Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация на тему "Окружность вписанная, описанная и вневписанная"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация на тему "Окружность вписанная, описанная и вневписанная"

библиотека
материалов
Окружность вписанная, описанная, вневписанная МАОУ «Лицей» г. Балашиха Учител...
Определение O C d = 2 r C = 2 π r C = π d BA Окружность– множество точек, рав...
Касательная к окружности
Свойства хорд, секущих и касательных E СB A D A C B В А С D A C B D F ABCDхор...
Вписанная окружность O r О r
Задача1.  В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности дел...
Задача 2. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треуг...
Задача3. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с...
O Задача 4. Окружность, вписанная в трапецию, делитеё боковую сторону на отр...
Описанная окружность O R О R
фигура рисунок свойство Окружность, описанная около параллелограмма Окружност...
ОJ Задача 1. В окружности черезсередину О хорды АС проведена хордаBDтак, что...
O Задача 2. ХордыABиCDокружности радиусаRпересекаются под прямым углом. Найт...
Р О B C M N A D Решение: ПустьMN –средняя линия трапеции, АВ – боковая сторо...
Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что то...
В отношении точки Н у нас три ситуации: (1):  точка Н лежит на окружности, о...
Вневписанная окружность О А В С N МН определение 1 Окружность называется вне...
Т1. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссе...
Т2. Расстояния от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окр...
Т3: Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угл...
Т4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, р...
Т5. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окр...
Т6. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величин...
Т7. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна...
Т8. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведен...
Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех ради...
Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения все...
Т9. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону,...
29 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Окружность вписанная, описанная, вневписанная МАОУ «Лицей» г. Балашиха Учител
Описание слайда:

Окружность вписанная, описанная, вневписанная МАОУ «Лицей» г. Балашиха Учитель математики Жирякова Л.В.

№ слайда 2 Определение O C d = 2 r C = 2 π r C = π d BA Окружность– множество точек, рав
Описание слайда:

Определение O C d = 2 r C = 2 π r C = π d BA Окружность– множество точек, равноудалённых от данной точки плоскости (центр) Радиус(r)– отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности Хорда– отрезок, соединяющий две лютые точки окружности Диаметр(d) –хорда, проходящая через центр Длина окружности π≈3,14≈

№ слайда 3 Касательная к окружности
Описание слайда:

Касательная к окружности

№ слайда 4 Свойства хорд, секущих и касательных E СB A D A C B В А С D A C B D F ABCDхор
Описание слайда:

Свойства хорд, секущих и касательных E СB A D A C B В А С D A C B D F ABCDхорды АB ∩ CD = E AE ∙ BE = CE ∙ DE AC- касательная AB– хорда уголСАВ равен половинедугиАВ AD- секущая AF- секущая AC ∙ AD = AB ∙ AF УголDAFравенполуразности дугDFиCB

№ слайда 5
Описание слайда:

№ слайда 6 Вписанная окружность O r О r
Описание слайда:

Вписанная окружность O r О r

№ слайда 7 Задача1.  В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности дел
Описание слайда:

Задача1.  В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника 1. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ. Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. 2. ∆ВМО = ∆BNO (по гипотенузе и острому углу),следовательно ВМ = BN = 5. Аналогично, ∆ОКС =∆ ONC Значит КС = NC = 12. AMOK– квадрат, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12 По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2. (r + 5)2+ (r + 12)2= 172; r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289; 2r2+ 34r – 120 = 0; r2+ 17r – 60 = 0; r = 3. Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15. Ответ: 8 см; 15 см.

№ слайда 8 Задача 2. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треуг
Описание слайда:

Задача 2. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника Решение. Изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получим: ∆ OAK =∆ ОAT, ∆ ОВМ =∆ ОВТ, ∆ОСМ = ∆ОСК. (по гипотенузеи острому углу) 3. По условию СМ = 6 и ВМ = 8. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. 4. Длины отрезков АК и AT обозначим через х Для нахождения величины х воспользуемся формулойS = рr Поформуле Герона Ответ: 13, 14, 15

№ слайда 9 Задача3. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с
Описание слайда:

Задача3. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; 2. из прямоугольного ∆ АВК 3. Пусть BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см;  AD = 9 + 16 = 25 см. Ответ: 9 см; 25 см.

№ слайда 10 O Задача 4. Окружность, вписанная в трапецию, делитеё боковую сторону на отр
Описание слайда:

O Задача 4. Окружность, вписанная в трапецию, делитеё боковую сторону на отрезкиaиbНайти радиус окружности. C B P D A Решение: Найдёмцентр О вписанной окружности (BO,AO–биссектрисы углов А и В трапеции) и опустим перпендикуляр ОР на сторону АВ. (ОР= r) ∆AOB– прямоугольный, так как боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом. Значит ОР – высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе

№ слайда 11 Описанная окружность O R О R
Описание слайда:

Описанная окружность O R О R

№ слайда 12 фигура рисунок свойство Окружность, описанная около параллелограмма Окружност
Описание слайда:

фигура рисунок свойство Окружность, описанная около параллелограмма Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. Окружность, описанная около ромба Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. Окружность, описанная около трапеции Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. Окружность, описанная около дельтоида Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

№ слайда 13 ОJ Задача 1. В окружности черезсередину О хорды АС проведена хордаBDтак, что
Описание слайда:

ОJ Задача 1. В окружности черезсередину О хорды АС проведена хордаBDтак, что дуги АВ иCDравны. Докажите, что О – середина хордыBD. BC A D Доказательство: Вписанные углыADB=ACB-опираются надугуАВ, вписанные углыDBC=DAC- опираются надугуDC, Если, по условию, дуги равны, то эти углы равны между собой. 2. ∆AOD =∆COD, по стороне и двум прилежащим к ней углам (АО = ОС; углыBOC= AOD– вертикальные; углыBCO = DAO– п.1) следовательно, BO = OD, значит, О – серединаBD.ч.т.д. (Если бы точка О делила хорду АС не в отношении 1:1, то треугольники рассматривались бы с точки зрения подобия)

№ слайда 14 O Задача 2. ХордыABиCDокружности радиусаRпересекаются под прямым углом. Найт
Описание слайда:

O Задача 2. ХордыABиCDокружности радиусаRпересекаются под прямым углом. НайтиBD,если АС =а СF А В D Решение: ПроведёмдиаметрDF. Тогда,CFпараллельна АВ (уголDCFвписанный и опирается на диаметр) ТогдаACFB– трапеция, которая вписана в окружность, следовательно она равнобокая. Таким образом,AC = FB

№ слайда 15 Р О B C M N A D Решение: ПустьMN –средняя линия трапеции, АВ – боковая сторо
Описание слайда:

Р О B C M N A D Решение: ПустьMN –средняя линия трапеции, АВ – боковая сторона. ТрапецияABCD– равнобедренная, т.к. вписана в окружность. BC + AD =2MN(по свойству ср. линии трапеции) ∆АОВ– равнобедренный (АО = ОВ – радиусы), и т.к. М – середина АВ, ОМ перпендикулярно АВ

№ слайда 16 Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что то
Описание слайда:

Задача 4. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности Решение:1.Рассуждаем так: Вокруг любого  треугольника, в том числе вокруг ∆АОС , всегда можно описать окружность. Значит, нам остается доказать лишь тот факт, что  точка пересечения высот ∆АВС  , точкаH  , также попадает на окружность, описанную около ∆AOC. 2.Заметим, что для вписанного  в окружность  (описанную около треугольника АВС) угла  соответствующим центральным углом является угол АОС . Так как угол B равен 60°, по условию, то угол АОС = 120,  по свойству вписанного угла. 3. ∆АВК: угол А= 30, значит, из ∆АНР: угол АНР = 60, следовательно угол АНС = 120 (свойство смежных углов)

№ слайда 17 В отношении точки Н у нас три ситуации: (1):  точка Н лежит на окружности, о
Описание слайда:

В отношении точки Н у нас три ситуации: (1):  точка Н лежит на окружности, описанной около треугольника АОС ; (2):  точка Н   лежит внутри окружности, описанной около треугольника АОС ; (3): точка Н лежит вне окружности, описанной около треугольника АОС ; Рассмотрим ситуацию (2). В этом случае уголAVC  (где  – точка пересечения прямой AH с окружностью), как опирающийся на ту же дугуAC , что и вписанный уголAOC , равен 120. Тогда уголAHC , как внешний угол треугольникаAVC , больше (ведь внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника,  не смежных с ним). То есть мы пришли к противоречию. Ситуация (2) невозможна. Аналогичноприходим к противоречию и в ситуации (3). Значит, единственно возможная ситуация (1) ч.т.д.

№ слайда 18 Вневписанная окружность О А В С N МН определение 1 Окружность называется вне
Описание слайда:

Вневписанная окружность О А В С N МН определение 1 Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон

№ слайда 19 Т1. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссе
Описание слайда:

Т1. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника. (1) Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать: (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. ч.т. д. А В С О К М N

№ слайда 20 Т2. Расстояния от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окр
Описание слайда:

Т2. Расстояния от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p Дано: АВС, Вневписанная окр. (Оа; ra ) Доказать: АВ1 = АС1 = p Доказательство: Т.к. Оа - центр вневписанной окружности, то касат., прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1. Значит, 2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1 т.е. АВ1 = АС1 = p. Оа В1 ra ra ra А В С С1 А1 α/2 α/2

№ слайда 21 Т3: Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угл
Описание слайда:

Т3: Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = p∙tg , rb = p∙tg , rc = p∙tg (2) Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать (2) Решение: В прямоугольном треугольнике А Оа С1 ra и p – длины катетов, угол Оа А С1 равен , поэтому ra = p ∙ tg А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra

№ слайда 22 Т4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, р
Описание слайда:

Т4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc = (3) Дано: АВС Вневписанная окр. (Оа ; ra) Доказать (3) Решение: Имеем S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е. ra = А В С Оа p p В1 С1 b c ra ra ra

№ слайда 23 Т5. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окр
Описание слайда:

Т5. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r = , R = , r a = , rb = , rc = Значит, ra + rb + rc – r = + + - = = = = = = 4R

№ слайда 24 Т6. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величин
Описание слайда:

Т6. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , R = , ra = , rb = , rc = Значит,

№ слайда 25 Т7. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна
Описание слайда:

Т7. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2 Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r = , ra = , rb = , rc = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

№ слайда 26 Т8. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведен
Описание слайда:

Т8. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона ra = , rb = , rc = , Тогда

№ слайда 27 Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех ради
Описание слайда:

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp. Следовательно

№ слайда 28 Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения все
Описание слайда:

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно, . Значит

№ слайда 29 Т9. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону,
Описание слайда:

Т9. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , , Доказательство: Воспользуемся формулами , Значит, ,

Краткое описание документа:

В этой презентации я представила основные свойства окружности вписанной в многоугольник, описанной около многоугольника и вневписанной окружности. Помимо свойств здесь представлены некоторые интересные задачи, которые решаются на основе этих свойств. Материал, представленный здесь, помогает ученикам в поготовке к ЕГЭ и ГИА. В своей работе япользуюсь этой презентацией, как справочником. Поскольку, раздел "Геометри" в ГИА по статистике вызывает наибольшие затруднения у учеников, я считаю наиболее уелесообразным, представлять теоретический материал материал именно в такой форме.

Автор
Дата добавления 25.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров902
Номер материала 154233
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх