Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Дробно-линейная функция и ее график
Пугачева Анастасия
Ученица 9 «Б» класса
МБОУ « Вознесенская СОШ №2»
2 слайд
Лучший способ изучить что – либо – это открыть самому.
Д.Пойа
Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков дробно-линейной.
Задачи: 1. сформировать понятия дробно-линейной функций на основе теоретического материала по данной теме;
2. найти методы построения графиков дробно-линейной функции;
3. показать, как можно использовать, полученные знания на практике .
3 слайд
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Функцию, заданную формулой вида у=(ах+b)/(сх+d), где х - переменная, а, b, c и d- заданные числа, при с≠0, bc-ad≠0 называется
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ.
Графиком дробно-линейной функции является гипербола
4 слайд
ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
ВЫДЕЛЯЕМ ИЗ ДРОБИ ЦЕЛУЮ ЧАСТЬ
ОПРЕДЕЛЯЕМ АСИМПТОТЫ
СТРОИМ ГРАФИК у = к/х НА АСИМПТОТАХ КАК НА ОСЯХ
5 слайд
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ
ЗАДАНИЕ: Построить график функции у = (2х-3)/(х-1)
Выделим целую часть: (2х-3)/(х-1)=(2х-2-1)/(х-1)=2-1/(х-1)
Получаем функцию вида у= -1/(х-1) + 2
Асимптотами являются прямые х = 1 и у =2
Строим асимптоты, а затем на них как на осях построим график функции у= -1/х
График на следующем слайде
6 слайд
7 слайд
Рассмотрим еще один способ построения графика функции у = (х+4)/(х+2)
Для этого найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Предположим, х=0 и определим точку пересечения с осью ординат у = 2. Теперь предположим, у = 0, получим уравнение 0=х+4 и найдем точку пересечения с осью абсцисс х = -4. Построим точки А(0;2) и В(-4;0).
Определим асимптоты графика функции. Вертикальную асимптоту находим из условия, что функция не определена, т.е. х+2=0, откуда х=-2. Поведение функции при больших значениях х (|х|→∞) определяет горизонтальную асимптоту. При таких значениях х в числители дроби можно пренебречь числом 4, в знаменателе числом 2. Тогда получаем горизонтальную асимптоту у = 1. Построим асимптоты графика х = -2 и у = 1.
При построении графика функции учтем:
Ветви графика симметричны относительно точки Е пересечения асимптот;
График функции не пересекает асимптоты.
8 слайд
9 слайд
у =(│х│-2)/(│х+3│-1).
Раскроем знаки модуля и
Получим:
(х+2)/(х+4), х < -3
у= -(х+2)/(х+2), -3≤х≤0
(х-2)/(х+2), х > 0
Построим графики полученных функций: на промежутке(-∞;-3) гиперболу у=(х+2)/(х+4);
На отрезке [-3;0] прямую у=-(х+2)/(х+2), учитывая что в точке х=-2 функция не существует;
На промежутке (-3;∞) гиперболу у=(х-2)/(х+2).
10 слайд
При каком значении параметра а прямая у = ах +1 касается графика функции у = (х-1)/(х+1) ? Найти координаты точки касания. Изобразить графически.
Мы уже знаем, что графиком функции у =(х-1)/(х+1) - является гипербола с вертикальной асимптотой х=-1 и горизонтальной асимптотой у=1.
Графиком функции у = ах+1 является прямая. Координаты точки касания должны удовлетворять системе уравнений у= ах+1
(х-1)/(х+1)
При этом система должна иметь единственное решение.
11 слайд
Постройте график функции у = (х-1)/(√х²-х)² и найдите все значения k, при которых прямая у = kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Найдем область определения данной функции
х2– х>0 или х(х – 1)>0
Откуда получаем x<0 и х>1.
Преобразуем функцию .
(х-1)/(√х²-х)²=(х-1)/(х·( х-1))=1/х
Значит наша функция на своей ООФ принимает вид у= 1/х.
Прямая у=kх имеет с графиком данной функции одну общую точку при k≥1.
Это задание из второй части, за правильное решение, которого можно получить максимальный балл(4 балла).
12 слайд
Постройте график функции у = |х|(х-4) +1 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.
ООФ являются все действительные числа.
Раскроем знак модуля:
у = х²-4х+1, если х≥0
-х²+4х+1, если х≤0
Графиком каждой из этих функций является парабола.
Находим координаты вершин парабол, нули функций и точки пересечения с осью у. По этим характерным точкам строим график полученной функции, учитывая знаки модуля.
По графику видно, что прямая у=m, имеет ровно три общие точки, при mє (-3;1)
13 слайд
Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у = 2х+3|х-1|- 4|х+2|-1
Рассмотрим еще одну задачу из второй части, которая также оценивается максимальным баллом:
Найдем нули функции: х-1=0, и следовательно х=1; х+2=0, и следовательно х=-2.
Раскроем знаки модуля на каждом промежутке:
При х≤-2 получаем у = 2х -3(х-1) +4(х+2)-1=3х+10 – функция возрастает;
При -2≤х≤1 получаем у = 2х-3(х-1) – 4(х+2) -1= -5х-6 – функция убывает;
При х≥1 получаем у = 2х+ 3(х-1) – 4(х+2) -1= х -12 – функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках (-∞;-2] и [1;∞), функция убывает на промежутке [-2;1].
