Инфоурок Математика ПрезентацииПрезентация на тему: "Теорема косинусов. Учебная презентация."

Презентация на тему: "Теорема косинусов. Учебная презентация."

Скачать материал
Скачать материал "Презентация на тему: "Теорема косинусов. Учебная презентация.""

Получите профессию

Секретарь-администратор

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Специалист по благоустройству

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Теорема косинусовПрезентацию подготовили
ученицы 10 класса
МОУ «СОШ № 73»
Дже...

    1 слайд

    Теорема косинусов
    Презентацию подготовили
    ученицы 10 класса
    МОУ «СОШ № 73»
    Джейранова Малах и Львова Ольга
    Руководитель: Драгунова С.Н.

  • История возникновения теоремы косинусов.Теорему знали еще древние греки:  ее...

    2 слайд

    История возникновения теоремы косинусов.
    Теорему знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.

  • Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других...

    3 слайд

    Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

  • Доказательство:Дано:
∆АВС.
Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA
До...

    4 слайд

    Доказательство:
    Дано:
    ∆АВС.
    Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA
    Доказательство:
    Рассмотрим векторное равенство.
    Т.к.
    то
    Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим:

    Т.к. =│ a│ ×│ b│ × cos (a ; b ), то ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA , что и требовалось доказать.

  • Следствие из теоремы косинусовНо, доказав теорему, можно выявить следствие: к...

    5 слайд

    Следствие из теоремы косинусов
    Но, доказав теорему, можно выявить следствие: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.

  • Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый
Проведем CDABТ.к. треугольник А...

    6 слайд

    Рассмотрим треугольник АВС, где  А – острый
    Проведем CDAB
    Т.к. треугольник АСD - прямоугольный, то:
    b = c × cos α, следовательно, AD= AC × cos α, тогда ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ

  • Рассмотрим  треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90). 
Рассмотрим треугол...

    7 слайд

    Рассмотрим треугольник АВС, где  А – тупой ( А  90).
    Рассмотрим треугольник АDС – прямоугольный:

    AD= AC × cos DAC = AC × cos(180 - α )= -AC × cos А или AC × cosА = -AD
    Т.е. ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ

  • Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугол...

    8 слайд

    Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника. Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:
    По теореме:
    а) АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ × ВС × cosВ
    б) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АС × ВС × cosС
    в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора (a2 + b2 = c2)

  • 2) a) По следствию острого угла:
а.1) АВ2  = АС2  + ВС2 – 2 АD × AС
а.2) АС2=...

    9 слайд

    2) a) По следствию острого угла:
    а.1) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АD × AС
    а.2) АС2= АВ2 + ВС2 - 2 ВС × СD
    б) По следствию тупого угла:
    б.1) АВ2 = АС2 + ВС2 + 2 АD × ВС
    б.2) АС2= АВ2 + ВС2 + 2 ВС × СD

  • Две теоремы косинусов для четырехугольника.В практике нередко возникают задач...

    10 слайд

    Две теоремы косинусов для четырехугольника.
    В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике.
    Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

  • Две теоремы косинусов для четырехугольника.
Из всего многообразия возникающих...

    11 слайд

    Две теоремы косинусов для четырехугольника.

    Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.

  • Теорема 1.Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов тр...

    12 слайд

    Теорема 1.
    Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

  • Доказательство №1:Дано:
Треугольник AMD
Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab...

    13 слайд

    Доказательство №1:
    Дано:
    Треугольник AMD
    Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ
    Доказательство.
    Построим ABCE – параллелограмм
    Имеем: ECD =AMD =μ
    Пусть CE=a, AE=b, ED=y, AD=x
    ABC=β, BCD=γ, AED=φ

  • Рассмотрим треугольник  ECD:
по теореме косинусов имеем, что
y2 = a2 + c2 –2a...

    14 слайд

    Рассмотрим треугольник ECD:
    по теореме косинусов имеем, что
    y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ
    Рассмотрим треугольник AED:
    x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
    Составим систему:
    y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ
    x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
    0= a2 + c2 - y2 –2ac × cos μ
    x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
    x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ
    Т.е. из двух равенств получим одно:
    x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ

  • Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Получим, что 
y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 =...

    15 слайд

    Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Получим, что
    y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 = a × cosBCE + c × cos (180 – γ)=> y× cos φ= a × cos β + c× cos γ
    Подставим найденное значение y × cos φ в выражение для x2, получим окончательно:
    x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ
    Теорема доказана.

  • Внимание: приведенное выше доказательство существенным образом опирается на ч...

    16 слайд

    Внимание: приведенное выше доказательство существенным образом опирается на чертеж. Необходимо рассмотреть другие выпуклые четырехугольники и убедиться в том, что эта теорема во всех случаях сохраняет свою силу, независимо от расположения точек E1 и D1 на стороне ВС.
    Приведем второе доказательство, которое не нуждается в рассмотрении различных случаев расположения элементов четырехугольника.

  • Доказательство №2Пусть BN=BC,CK=KA, BL=LD, AMD=KLN, след. по теореме косину...

    17 слайд

    Доказательство №2
    Пусть BN=BC,CK=KA, BL=LD, AMD=KLN, след. по теореме косинусов имеем:
    KL2=KN2 + LN2 – 2KN × LN × cosμ, причем согласно теореме Эйлера
    KL2= 1 4 (a2 + b2 + c2+ x2 – e2 – f2)
    Учитывая, что KN2 = 1 4 a2, LN2 = 1 4 c2, получаем после подстановки KL, KN,и LN в равенство:
    x2 = e2 + f2 –b2 – 2ac × cosμ
    Рассмотрим треугольник АВС – по теореме косинусов:
    e2 =a2 + b2– 2ab× cosβ
    Рассмотрим треугольник ВСD – по теореме косинусов:
    f2 = b2 + c2– 2bc × cos γ

  • Подставим значения e2  и f2  в выражения для x2:
Получим:
x2=a2 + b2–2ab× cos...

    18 слайд

    Подставим значения e2 и f2 в выражения для x2:
    Получим:
    x2=a2 + b2–2ab× cosβ + b2 + c2– 2bc×cos γ– b2– 2ac×cosμ
    x2= a2 + b2 + c2 – 2ab× cosβ– 2bc × cos γ– 2ac × cosμ
    Теорема доказана.


    Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть распространена также на вогнутые четырехугольники и треугольники с самопересечением сторон. Для определения углов в формуле 1 требуются стороны четырехугольника ориентировать по обходу его контура

  • Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г),...

    19 слайд

    Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г), насколько известно, редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии. Целесообразность знакомства с ней, этой забытой теоремой, вы уясните из ее содержания.

  • Теорема 2Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумм...

    20 слайд

    Теорема 2
    Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противоположных углов.
    Эта теорема названа теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям ef, aс, bd, где a, b, c, d – последовательные стороны данного четырехугольника, e и f – его диагонали. Существование такого треугольника легко может быть установлено.

  • Дано:
φ – угол, φ = A + C или B +D
ABCD – четырехугольник (рис. 3.4)
a, b...

    21 слайд

    Дано:
    φ – угол, φ = A + C или B +D
    ABCD – четырехугольник (рис. 3.4)
    a, b, c, d – стороны, e и f –диагонали
    Доказать, что e2f2=a2c2 +b2d2 – 2abcd× cos φ

  • Доказательство:Повернем ∆АВС вокруг т.А до совмещения АВ с AD (т. В1 может ле...

    22 слайд

    Доказательство:
    Повернем ∆АВС вокруг т.А до совмещения АВ с AD (т. В1 может лежать на AD, на ее продолжении или совпасть с т. D)

    ∆АВ1С1 подвергнем гомотетии, с центром в точке А и коэффициентом гомотетии k= 𝐴𝐷 𝐴𝐵1 . При этом т. В1 совместится с т. D, а ∆АВ1D1займет положение ∆АDС2

  • Т.к. АВ1=а, В1С=ВС1=b, AC1=AC=e, AD=dи k= 𝑑 𝑎 , то АС2=АС1×k= 𝑒×𝑑 𝑎 , ВС2=В1С...

    23 слайд

    Т.к. АВ1=а, В1С=ВС1=b, AC1=AC=e, AD=dи k= 𝑑 𝑎 , то АС2=АС1×k= 𝑒×𝑑 𝑎 , ВС2=В1С1×k= b×𝑑 𝑎
    ABC=AB1C1=ADC2,след. СDC2=B+C=
    =360 – (B+D), т.к равен сумме двух противоположных углов данного четырехугольника.

  • Рассмотрим ∆CDC2и∆CAC2
В ∆CDC2: (СС2)2= С2 +  𝑏2𝑐2 𝑎2  - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D)...

    24 слайд

    Рассмотрим ∆CDC2и∆CAC2
    В ∆CDC2: (СС2)2= С2 + 𝑏2𝑐2 𝑎2 - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D);
    В ∆CАC2: (СС2)2= Е2+ 𝑒2𝑑2 𝑎2 - 2𝑒2𝑑 𝑎 ×cosA;
    Приравняем выражения:
    С2+ 𝑏2𝑐2 𝑎2 - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D) = Е2 + 𝑒2𝑑2 𝑎2 - 2𝑒2𝑑 𝑎 ×cosA
    Рассмотрим ∆ABD:
    f2=a2+d2– 2ad ×cosA, след. cosA= a2+d−f2 2ad
    Подставим cos A в равенство в п.4. Получим:
    С2 + 𝑏2𝑑2 𝑎2 - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D) = Е2 + 𝑒2𝑑2 𝑎2 - 2𝑒2𝑑 𝑎 × a2+d−f2 2ad

  • Преобразуем выражение:
 a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D) a2 = 2d(a2e2+e2d2 –...

    25 слайд

    Преобразуем выражение:
    a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D) a2 = 2d(a2e2+e2d2 – e2(a2+d2−f2)) 2a2d
    e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D) - a2e2+e2d2 + e2a2+e2d2
    e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D)
    Т.к. φ=A + C = B +D, тоcos(A + C)=cos (B+D),
    След.e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos(A + C)
    e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cosφ



    Теорема доказана

  • Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои след...

    26 слайд

    Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои следствия.
    Рассмотрим некоторые из них:

    Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90,
    то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений квадратов сторон четырехугольника. Если А+ С = 90 (или же 270), то (ef)2=(ac)2+(bd)2 Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названо теоремой Пифагора для четырехугольников

  • u
В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагонал...

    27 слайд

    u
    В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней неравных сторон. Это следствие вытекает из предыдущего при a=c и b=d

  • Д
Ж
Расстояние от вершины С прямого угла прямоугольного ∆ABС до произвольной...

    28 слайд

    Д
    Ж
    Расстояние от вершины С прямого угла прямоугольного ∆ABС до произвольной точки D его гипотенузы выражается формулой
    СD2= a2m2+b2n2 c2 , где a и b – катеты, m и n – отрезки гипотенузы AB ∆ABС
    Рассмотрим вырожденный четырехугольник ABCD, у которого BDA=180 ACB=90
    Очевидно, стороны четырехугольника равны a, b, m, n, а диагонали его AB=m+n=c; CD=e
    Следовательно e2c2=a2m2 + b2n2 , откуда и вытекает требуемое соотношение.

  • Э
О
О
Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведен...

    29 слайд

    Э
    О
    О
    Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон
    Во вписанном четырехугольнике в окружность, сумма углов А и С равна 180 (A+С= 180), значит, (ef)2=(ac)2+(bd)2 + 2abcd или (ef)2=(ac+bd)2 , т.е. ef=ac+bd

  • И
И
И
И
Расстояние BD между вершиной В ∆ABС  и произвольной точкой D на сторо...

    30 слайд

    И
    И
    И
    И
    Расстояние BD между вершиной В ∆ABС и произвольной точкой D на стороне АС определяется равенством: BD2= 1 𝐴𝐶 (AB2×DC + BC2×AD – AD2×DC)
    Это соотношение известно, как теорема Стюарта.
    Рассмотрим вырожденный простой четырехугольник ABCD,
    CDA=180 ; диагонали его равны BD=AC=DA+DC.
    Тогда:
    (BD×AC)2= (AB×DC)2+(BC×AD)2 –2AB×BC×DC×AD×
    ×cos(B+ 180)

  • Но cos(B+ 180)= - cosB= -  AB2+BC2−AC2 2ABBC , поэтому
BD2×AC2= AB2×DC2+...

    31 слайд

    Но cos(B+ 180)= - cosB= - AB2+BC2−AC2 2ABBC , поэтому
    BD2×AC2= AB2×DC2+ BC2×AD2+DC×DA(AB2+BC2-AC2)
    Или BD2×AC2=AB2×DC(DC+AD)+BC2×AD(AD+DC)-
    -CD×DA×AC2
    Т.е. BD2×AC2 = AB2×DC×AC+BD2×AD×AC-CD×DA×AC2
    BD2= 1 𝐴𝐶 (AB2×DC + BC2×AD – AD2×DC)


  • Если на плоскости даны 4 точки A, B, C, D, то определяемые ими шесть отрезков...

    32 слайд

    Если на плоскости даны 4 точки A, B, C, D, то определяемые ими шесть отрезков удовлетворяют неравенству:
    AB×CD≤AC2× BD2+ AD2× BC2+2AC×BD×AD×BC,
    Причем знак равенства имеет место только в двух случаях: когда данные точки лежат на одной окружности или же эти точки лежат на одной прямой, кроме того, пара точек А и В разделяют пару точек C и D.
    В этом случае, учитывая, что
    AB×CD≤AC2× BD2+ AD2× BC2+2AC×BD ×AD ×BC
    Получаем, что
    AB×CD≤AC ×BD+ AD×BC

  • Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат...

    33 слайд

    Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат на одной окружности или же на одной прямой.

  • Список используемой литературы:З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва...

    34 слайд

    Список используемой литературы:
    З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва, 1990 г.
    И.Ф. Шарынин «Геометрия. Задачник 9-11», Москва, 1996
    М.И. Сканави и др. «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы» Москва, 1978
    А.В. Погорелов. «Геометрия 7-11» Москва, 1996
    «Энциклопедический словарь юного математика» Москва, 1989

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

 

 

   Презентацию выполнили ученицы 10 класса МОУ "СОШ школы №73      Джейранова Малах и  Львова Ольга.

  Теорему знали еще древние греки:  ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.   В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. 

Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.

 

 

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 539 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 07.05.2015 3551
    • PPTX 2.2 мбайт
    • 19 скачиваний
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Драгунова Светлана Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Драгунова Светлана Николаевна
    Драгунова Светлана Николаевна
    • На сайте: 9 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 90164
    • Всего материалов: 32

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Особенности подготовки к проведению ВПР в рамках мониторинга качества образования обучающихся по учебному предмету «Математика» в условиях реализации ФГОС НОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 76 человек из 31 региона

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 65 человек из 38 регионов

Мини-курс

Формирование здоровых детско-родительских отношений: влияние и преодоление сепарации

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 115 человек из 39 регионов

Мини-курс

Психология аддикции: понимание и распознование

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Маркетинг и продажи: стратегии и инструменты для успешного бизнеса

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
Сейчас в эфире

Восстановительные и медиативные практики в профилактике кибербуллинга

Перейти к трансляции