Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Теорема косинусов
Презентацию подготовили
ученицы 10 класса
МОУ «СОШ № 73»
Джейранова Малах и Львова Ольга
Руководитель: Драгунова С.Н.
2 слайд
История возникновения теоремы косинусов.
Теорему знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э.
3 слайд
Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
4 слайд
Доказательство:
Дано:
∆АВС.
Доказать, что ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA
Доказательство:
Рассмотрим векторное равенство.
Т.к.
то
Возведём обе части в квадрат (скалярно), тогда получим:
Т.к. =│ a│ ×│ b│ × cos (a ; b ), то ВС2 = АС2 + АВ2 – 2АС × АВ × cosA , что и требовалось доказать.
5 слайд
Следствие из теоремы косинусов
Но, доказав теорему, можно выявить следствие: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, а знак «-» ставится, когда этот угол острый.
6 слайд
Рассмотрим треугольник АВС, где А – острый
Проведем CDAB
Т.к. треугольник АСD - прямоугольный, то:
b = c × cos α, следовательно, AD= AC × cos α, тогда ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ
7 слайд
Рассмотрим треугольник АВС, где А – тупой ( А 90).
Рассмотрим треугольник АDС – прямоугольный:
AD= AC × cos DAC = AC × cos(180 - α )= -AC × cos А или AC × cosА = -AD
Т.е. ВС2 = АС2 + АВ2 – 2 АС × АВ
8 слайд
Но это – доказательство одного частного случая теоремы, одной стороны треугольника. Другие две стороны находятся аналогично и по соответствующим формулам:
По теореме:
а) АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ × ВС × cosВ
б) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АС × ВС × cosС
в) если один из углов прямой, то имеем треугольник АВС – прямоугольный и стороны вычисляются по теореме Пифагора (a2 + b2 = c2)
9 слайд
2) a) По следствию острого угла:
а.1) АВ2 = АС2 + ВС2 – 2 АD × AС
а.2) АС2= АВ2 + ВС2 - 2 ВС × СD
б) По следствию тупого угла:
б.1) АВ2 = АС2 + ВС2 + 2 АD × ВС
б.2) АС2= АВ2 + ВС2 + 2 ВС × СD
10 слайд
Две теоремы косинусов для четырехугольника.
В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике.
Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.
11 слайд
Две теоремы косинусов для четырехугольника.
Из всего многообразия возникающих здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называются теоремами для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из них следствиями, и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.
12 слайд
Теорема 1.
Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.
13 слайд
Доказательство №1:
Дано:
Треугольник AMD
Доказать, что x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ
Доказательство.
Построим ABCE – параллелограмм
Имеем: ECD =AMD =μ
Пусть CE=a, AE=b, ED=y, AD=x
ABC=β, BCD=γ, AED=φ
14 слайд
Рассмотрим треугольник ECD:
по теореме косинусов имеем, что
y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ
Рассмотрим треугольник AED:
x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
Составим систему:
y2 = a2 + c2 –2ac × cos μ
x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
0= a2 + c2 - y2 –2ac × cos μ
x2 = b2 + y2 – 2by × cos φ
x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ
Т.е. из двух равенств получим одно:
x2 = a2 + b2 + c2 –2ac × cos μ – 2by × cos φ
15 слайд
Проведем отрезки ЕЕ1 и DD1. Получим, что
y= cos ( 180 – φ)= EE1=E1C + CD1 = a × cosBCE + c × cos (180 – γ)=> y× cos φ= a × cos β + c× cos γ
Подставим найденное значение y × cos φ в выражение для x2, получим окончательно:
x2 = a2 + b2 + c2 – 2ab × cosβ – 2bc × cos γ – 2ac × cos μ
Теорема доказана.
16 слайд
Внимание: приведенное выше доказательство существенным образом опирается на чертеж. Необходимо рассмотреть другие выпуклые четырехугольники и убедиться в том, что эта теорема во всех случаях сохраняет свою силу, независимо от расположения точек E1 и D1 на стороне ВС.
Приведем второе доказательство, которое не нуждается в рассмотрении различных случаев расположения элементов четырехугольника.
