равна q = 1 – p. Очевидно, что Х может принимать значения 0, 1, 2, …, n, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:
  

• 

  15 слайд

  Определение. Биномиальным распределением называется закон распределения случайной величины Х, имеющий вид:
  Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
  

• 

  16 слайд

  Пример. Монета бросается 5 раз, представим закон распределения ДСВ Х – числа появления герба, в виде таблицы.
  

• 

  17 слайд

  Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.
  

• 

  18 слайд

  Упражнения.
  1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
  2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.
  

• 

  19 слайд

  Числовые характеристики
  распределения дискретных случайных величин
  

• 

  20 слайд

  На практике нет необходимости характеризовать случайную величину полностью. Обычно достаточно указать только отдельные числовые параметры распределения ее значений. Такие числовые параметры называются числовыми характеристиками распределения. Прежде всего, это характеристики положения: математическое ожидание, медиана, мода; характеристики рассеяния: дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
  

• 

  21 слайд

  Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений хi на их вероятности pi:
  М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn= хiрi
  
  Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная ее закон распределения:
  

• 

  22 слайд

  Свойства математического ожидания
  1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С М(Х).
  2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
  М(X + Y) = M (X) + M (Y).
  3. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой этой величине: М (С) = С.
  

• 

  23 слайд

  4. Математическое ожидание любой линейной комбинации случайных величин равно линейной комбинации их математических ожиданий:
  М ( Сk Хk) =  (Сk M (Хk)).
  5. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
  M (XY) = M (X) M(Y).
  

• 

  24 слайд

  ДИСПЕРСИЯ.
  Пример. Рассмотрим математическое ожидание случайных величин X и Y, зная законы их распределения:
  

• 

  25 слайд

  Основной числовой характеристикой степени рассеяния значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания М(Х) является дисперсия, которая обозначается D (X).
  Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием М (Х), т.е. Х – М (Х).
  Определение. Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: D (X) = М (Х – М (Х))2.
  

• 

  26 слайд

  Свойства дисперсии
  Дисперсия постоянной величины равна нулю:
  D (X) = 0.
  
  2. Если Х – случайная величина, а С – постоянная, то D (СX) = С2 D (X),
  D (X + С) = D (X).
  
  3. Если Х и Y– независимые случайные величины, то D (X + Y) = D (X) + D (Y).
  

• 

  27 слайд

  Для вычисления дисперсий более удобной является формула:
  D (X) = М (Х2) – (М (Х))2
  

• 

  28 слайд

  
  
  
  Пример.
  Дискретная случайная величина распределена по закону:
  
  
  
  
  
  
  
  Найти D(X).
  

• 

  29 слайд

  1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, если закон её распределения задан таблицей:
  Упражнения
  2. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течение рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 09, вторая – 0,8, третья – 0,75, четвертая – 0,7. Найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.
  

• 

  30 слайд

  3. Найти дисперсию случайной величины Х, если закон её распределения задан таблицей:
  
  
  4. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.
  

• 

  31 слайд

  Контрольные вопросы
  Дать определение случайной величины.
  Какая случайная величина называется дискретной?
  Какое соответствие называется законом распределения случайной величины Х?
  Какая случайная величина называется суммой двух случайных величин X и Y?
  Какая случайная величина называется произведением двух случайных величин X и Y?
  С какими числовыми характеристиками распределения дискретных случайных величин вы познакомились?
  Что называется математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х?
  Перечислите свойства математического ожидания дискретной случайной величины Х.
  Что называется дисперсией дискретной случайной величины Х?
  Перечислите свойства дисперсии дискретной случайной величины Х.
  
  
  
  

Краткое описание материала