Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по алгебре и началам математического анализа по теме:
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация по алгебре и началам математического анализа по теме:

библиотека
материалов
Автор: учитель математики МБОУ «Лицей №24» г.Гуково Привальцева Елена Ивановн...
Понятие экстремума функции Рассмотрим график непрерывной функции y = f(x), из...
Определение Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называ...
Значения функции в точках максимума или минимума функции называются экстремум...
Критические и стационарные точки Важным пунктом в исследовании графиков функц...
Стационарными называются такие точки внутренней области определения функции,...
С геометрической точки зрения в точках, в которых производная непрерывной фун...
Стационарная точка-это точка, в которой производная функции рана нулю, а крит...
Необходимое условие экстремума функции Первым шагом к выведению алгоритма пои...
Геометрически это означает, что если функция дифференцируема в точке x0 и дос...
Необходимое условие экстремума функции. Если непрерывная функция y = f(x) дос...
Достаточные условия экстремума функции Необходимое условие существования экст...
Теорема о достаточных условиях экстремума функции. Пусть непрерывная функция...
Алгоритм нахождения экстремумов функции Пусть имеется непрерывная функция y =...
Пример использования алгоритма нахождения экстремумов функции. Исследовать фу...
Задания ЕГЭ: Ответ: 2
Ответ: 4
Ответ: 4
Ответ: 1
Ответ: 3
Ответ: 2
Ответ: 3
http://iav.su/materials/disturok/disturok8.html Использованы материалы:
23 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Автор: учитель математики МБОУ «Лицей №24» г.Гуково Привальцева Елена Ивановн
Описание слайда:

Автор: учитель математики МБОУ «Лицей №24» г.Гуково Привальцева Елена Ивановна Экстремумы функции

№ слайда 2 Понятие экстремума функции Рассмотрим график непрерывной функции y = f(x), из
Описание слайда:

Понятие экстремума функции Рассмотрим график непрерывной функции y = f(x), изображенной на рисунке №1. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В другой точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум.

№ слайда 3 Определение Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называ
Описание слайда:

Определение Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции. Точки максимума функции обозначаются: xmax1, xmax2, xmax3 и так далее. Точки минимума функции обозначаются: xmin1, xmin2, xmin 3 и так далее. Обратим внимание на то, что функция может достигать нескольких максимумов и минимумов. Отметим, что если функция имеет в точке максимум (минимум), то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение во всей области определения.

№ слайда 4 Значения функции в точках максимума или минимума функции называются экстремум
Описание слайда:

Значения функции в точках максимума или минимума функции называются экстремумами функции Экстремумы функции обозначаются: ymin,1, ymin,2, ymin,3, ..., ymax,1, ymax,2, ymax,3 и так далее. Функция y = f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) < f(x0). Функция y = f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x ≠ x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) > f(x0).

№ слайда 5 Критические и стационарные точки Важным пунктом в исследовании графиков функц
Описание слайда:

Критические и стационарные точки Важным пунктом в исследовании графиков функций является нахождение точек экстремума функции (точек максимума и минимума функции). Прежде, чем переходить к формулировке теорем, касающихся поиска точек экстремума функции, необходимо ввести определения стационарных и критических точек. На рисунке №2 представлены две стационарные точки X1 и Х2. Рисунок №2. Стационарные точки.

№ слайда 6 Стационарными называются такие точки внутренней области определения функции,
Описание слайда:

Стационарными называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю. С точки зрения геометрического смысла производной функции в стационарных точках касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (ось Ox). Обратимся теперь к рисунку №3. На данном рисунке представлены две точки x1 и x2, в которых производная функции не существует. Рис.3

№ слайда 7 С геометрической точки зрения в точках, в которых производная непрерывной фун
Описание слайда:

С геометрической точки зрения в точках, в которых производная непрерывной функции не существует, касательная к графику может быть проведена не одним, а множеством различных способов. Критическими называются такие точки внутренней области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует. Из приведённых определений очевидно, что любая стационарная точка является критической, но не любая критическая точка является стационарной.

№ слайда 8 Стационарная точка-это точка, в которой производная функции рана нулю, а крит
Описание слайда:

Стационарная точка-это точка, в которой производная функции рана нулю, а критическая - это точка, в которой производная функции равна нулю или в которой производная не существует. т.е. стационарная точка- это подмножество критических точек

№ слайда 9 Необходимое условие экстремума функции Первым шагом к выведению алгоритма пои
Описание слайда:

Необходимое условие экстремума функции Первым шагом к выведению алгоритма поиска экстремумов функции является формулировка теоремы Ферма об экстремумах функции и теоремы о необходимом условии экстремума функции. Теорема Ферма об экстремумах функции. Согласно этой теореме если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума (минимума или максимума), то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. y' = f '(x0) = 0.

№ слайда 10 Геометрически это означает, что если функция дифференцируема в точке x0 и дос
Описание слайда:

Геометрически это означает, что если функция дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума, то касательная к графику этой функции в точке x0 будет параллельна оси абсцисс (ось Ox). Данное утверждение проиллюстрировано на рисунке №4. Рисунок №4. Касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс.

№ слайда 11 Необходимое условие экстремума функции. Если непрерывная функция y = f(x) дос
Описание слайда:

Необходимое условие экстремума функции. Если непрерывная функция y = f(x) достигает экстремума (минимума или максимума) в некоторой точке x0, то производная функции в этой точке равна нулю, либо не существует. Случай, когда непрерывная функция не имеет производной в точке и при этом достигает в ней экстремума, изображён на рисунке №5. Рис.5

№ слайда 12 Достаточные условия экстремума функции Необходимое условие существования экст
Описание слайда:

Достаточные условия экстремума функции Необходимое условие существования экстремума функции позволяет найти ряд точек, в которых функция может достигнуть экстремума, а может и не достигнуть. Но при этом в любых других точка экстремума не будет. Поэтому требуется ввести критерий отбора среди найденных критических точек тех точек, которые являются точками экстремума, и тех, которые ими не являются.

№ слайда 13 Теорема о достаточных условиях экстремума функции. Пусть непрерывная функция
Описание слайда:

Теорема о достаточных условиях экстремума функции. Пусть непрерывная функция y = f(x) имеет критическую точку x0. Тогда возможен один из 3-х случаев. 1. Точка x0 является точкой минимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x < x0 выпол-няется неравенство f '(x) < 0, а при x > x0 неравенство f '(x) > 0. 2. Точка x0 является точкой максимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x < x0 выпол-няется неравенство f '(x) > 0, а при x > x0 неравенство f '(x) < 0. 3. В точке x0 экстремума нет, если существует такая окрестность этой точки, что в ней для любого x ≠ x0 знаки производной одинаковы.

№ слайда 14 Алгоритм нахождения экстремумов функции Пусть имеется непрерывная функция y =
Описание слайда:

Алгоритм нахождения экстремумов функции Пусть имеется непрерывная функция y = f(x), которую необходимо исследовать на предмет наличия экстремумов. Для этого следует выполнить последовательность действий: Найти производную f '(x) заданной функции. 2. Найти критические точки. Для этого необходимо исследовать, в каких точках производная функции f '(x) не существует, и найти нули производной функции, т. е. решить уравнение f '(x) = 0. 3. Отметить критические точки на числовой прямой область определения функции y = f(x) 4. Определить знаки производной функции f '(x) на получившихся промежутках. 5. Опираясь на теорему о достаточных условиях экстремума функции, сделать выводы о наличии или отсутствии точек экстремума функции.

№ слайда 15 Пример использования алгоритма нахождения экстремумов функции. Исследовать фу
Описание слайда:

Пример использования алгоритма нахождения экстремумов функции. Исследовать функцию y = 3x4 − 16x3 + 24x2 − 11 на наличие экстремумов. 1. Производная функции y' = 12x3 − 48x2 + 48x. 2. Производная функции y' существует при любом x. Далее решим уравнение y' = 0. 12x3 − 48x2 + 48x = 0, 12x(x2 − 4x + 4) = 0, 12x(x − 2)2 = 0. x1 = 0 и x2 = 2. 3. Изображаем числовую прямую, на которой отмечены критические точки. 4. Получено 3 числовых промежутка. Определяем и отмечаем знак производной функции на каждом промежутке. Для этого берём из каждого промежутка любое значение аргумента, отличное от критических точек, и подставляем в производную 5. На основании теоремы о достаточных условиях экстремума функции приходим к выводу о том, что точка x1 = 0 является точкой минимума функции, а точка x2 = 2 не является точкой экстремума функции.

№ слайда 16 Задания ЕГЭ: Ответ: 2
Описание слайда:

Задания ЕГЭ: Ответ: 2

№ слайда 17 Ответ: 4
Описание слайда:

Ответ: 4

№ слайда 18 Ответ: 4
Описание слайда:

Ответ: 4

№ слайда 19 Ответ: 1
Описание слайда:

Ответ: 1

№ слайда 20 Ответ: 3
Описание слайда:

Ответ: 3

№ слайда 21 Ответ: 2
Описание слайда:

Ответ: 2

№ слайда 22 Ответ: 3
Описание слайда:

Ответ: 3

№ слайда 23 http://iav.su/materials/disturok/disturok8.html Использованы материалы:
Описание слайда:

http://iav.su/materials/disturok/disturok8.html Использованы материалы:

Краткое описание документа:

Презентация по алгебре и началам математического анализа по теме: "Экстремумы функции".Можно применять для объяснения нового материала и закрепления темы.Вводится понятие экстремума функции.Понятие критической точки и стационарной точки.Сформулировано необходимое условие экстремума (теорема Ферма), обращается внимание, что теорема Ферма является только необходимым условием экстремума,но не достаточным.

Вводится алгоритм нахождения экстремума функции и разбирается на конкретном примере. В презентации представлены задания из сборника по подготовке к ЕГЭ под редакцией А.Л.Семёнова, И.В.Ященко по теме экстремум.

Автор
Дата добавления 24.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров331
Номер материала 149969
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх