-
Курсы
-
Другое
Найдено 53 материала по теме
Предпросмотр материала:
Автор: учитель математики МБОУ «Лицей №24» г.Гуково
Привальцева Елена Ивановна
Экстремумы функции
Понятие экстремума функции
Рассмотрим график непрерывной функции y = f(x), изображенной на рисунке №1. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В другой точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум.
Определение
Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции.
Точки максимума функции обозначаются: xmax1, xmax2, xmax3 и так далее. Точки минимума функции обозначаются: xmin1, xmin2, xmin 3 и так далее.
Обратим внимание на то, что функция может достигать нескольких максимумов и минимумов. Отметим, что если функция имеет в точке максимум (минимум), то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение во всей области определения.
Значения функции в точках максимума или минимума функции называются экстремумами функции
Экстремумы функции обозначаются: ymin,1, ymin,2, ymin,3, ..., ymax,1, ymax,2, ymax,3 и так далее.
Функция y = f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x0).
Функция y = f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x0).
Критические и стационарные точки
Важным пунктом в исследовании графиков функций является нахождение точек экстремума функции (точек максимума и минимума функции). Прежде, чем переходить к формулировке теорем, касающихся поиска точек экстремума функции, необходимо ввести определения стационарных и критических точек.
На рисунке №2 представлены две стационарные точки X1 и Х2.
Рисунок №2. Стационарные точки.
Стационарными называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю. С точки зрения геометрического смысла производной функции в стационарных точках касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (ось Ox).
Обратимся теперь к рисунку №3. На данном рисунке представлены две точки x1 и x2, в которых производная функции не существует.
Рис.3
С геометрической точки зрения в точках, в которых производная непрерывной функции не существует, касательная к графику может быть проведена не одним, а множеством различных способов.
Критическими называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Из приведённых определений очевидно, что любая стационарная точка является критической, но не любая критическая точка является стационарной.
Стационарная точка-это точка, в которой производная функции рана нулю, а критическая - это точка, в которой производная функции равна нулю или в которой производная не существует.
т.е. стационарная точка- это подмножество критических точек
Необходимое условие экстремума функции
Первым шагом к выведению алгоритма поиска экстремумов функции является формулировка теоремы Ферма об экстремумах функции и теоремы о необходимом условии экстремума функции.
Теорема Ферма об экстремумах функции.
Согласно этой теореме если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума (минимума или максимума), то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. y' = f '(x0) = 0.
Геометрически это означает, что если функция дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума, то касательная к графику этой функции в точке x0 будет параллельна оси абсцисс (ось Ox). Данное утверждение проиллюстрировано на рисунке №4.
Рисунок №4. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.
Необходимое условие экстремума функции.
Если непрерывная функция y = f(x) достигает экстремума (минимума или максимума) в некоторой точке x0, то производная функции в этой точке равна нулю, либо не существует.
Случай, когда непрерывная функция не имеет производной в точке и при этом достигает в ней экстремума, изображён на рисунке №5.
Рис.5
Достаточные условия экстремума функции
Необходимое условие существования экстремума функции позволяет найти ряд точек, в которых функция может достигнуть экстремума, а может и не достигнуть. Но при этом в любых других точка экстремума не будет. Поэтому требуется ввести критерий отбора среди найденных критических точек тех точек, которые являются точками экстремума, и тех, которые ими не являются.
Теорема о достаточных условиях экстремума функции.
Пусть непрерывная функция y = f(x) имеет критическую точку x0. Тогда возможен один из 3-х случаев.
1. Точка x0 является точкой минимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x < x0 выпол-няется неравенство f '(x) < 0, а при x > x0 неравенство f '(x) > 0.
2. Точка x0 является точкой максимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x < x0 выпол-няется неравенство f '(x) > 0, а при x > x0 неравенство f '(x) < 0.
3. В точке x0 экстремума нет, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x ≠ x0 знаки производной одинаковы.
Алгоритм нахождения экстремумов функции
Пусть имеется непрерывная функция y = f(x), которую необходимо исследовать на предмет наличия экстремумов. Для этого следует выполнить последовательность действий:
Найти производную f '(x) заданной функции.
2. Найти критические точки. Для этого необходимо исследовать, в каких точках производная функции f '(x) не существует, и найти нули производной функции, т. е. решить уравнение f '(x) = 0.
3. Отметить критические точки на числовой прямой область определения функции y = f(x)
4. Определить знаки производной функции f '(x) на получившихся промежутках.
5. Опираясь на теорему о достаточных условиях экстремума функции, сделать выводы о наличии или отсутствии точек экстремума функции.
Пример использования алгоритма нахождения экстремумов функции.
Исследовать функцию y = 3x4 − 16x3 + 24x2 − 11 на наличие экстремумов.
1. Производная функции y' = 12x3 − 48x2 + 48x.
2. Производная функции y' существует при любом x. Далее решим уравнение y' = 0.
12x3 − 48x2 + 48x = 0,
12x(x2 − 4x + 4) = 0,
12x(x − 2)2 = 0.
x1 = 0 и x2 = 2.
3. Изображаем числовую прямую, на которой отмечены критические точки.
4. Получено 3 числовых промежутка. Определяем и отмечаем знак производной функции на каждом промежутке. Для этого берём из каждого промежутка любое значение аргумента, отличное от критических точек, и подставляем в производную
5. На основании теоремы о достаточных условиях экстремума функции приходим к выводу о том, что точка x1 = 0 является точкой минимума функции, а точка x2 = 2 не является точкой экстремума функции.
Задания ЕГЭ:
Ответ: 2
Ответ: 4
Ответ: 4
Ответ: 1
Ответ: 3
Ответ: 2
Ответ: 3
http://iav.su/materials/disturok/disturok8.html
Использованы материалы:
Презентация по алгебре и началам математического анализа по теме: "Экстремумы функции".Можно применять для объяснения нового материала и закрепления темы.Вводится понятие экстремума функции.Понятие критической точки и стационарной точки.Сформулировано необходимое условие экстремума (теорема Ферма), обращается внимание, что теорема Ферма является только необходимым условием экстремума,но не достаточным.
Вводится алгоритм нахождения экстремума функции и разбирается на конкретном примере. В презентации представлены задания из сборника по подготовке к ЕГЭ под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко по теме экстремум.
Профессия: Учитель математики
В каталоге 6 497 курсов по разным направлениям