17 слайд
Доказательство №2
Пусть BN=BC,CK=KA, BL=LD, AMD=KLN, след. по теореме косинусов имеем:
KL2=KN2 + LN2 – 2KN × LN × cosμ, причем согласно теореме Эйлера
KL2= 1 4 (a2 + b2 + c2+ x2 – e2 – f2)
Учитывая, что KN2 = 1 4 a2, LN2 = 1 4 c2, получаем после подстановки KL, KN,и LN в равенство:
x2 = e2 + f2 –b2 – 2ac × cosμ
Рассмотрим треугольник АВС – по теореме косинусов:
e2 =a2 + b2– 2ab× cosβ
Рассмотрим треугольник ВСD – по теореме косинусов:
f2 = b2 + c2– 2bc × cos γ
18 слайд
Подставим значения e2 и f2 в выражения для x2:
Получим:
x2=a2 + b2–2ab× cosβ + b2 + c2– 2bc×cos γ– b2– 2ac×cosμ
x2= a2 + b2 + c2 – 2ab× cosβ– 2bc × cos γ– 2ac × cosμ
Теорема доказана.
Последнее доказательство указывает на то, что теорема косинусов может быть распространена также на вогнутые четырехугольники и треугольники с самопересечением сторон. Для определения углов в формуле 1 требуются стороны четырехугольника ориентировать по обходу его контура
19 слайд
Вторая теорема косинусов для четырехугольника (теорема Бретшнейдера, 1843 г), насколько известно, редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии. Целесообразность знакомства с ней, этой забытой теоремой, вы уясните из ее содержания.
20 слайд
Теорема 2
Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противоположных углов.
Эта теорема названа теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям ef, aс, bd, где a, b, c, d – последовательные стороны данного четырехугольника, e и f – его диагонали. Существование такого треугольника легко может быть установлено.
21 слайд
Дано:
φ – угол, φ = A + C или B +D
ABCD – четырехугольник (рис. 3.4)
a, b, c, d – стороны, e и f –диагонали
Доказать, что e2f2=a2c2 +b2d2 – 2abcd× cos φ
22 слайд
Доказательство:
Повернем ∆АВС вокруг т.А до совмещения АВ с AD (т. В1 может лежать на AD, на ее продолжении или совпасть с т. D)
∆АВ1С1 подвергнем гомотетии, с центром в точке А и коэффициентом гомотетии k= 𝐴𝐷 𝐴𝐵1 . При этом т. В1 совместится с т. D, а ∆АВ1D1займет положение ∆АDС2
23 слайд
Т.к. АВ1=а, В1С=ВС1=b, AC1=AC=e, AD=dи k= 𝑑 𝑎 , то АС2=АС1×k= 𝑒×𝑑 𝑎 , ВС2=В1С1×k= b×𝑑 𝑎
ABC=AB1C1=ADC2,след. СDC2=B+C=
=360 – (B+D), т.к равен сумме двух противоположных углов данного четырехугольника.
24 слайд
Рассмотрим ∆CDC2и∆CAC2
В ∆CDC2: (СС2)2= С2 + 𝑏2𝑐2 𝑎2 - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D);
В ∆CАC2: (СС2)2= Е2+ 𝑒2𝑑2 𝑎2 - 2𝑒2𝑑 𝑎 ×cosA;
Приравняем выражения:
С2+ 𝑏2𝑐2 𝑎2 - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D) = Е2 + 𝑒2𝑑2 𝑎2 - 2𝑒2𝑑 𝑎 ×cosA
Рассмотрим ∆ABD:
f2=a2+d2– 2ad ×cosA, след. cosA= a2+d−f2 2ad
Подставим cos A в равенство в п.4. Получим:
С2 + 𝑏2𝑑2 𝑎2 - 2𝑏𝑐𝑑 𝑎 ×cos (B+ D) = Е2 + 𝑒2𝑑2 𝑎2 - 2𝑒2𝑑 𝑎 × a2+d−f2 2ad
25 слайд
Преобразуем выражение:
a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D) a2 = 2d(a2e2+e2d2 – e2(a2+d2−f2)) 2a2d
e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D) - a2e2+e2d2 + e2a2+e2d2
e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos (B+D)
Т.к. φ=A + C = B +D, тоcos(A + C)=cos (B+D),
След.e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cos(A + C)
e2f2=a2c2 + b2d2 − 2abcd ×cosφ
Теорема доказана
26 слайд
Эта теорема по аналогии с теоремой косинусов для треугольника имеет свои следствия.
Рассмотрим некоторые из них:
Если сумма какой-либо пары противоположных углов четырехугольника равна 90,
то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений квадратов сторон четырехугольника. Если А+ С = 90 (или же 270), то (ef)2=(ac)2+(bd)2 Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названо теоремой Пифагора для четырехугольников
27 слайд
u
В параллелограмме с острым углом, равным 45, квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней неравных сторон. Это следствие вытекает из предыдущего при a=c и b=d
28 слайд
Д
Ж
Расстояние от вершины С прямого угла прямоугольного ∆ABС до произвольной точки D его гипотенузы выражается формулой
СD2= a2m2+b2n2 c2 , где a и b – катеты, m и n – отрезки гипотенузы AB ∆ABС
Рассмотрим вырожденный четырехугольник ABCD, у которого BDA=180 ACB=90
Очевидно, стороны четырехугольника равны a, b, m, n, а диагонали его AB=m+n=c; CD=e
Следовательно e2c2=a2m2 + b2n2 , откуда и вытекает требуемое соотношение.
29 слайд
Э
О
О
Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон
Во вписанном четырехугольнике в окружность, сумма углов А и С равна 180 (A+С= 180), значит, (ef)2=(ac)2+(bd)2 + 2abcd или (ef)2=(ac+bd)2 , т.е. ef=ac+bd
30 слайд
И
И
И
И
Расстояние BD между вершиной В ∆ABС и произвольной точкой D на стороне АС определяется равенством: BD2= 1 𝐴𝐶 (AB2×DC + BC2×AD – AD2×DC)
Это соотношение известно, как теорема Стюарта.
Рассмотрим вырожденный простой четырехугольник ABCD,
CDA=180 ; диагонали его равны BD=AC=DA+DC.
Тогда:
(BD×AC)2= (AB×DC)2+(BC×AD)2 –2AB×BC×DC×AD×
×cos(B+ 180)
31 слайд
Но cos(B+ 180)= - cosB= - AB2+BC2−AC2 2ABBC , поэтому
BD2×AC2= AB2×DC2+ BC2×AD2+DC×DA(AB2+BC2-AC2)
Или BD2×AC2=AB2×DC(DC+AD)+BC2×AD(AD+DC)-
-CD×DA×AC2
Т.е. BD2×AC2 = AB2×DC×AC+BD2×AD×AC-CD×DA×AC2
BD2= 1 𝐴𝐶 (AB2×DC + BC2×AD – AD2×DC)
32 слайд
Если на плоскости даны 4 точки A, B, C, D, то определяемые ими шесть отрезков удовлетворяют неравенству:
AB×CD≤AC2× BD2+ AD2× BC2+2AC×BD×AD×BC,
Причем знак равенства имеет место только в двух случаях: когда данные точки лежат на одной окружности или же эти точки лежат на одной прямой, кроме того, пара точек А и В разделяют пару точек C и D.
В этом случае, учитывая, что
AB×CD≤AC2× BD2+ AD2× BC2+2AC×BD ×AD ×BC
Получаем, что
AB×CD≤AC ×BD+ AD×BC
33 слайд
Если имеет место знак равенства, то B + D=180 и данные четыре точки лежат на одной окружности или же на одной прямой.
34 слайд
Список используемой литературы:
З.А. Скопец «Геометрические миниатюры», Москва, 1990 г.
И.Ф. Шарынин «Геометрия. Задачник 9-11», Москва, 1996
М.И. Сканави и др. «Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы» Москва, 1978
А.В. Погорелов. «Геометрия 7-11» Москва, 1996
«Энциклопедический словарь юного математика» Москва, 1989
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Презентацию выполнили ученицы 10 класса МОУ "СОШ школы №73 Джейранова Малах и Львова Ольга.
Теорему знали еще древние греки: ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида ( IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Алгебраической символики тогда не существовало. Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году до н.э. В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике.Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п.
6 625 539 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Драгунова Светлана Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
8 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.