Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация на тему "Вневписанная окружность треугольника"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация на тему "Вневписанная окружность треугольника"

библиотека
материалов
ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являю...
Соотношение между длинами отрезков касательных Теорема 1: Расстояние от верши...
Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которо...
Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями...
Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей Теорема 2: Радиус вн...
Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневпи...
Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имею...
Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобе...
Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напро...
Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобед...
Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольно...
Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R +...
Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневпи...
 Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc = r + ra + rb.
Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым угло...
 Расстояния до центров вневписанных окружностей
Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВ...
Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и Ob вневпи...
Соотношения между величинами углов Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС ви...
20 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Описание слайда:

ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

№ слайда 2 Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являю
Описание слайда:

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, к которой являются касательными одна из сторон треугольника и продолжения двух других сторон.

№ слайда 3 Соотношение между длинами отрезков касательных Теорема 1: Расстояние от верши
Описание слайда:

Соотношение между длинами отрезков касательных Теорема 1: Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением стороны, содержащей ее, за вершину противолежащей стороны равно полупериметру треугольника. Доказательство. Обозначим через В₁, С₁, и Та – точки касания вневписанной окружности с прямыми АС, АВ и ВС соответственно. Тогда СВ₁ = СТа, ВС₁ = ВТа и периметр треугольника АВС: P = AC + СТа + ВТа + АВ = АС + СВ₁ + ВС₁ + АВ = АВ₁ + АС₁. Т.к. АВ₁ = АС₁, то расстояния АВ₁ и АС₁ равны полупериметру треугольника АВС.

№ слайда 4 Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которо
Описание слайда:

Следствие 1: Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Примечание: В треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине. То же соблюдается и для вневписанной окружности. AN = AK = p – a, BM = BK = p – b, CN = CM = p – c.

№ слайда 5 Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями
Описание слайда:

Следствие 2: Для отрезков касательных, связанных с вневписанными окружностями треугольника, выполняются равенства: ВТс = ВА1 = СТb = CA2 = p-a, ATc = AB2 = CTa = CB1 = p-b, BTa = BC1 = ATb = AC2 = p-c. Следствие 3: Верны следующие равенства: B2Tb = C2Tc = ATc + ATb = a, C1Tc = A1Ta = BTc + BTa = b, B1Tb = A2Ta = CTb + CTa = c. Следствие 4: Расстояния между точками касаний вневписанных окружностей продолжений сторон за вершины треугольника равны: C1C2 = a +b, B1B2 = a + c, A1A2 = b + c. Из следствия 1 Получаются при попарном сложении равенств из следствия 2 Получаются при попарном сложении равенств из следствия 3

№ слайда 6 Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей Теорема 2: Радиус вн
Описание слайда:

Формулы для вычисления радиусов вневписанных окружностей Теорема 2: Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС треугольника АВС, вычисляется по формуле ra = Доказательство. Выполняются следующие равенства: SABC = SOCA + SOBA - SOCB = 0,5rab + 0,5rac – 0,5raa = ra(p -a). Аналогично получаются формулы: rb = и rc =

№ слайда 7 Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневпи
Описание слайда:

Следствие 1: Большей стороне треугольника соответствует касающаяся её вневписанная окружность большего радиуса и наоборот. Следствие 2: Радиус вневписанной окружности треугольника больше радиуса окружности, вписанной в тот же треугольник. Следствие 3: Площадь треугольника АВС может быть вычислена по формулам: S = ra(p - a), S = rb(p - b), S = rc(p - c).

№ слайда 8 Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имею
Описание слайда:

Следствие 4: Для отношения радиусов вписанной и вневписанных окружностей имеют место равенства: r/ra = , ra/rb = , ra/rc = . Следствие 5: Используя формулу Герона, получим формулы для вычисления длин радиусов через стороны треугольника: ra = rb = rc =

№ слайда 9 Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобе
Описание слайда:

Теорема 3: Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны равнобедренного треугольника, равен высоте треугольника, опущенной на основание. Доказательство. Пусть Oa, Ob и Oc – центры вневписанных окружностей треугольника АВС, Ca, Cb и Tc – точки касания этих окружностей с прямой АВ. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный (АС = ВС), то высота, опущенная из вершины С, лежит на биссектрисе СОс угла С, и поэтому СОс ⊥ АВ. С другой стороны радиус ОсТс ⊥ АВ, следовательно, точка Тс лежит на биссектрисе угла С. Отсюда ОТс ⊥ АВ и СТс является высотой треугольника АВС. Заметим, что СОс ⊥ COb как биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника при вершине С, СОс ⊥ АВ и ObCb ⊥ АВ. Следовательно, четырехугольник TcCObCb – прямоугольник. Значит, rb = ObCb = CTc.

№ слайда 10 Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напро
Описание слайда:

Следствие: В равнобедренном треугольнике расстояние от вершины, лежащей напротив основания, до центра вневписанной окружности, касающееся боковой стороны, равно боковой стороне. Доказательство. Т.к. BCb = p = b + 0,5c, то получаем COb = TcCb = p – 0,5c = b.

№ слайда 11 Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобед
Описание слайда:

Теорема 4: Радиусы вневписанных окружностей выражаются через стороны равнобедренного треугольника формулами: ra = rb = и rc = 0,5c * Доказательство. Из доказательства теоремы 3 следует, что CTc ⊥ AB и BTc = ATc = 0,5c. Из прямоугольного треугольника TcCA rb = CTc = Прямоугольные треугольники ОсТсА и ObCbA подобны по двум углам. Тогда = = = . Отсюда = или rc =0,5c * Следствие. Для равностороннего треугольника ra = rb = rc = =3r, где а – сторона треугольника и r – радиус вписанной окружности.

№ слайда 12 Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольно
Описание слайда:

Теорема 5: Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру этого треугольника, т.е. rc = p. Доказательство. Пусть вневписанная окружность с центром в Ос касается продолжений катетов СВ и СА в точках А3 и В3 соответственно. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны прямым СВ и СА. Из теоремы 1 отрезки СА3 = СВ3 = p. Т.к. четырехугольник СВ3ОсА3 – квадрат, то rc = ОсА3 = СА3 = p.

№ слайда 13 Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R +
Описание слайда:

Следствие: Т.к. для прямоугольного треугольника имеют место формулы p = 2R +r = c + r, то получаем еще равенства rc = 2R + r = c + r.

№ слайда 14 Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневпи
Описание слайда:

Теорема 6: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме радиусов вневписанных окружностей, касающихся катетов, т.е. c = ra + rb . Доказательство. Т.к. четырехугольники СТаОаВ1 и СА1ОbTb – квадраты, то CTa = ra, CTb = rb. Из следствия 3 теоремы 1 имеем ra + rb = CT­a + CT­b = c.

№ слайда 15  Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc = r + ra + rb.
Описание слайда:

Следствие: Т.к. rc = c + r, то получаем rc = r + ra + rb.

№ слайда 16 Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым угло
Описание слайда:

Теорема 7: Доказать, что катеты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом в вершине С могут быть найдены через радиусы rc , ra, rb вневписанных окружностей по формулам: а) a = rc – rb и b = rc – ra; б) a = 2rarc / ra + rc и b = 2rbrc/ rb + rc . Доказательство. а) По следствию 2 теоремы 1 имеем rb = CTb = p – a. Т.к. по теореме 5 rc = p, то получаем a = rc – rb. Вторая формула доказывается аналогично. б) Т.к. центры вневписанных окружностей Oa и Ос лежат на биссектрисе внешнего угла В треугольника АВС, то прямоугольные треугольники ОаТаВ и ОсА3В подобны по двум углам. Тогда из равенства отношения сторон, лежащих против равных углов, ОаТа/ОсА3 = ТаВ/ВА3, получаем ra/rc = a – ra/rc – a. Отсюда a = 2rarc / ra + rc. Следствие. Из первых двух формул теоремы 7 получаем |a – b| = |ra – rb|.

№ слайда 17  Расстояния до центров вневписанных окружностей
Описание слайда:

Расстояния до центров вневписанных окружностей

№ слайда 18 Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВ
Описание слайда:

Теорема 9: Расстояния между центрами вневписанных окружностей треугольника АВС могут быть вычислены по формулам: OaOb = c* OaOc = b* ObOc = a* Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник CTaOa в котором CTa = p – b(следствие 2 теоремы 1) и OaTa = ra = (следствие 5 теоремы 2). Используя теорему Пифагора, получаем: СОа = = = . Аналогично из прямоугольного треугольника CTbOb находим COb = Тогда OaOb = COa + COb = + = c* . Другие формулы доказываются аналогично.

№ слайда 19 Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и Ob вневпи
Описание слайда:

Следствие. Расстояния от вершины С треугольника АВС до центров Oa и Ob вневписанных окружностей соответственно равны: СOa = и COb = Замечание. Из прямоугольного треугольника СОсА1 можно найти расстояние от вершины С треугольника АВС до центра Ос вневписанной окружности: СОс = =

№ слайда 20 Соотношения между величинами углов Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС ви
Описание слайда:

Соотношения между величинами углов Теорема 10: Сторона ВС треугольника АВС видна из центра Oa вневписанной окружности, касающейся стороны С, под углом 90 - . Доказательство. Т.к. BOa и COa – биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах В и С, то СВОа = 90 - и ВСОа = 90 - . Отсюда получаем ВОаС = 180 - СВОа - ВСОа = 180 - (90 - + 90 - ) = 90 -


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Материал предназначен для профильных классов и лицеев. Детей средней и низкой подготовленности лучше не пугать данным материалом, иначе математику они точно любить не будут

Автор
Дата добавления 21.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1294
Номер материала 490535
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх