957976
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5 480 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1 400 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 60%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до 28 февраля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация на тему: "Теорема косинусов. Учебная презентация."

Презентация на тему: "Теорема косинусов. Учебная презентация."

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Теорема косинусов Презентацию подготовили ученицы 10 класса МОУ «СОШ № 73» Дж...
История возникновения теоремы косинусов. Теорему знали еще древние греки: ее...
Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других...
Доказательство: Дано: ∆АВС. Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA Д...
Следствие из теоремы косинусов Но, доказав теорему, можно выявить следствие:...
Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый Проведем CDAB Т.к. треугольник...
Рассмотрим треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90). Рассмотрим треугольн...
Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугол...
2) a) По следствию острого угла: а.1) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АD × AС а.2) АС2= А...
Две теоремы косинусов для четырехугольника. В практике нередко возникают зада...
Две теоремы косинусов для четырехугольника. Из всего многообразия возникающих...
Теорема 1. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов т...
Доказательство №1: Дано: Треугольник AMD Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2a...
Рассмотрим треугольник ECD: по теореме косинусов имеем, что y2 = a2 + c2 –2ac...
Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Получим, что y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 = a...
Внимание: приведенное выше доказательство существенным образом опирается на ч...
Доказательство №2
Подставим значения e2 и f2 в выражения для x2: Получим: x2=a2 + b2–2ab× cosβ...
Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г),...
Теорема 2 Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сум...
Дано: φ – угол, φ = A + C или B +D ABCD – четырехугольник (рис. 3.4) a, b...
Доказательство:
Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои след...
u В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагонал...
Э О О Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведен...
Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат...
Список используемой литературы: З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москв...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Теорема косинусов Презентацию подготовили ученицы 10 класса МОУ «СОШ № 73» Дж
Описание слайда:

Теорема косинусов Презентацию подготовили ученицы 10 класса МОУ «СОШ № 73» Джейранова Малах и Львова Ольга Руководитель: Драгунова С.Н.

2 слайд История возникновения теоремы косинусов. Теорему знали еще древние греки: ее
Описание слайда:

История возникновения теоремы косинусов. Теорему знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.

3 слайд Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
Описание слайда:

Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

4 слайд Доказательство: Дано: ∆АВС. Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA Д
Описание слайда:

Доказательство: Дано: ∆АВС. Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA Доказательство: Рассмотрим векторное равенство. Т.к. то Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим: Т.к. =│ a│ ×│ b│ × cos (a ; b ), то ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA , что и требовалось доказать.

5 слайд Следствие из теоремы косинусов Но, доказав теорему, можно выявить следствие:
Описание слайда:

Следствие из теоремы косинусов Но, доказав теорему, можно выявить следствие: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.

6 слайд Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый Проведем CDAB Т.к. треугольник
Описание слайда:

Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый Проведем CDAB Т.к. треугольник АСD - прямоугольный, то: b = c × cos α, следовательно, AD= AC × cos α, тогда ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ

7 слайд Рассмотрим треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90). Рассмотрим треугольн
Описание слайда:

Рассмотрим треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90). Рассмотрим треугольник АDС – прямоугольный: AD= AC × cos DAC = AC × cos(180 - α )= -AC × cos А или AC × cosА = -AD Т.е. ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ

8 слайд Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугол
Описание слайда:

Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника. Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам: По теореме: а) АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ × ВС × cosВ б) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АС × ВС × cosС в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора (a2 + b2 = c2)

9 слайд 2) a) По следствию острого угла: а.1) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АD × AС а.2) АС2= А
Описание слайда:

2) a) По следствию острого угла: а.1) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АD × AС а.2) АС2= АВ2 + ВС2 - 2 ВС × СD б) По следствию тупого угла: б.1) АВ2 = АС2 + ВС2 + 2 АD × ВС б.2) АС2= АВ2 + ВС2 + 2 ВС × СD

10 слайд Две теоремы косинусов для четырехугольника. В практике нередко возникают зада
Описание слайда:

Две теоремы косинусов для четырехугольника. В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

11 слайд Две теоремы косинусов для четырехугольника. Из всего многообразия возникающих
Описание слайда:

Две теоремы косинусов для четырехугольника. Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.