14 слайд
Ещё один приём построения графиков
График функции y=1/x можно построить несколько иначе. Нарисуем график функции у=x. Заменим каждую ординату величиной, ей обратной, и отметим соответствующие точки на рисунке. Получим график у=1/x.
Нарисованная картина показывает, как маленькая (по абсолютной величине) ордината первого графика превращается в большие ординаты второго и, наоборот - большие ординаты первого в маленькие ординаты второго. Точки с ординатами, равными 1 и (- 1), остаются на месте.
Этот приём "деления" графиков бывает полезен всегда, когда у нас есть график у=f(x), а нам нужно понять, как ведёт себя функция y=1/f(x).
15 слайд
Заключение
При выполнении реферативной работы:
- уточнила свои понятия дробно-линейной функций и выяснила, что является графиком этой функции:
Определение 1.
Дробно-линейная функция – это функция вида у=(ах+b)/(сх+d), где х – переменная, a, b, c, и d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0.
- сформировала алгоритм построения графиков этих функций;
-рассмотрела несколько методов построения графиков;
- научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;
- произвела разбор типовых заданий из второй части экзаменационных работ;
- приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;
- научилась составлять проблемно – реферативную работу.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1. Дробно – линейная функция и ее график.
С функцией вида y=k/x, где k≠0, ее свойствами и графиком мы уже познакомились. Обратим внимание на одну особенность этой функции. Функция y=k/x на множестве положительных чисел обладает тем свойством, что при неограниченном возрастании значений аргумента (когда x →∞) значения функций, оставаясь положительными, стремятся к нулю. При убывании положительных значений аргумента (когда x→0) значения функции неограниченно возрастают (y→∞). Аналогичная картина наблюдается и на множестве отрицательных чисел. На графике это свойство выражается в том, что точки гиперболы, по мере их удаления в бесконечность (вправо или влево, вверх или вниз) от начала координат, неограниченно приближаются к прямой: к оси x, когда |x| →∞, или к оси y, когда|x|→0. Такую прямую называют асимптотами кривой.
Гипербола y=k/x имеет две асимптоты: ось x и ось y.
Понятие асимптоты играет важную роль при построении графиков многих функций.
Используя известные нам преобразования графиков функций, мы можем гиперболу y=k/x перемещать в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. В результате будем получать новые графики функций.
Пример 1. Пусть y=6/x. Выполним сдвиг этой гиперболы вправо на 1,5 единицы, а затем полученный график сдвинем на 3,5 единицы вверх. При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы y=6/x: ось x перейдет в прямую y=3,5, ось y – в прямую y=1,5 (рис. 2).
Функцию, график которой мы построили, можно задать формулой
.
Представим выражение в правой части этой формулы в виде дроби:
Значит, на рисунке 2 изображен график функции, заданной формулой
.
У этой дроби числитель и знаменатель - линейные двучлены относительно х. Такие функции называют дробно-линейными функциями.
Вообще функцию, заданную формулой вида , где
х – переменная, а, b, c, d – заданные числа, причем с≠0 и
bc-ad≠0, называют дробно-линейной функцией.
Заметим, что требование в определении о том, что с≠0 и
bc-ad≠0, существенно. При с=0 и d≠0 или при bc-ad=0 мы получаем линейную функцию. Действительно, если с=0 и d≠0, то
.
Если же bc-ad=0, с≠0, выразив из этого равенства b через a, c и d и подставив его в формулу, получим:
.
Итак, в первом случае мы получили линейную функцию общего вида , во втором случае – константу .
Покажем теперь, как строить график дробно-линейной функции, если она задана формулой вида .
Пример 2.Построим график функции y =.
В дроби выделим целую часть, и представим функцию в виде у = 2 - Таким образом, надо построить график функции у = 2 - . Он получается смещением гиперболы у = - на одну единицу вправо и на две единицы вверх. График данной функции имеет вертикальную асимптоту х = 1 и горизонтальную асимптоту у = 2.
Пример 3.
Рассмотрим еще один способ построения графика функции у =
Для этого найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Предположим, х=0 и определим точку пересечения с осью ординат у = 2. Теперь предположим, у = 0, получим уравнение 0 = или 0=х+4 и найдем точку пересечения с осью абсцисс х = -4. Построим точки А(0;2) и В(-4;0).
Определим асимптоты графика функции. Вертикальную асимптоту находим из условия, что функция не определена, т.е. х+2=0, откуда х=-2. Поведение функции при больших значениях х (|х|→∞) определяет горизонтальную асимптоту. При таких значениях х в числители дроби можно пренебречь числом 4, в знаменателе числом 2. Тогда получаем горизонтальную асимптоту у = =1. Построим асимптоты графика х = -2 и у = 1.
При построении графика функции учтем:
1) Ветви графика симметричны относительно точки Е пересечения асимптот;
2) График функции не пересекает асимптоты.
Пример 4.
Построим график функции у = .
Раскроем знаки модуля и получим: у =,если -3≤х≤0
Построим графики полученных функций.
На промежутке(-∞;-3) гипербола у =
На промежутке [-3;0] функция определена всюду, кроме точки х = -2. При этом у = -1.
На промежутке (0;∞) гипербола у = . Учитывая выше сказанное, получаем график исходной функции.
Пример 5.
С помощью известных нам данных можно решить более сложное задание:
При каком значении параметра а прямая у = ах +1 касается графика функции у = ? Найти координаты точки касания.
Мы уже знаем, что графиком функции у = =1 - является гипербола с вертикальной асимптотой х=-1 и горизонтальной асимптотой у=1. Графиком функции у = ах+1 является прямая. Координаты точки касания должны удовлетворять системе уравнений
При этом система должна иметь единственное решение.
Приравняем правые части и получим уравнение ах2+х+ах+1=х-1 или ах2+ах+2=0(а≠0).Чтобы квадратное уравнение имело один корень, его дискриминант должен быть равен нулю, т.е. D=а2-8а=0, значит, а=8.
Подставим значение а=8 в уравнение ах2+ах+2=0 и получим 8х2+8х+2=0. Откуда х=-0,5. Найдем соответствующее значение у = ах+1=8·(-0,5)+1=-3. Итак, координата точки касания графиков (-0,5;-3).
На графике это будет выглядеть следующим образом:
Пример 6.
В последней нашей диагностической работе по подготовке к сдаче ГИА по математике было похожее задание :
Постройте график функции у = и найдите все значения k, при которых прямая у = kх имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.
Решение:
Найдем область определения данной функции
Х2– х>0 или х(х – 1)>0
Откуда получаем x<0 и х>1.
Преобразуем функцию . Значит наша функция на своей ООФ принимает вид у=. Прямая у=kх имеет с графиком данной функции одну общую точку при k≥1.
Это задание из второй части, за правильное решение, которого можно получить максимальный балл(4 балла).
Пример 7.
Задача: постройте график функции у = |х|(х-4) +1 и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком ровно три общие точки.
ООФ являются все действительные числа.
Раскроем знак модуля: у =
Графиком каждой из этих функций является парабола. Поэтому найдем координаты вершины каждой.
1) Х0= - = = 2
2) У0= -3
3) Х02= - = = 2
4) У02=5
Значит, вершина первой параболы находится в точке с координатами (2;-3), а второй (2;5).
Проведем через точку х=2 ось симметрии. Она будет являться осью как для первой параболы, так и для второй.
Найдем нули функции, т.е. точки, в которых функция принимает значение у=0
Х2 – 4х +1 = 0, решая это уравнение находим х1=2+ и х2=2 -
-Х2 +4х+1 = 0, решая это уравнение находим х1=2+ и х2=2 -
Найдем точки пересечения графиков с осью у. Для этого подставим в нашу функцию значение х=0.
У1=1 и у2=1.
По этим характерным точкам построим график квадратичной функции. По графику видно, что прямая у=m, имеет ровно три общие точки, при mє (-3;1)
Пример 8.
Рассмотрим еще одну задачу из второй части, которая также оценивается максимальным баллом:
Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = 2х+3|х-1|- 4|х+2|-1
Найдем нули функции: х-1=0, и следовательно х=1; х+2=0, и следовательно х=-2.
Раскроем знаки модуля на каждом промежутке:
1) При х≤-2 получаем у = 2х -3(х-1) +4(х+2)-1=3х+10 – функция возрастает;
2) При -2≤х≤1 получаем у = 2х-3(х-1) – 4(х+2) -1= -5х-6 – функция убывает;
3) При х≥1 получаем у = 2х+ 3(х-1) – 4(х+2) -1= х -12 – функция возрастает.
Ответ: функция возрастает на промежутках (-∞;-2] и [1;∞), функция убывает на промежутке [-2;1].Ещё один приём построения графиков
График функции y=1/x можно построить несколько иначе. Нарисуем график функции у=x. Заменим каждую ординату величиной, ей обратной, и отметим соответствующие точки на рисунке. Получим график у=1/x (рис.1).
Нарисованная картина показывает, как маленькие (по абсолютной величине) ордината первого графика превращается в большие ординаты второго и, наоборот - большие ординаты первого в маленькие ординаты второго. Точки с ординатами, равными 1 (и - 1), остаются на месте.
Рис.1
Этот приём "деления" графиков бывает полезен всегда, когда у нас есть график у=f(x), а нам нужно понять, как ведёт себя функция y=1/f(x).
ЗаключениеПри выполнении реферативной работы:
- уточнила свои понятия дробно-линейной функций и выяснила, что является графиком этой функции:
Определение 1.
Дробно-линейная функция – это функция вида , где х – переменная, a, b, c, и d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0.
- сформировала алгоритм построения графиков этих функций;
-рассмотрела несколько методов построения графиков;
- научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;
- произвела разбор типовых заданий из второй части экзаменационных работ;
- приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;
- научилась составлять проблемно – реферативную работу.
6 626 106 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Боченкова Татьяна Игоревна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.