12 слайд Теорема 1. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов т
Описание слайда:

Теорема 1. Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

13 слайд Доказательство №1: Дано: Треугольник AMD Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2a
Описание слайда:

Доказательство №1: Дано: Треугольник AMD Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ Доказательство. Построим ABCE – параллелограмм Имеем: ECD =AMD =μ Пусть CE=a, AE=b, ED=y, AD=x ABC=β, BCD=γ, AED=φ

14 слайд Рассмотрим треугольник ECD: по теореме косинусов имеем, что y2 = a2 + c2 –2ac
Описание слайда:

Рассмотрим треугольник ECD: по теореме косинусов имеем, что y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ Рассмотрим треугольник AED: x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ Составим систему: y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ 0= a2 + c2 - y2 –2ac × cos μ x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ Т.е. из двух равенств получим одно: x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ

15 слайд Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Получим, что y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 = a
Описание слайда:

Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Получим, что y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 = a × cosBCE + c × cos (180 – γ)=> y× cos φ= a × cos β + c× cos γ Подставим найденное значение y × cos φ в выражение для x2, получим окончательно: x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ Теорема доказана.

16 слайд Внимание: приведенное выше доказательство существенным образом опирается на ч
Описание слайда:

Внимание: приведенное выше доказательство существенным образом опирается на чертеж. Необходимо рассмотреть другие выпуклые четырехугольники и убедиться в том, что эта теорема во всех случаях сохраняет свою силу, независимо от расположения точек E1 и D1 на стороне ВС. Приведем второе доказательство, которое не нуждается в рассмотрении различных случаев расположения элементов четырехугольника.

17 слайд Доказательство №2
Описание слайда:

Доказательство №2

18 слайд Подставим значения e2 и f2 в выражения для x2: Получим: x2=a2 + b2–2ab× cosβ
Описание слайда:

Подставим значения e2 и f2 в выражения для x2: Получим: x2=a2 + b2–2ab× cosβ + b2 + c2– 2bc×cos γ– b2– 2ac×cosμ x2= a2 + b2 + c2 – 2ab× cosβ– 2bc × cos γ– 2ac × cosμ Теорема доказана. Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть распространена также на вогнутые четырехугольники и треугольники с самопересечением сторон. Для определения углов в формуле 1 требуются стороны четырехугольника ориентировать по обходу его контура

19 слайд Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г),
Описание слайда:

Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г), насколько известно, редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии. Целесообразность знакомства с ней, этой забытой теоремой, вы уясните из ее содержания.

20 слайд Теорема 2 Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сум
Описание слайда:

Теорема 2 Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противоположных углов. Эта теорема названа теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям ef, aс, bd, где a, b, c, d – последовательные стороны данного четырехугольника, e и f – его диагонали. Существование такого треугольника легко может быть установлено.

21 слайд Дано: φ – угол, φ = A + C или B +D ABCD – четырехугольник (рис. 3.4) a, b
Описание слайда:

Дано: φ – угол, φ = A + C или B +D ABCD – четырехугольник (рис. 3.4) a, b, c, d – стороны, e и f –диагонали Доказать, что e2f2=a2c2 +b2d2 – 2abcd× cos φ

22 слайд Доказательство:
Описание слайда:

Доказательство:

23 слайд
Описание слайда:

24 слайд
Описание слайда:

25 слайд
Описание слайда:

26 слайд Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои след
Описание слайда:

Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои следствия. Рассмотрим некоторые из них: Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90, то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений квадратов сторон четырехугольника. Если А+ С = 90 (или же 270), то (ef)2=(ac)2+(bd)2 Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названо теоремой Пифагора для четырехугольников

27 слайд u В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагонал
Описание слайда:

u В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней неравных сторон. Это следствие вытекает из предыдущего при a=c и b=d

28 слайд
Описание слайда:

29 слайд Э О О Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведен
Описание слайда:

Э О О Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон Во вписанном четырехугольнике в окружность, сумма углов А и С равна 180 (A+С= 180), значит, (ef)2=(ac)2+(bd)2 + 2abcd или (ef)2=(ac+bd)2 , т.е. ef=ac+bd

30 слайд
Описание слайда:

31 слайд
Описание слайда:

32 слайд
Описание слайда:

33 слайд Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат
Описание слайда:

Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат на одной окружности или же на одной прямой.

34 слайд Список используемой литературы: З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москв
Описание слайда:

Список используемой литературы: З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва, 1990 г. И.Ф. Шарынин «Геометрия. Задачник 9-11», Москва, 1996 М.И. Сканави и др. «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы» Москва, 1978 А.В. Погорелов. «Геометрия 7-11» Москва, 1996 «Энциклопедический словарь юного математика» Москва, 1989

Краткое описание документа:

 

 

   Презентацию выполнили ученицы 10 класса МОУ "СОШ школы №73      Джейранова Малах и  Львова Ольга.

  Теорему знали еще древние греки:  ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.   В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. 

Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

 

 

Общая информация

Номер материала: 515753

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.