-
Курсы
-
Другое
Найдено 68 материалов по теме
Предпросмотр материала:
МНОГОГРАННИКИ
Гриднева Е.В., учитель математики МОУ гимназии №6
АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА
ТЕОРИЯ
АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА
Многогранник называется равноугольно-полуправильным или архимедовым, если все его многогранные углы равны между собой (нo не обязательно правильные), а все его грани — правильные многоугольники (но не все равны между собой).
Эти многогранники были впервые рассмотрены Архимедом в 111 в. до н. э. в недошедшем до нас сочинении, его работа дошла до нас только через сочинения других авторов. Все эти многогранники были вновь открыты и описаны в эпоху Ренессанса. Известный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 — 1630) в книге «Гармония мира» в 1619 г. полностью восстановил потерянную информацию о них.
ПРИЗМЫ
Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призма, т. е. правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями
АНТИПРИЗМЫ
Это так называемая п-угольная архимедова антипризма. Она может быть получена, если одно из оснований правильной n-угольной призмы (n>4) повернуть вокруг оси призмы на угол —— и затем соединить отрезками каждую вершину этого основания с ближайшими вершинами другого основания; при этом высота призмы должна быть подобрана так, чтобы эти отрезки оказались равными стороне основания (иначе говоря, боковые грани антипризмы должны быть правильными треугольниками).
ПРИЗМЫ И АТНИПРИЗМЫ
Меняя n, мы получим две бесконечные серии архимедовых многогранников — призм и антипризм.
Будем относить к одному и тому же типу два полуправильных многогранника нулевого рода, если:
при любом n у них одно и то же число n-угольных граней. (Одинаковое число треугольников, четырехугольников и т. д.);
при любом s у них одно и то же число s-гранных углов (одинаковое число трехгранных углов, одинаковое число четырехгранных углов и т. п.).
У таких многогранников также совпадают характеристики Г (количество граней), В (количество вершин), Р (количество ребер). Как показал Иоганн Кеплер, существуют (кроме рассмотренных выше серий призм и антипризм) еще 13 различных типов простых архимедовых многогранников
УСЕЧЕННЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Термин "усеченный" означает, что многогранник был получен в процессе отсечения от правильного многогранника правильных пирамид с вершинами, лежащими на ребрах и в вершине многогранника (например, на рисунке внизу из куба был получен усеченный куб).
Усечение добавляет новые грани для каждой существующей вершины и превращает существующие n-угольники в 2n-угольники (например, квадраты - в восьмиугольники). Перечислим все многогранники, полученные усечением: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр. Если возможно отсечь углы на такую глубину, которая превращает все грани в правильные многоугольники, что обычно подразумевается, то получится полуправильный многогранник.
Может показаться, что если два архимедова многогранника принадлежат к одному и тому же типу, а ребра у многогранников равны, то сами многогранники равны; это представляется очевидным. Однако советский геометр В. Г. Ашкинузе показал, что для одного типа полуправильных многогранников это не так: два многогранника, приведенные на рисунках ниже, принадлежат к одному и тому же типу (у каждого из них по 18 квадратных и по 8 треугольных граней, по 24 вершины и по 48 ребер); но из равенства их ребер не следует равенство многогранников (т. е. не следует возможность их совмещении).
Изоэдры (равногранные многогранники)
В кристаллографии приходится встречаться с классом многогранников, более широким, чем равногранно-полуправильные, это класс равногранных многогранников, или изоэдров.
Форму изоэдра имеет, например, кристалл куприта (Сu20); это выпуклый многогранник, ограниченный 24 равными неправильными пятиугольниками.
Изогоны (равноугольные многогранники)
Обобщением понятия архимедова многогранника является понятие равноугольного многогранника, или изогона (у него все многогранные углы равны, а грани могут быть произвольными). Простой пример изогона мы получим, если у всех вершин правильного октаэдра с ребром а отсечь от этого октаэдра правильную четырехугольную пирамиду с ребром, меньшим чем — а. Такую форму имеет, в частности, кристалл флюорита CaF2.
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА
ТЕОРИЯ
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:
Все его грани – конгруэнтные правильные многоугольники;
К каждой вершине примыкает одно и то же число граней.
Если все грани – правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814–1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе.
Существуют также невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются «правильными звездчатыми многогранниками».
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА
Это правильные многогранники, имеющие в качестве граней конгруэнтные правильные многоугольники, причем число граней, примыкающих к каждой вершине, одинаково. Таковы тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр
МНОГОГРАННИКИ И ТЕОЛОГИЯ
Платоновы тела захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря.
МНОГОГРАННИКИ В ПРИРОДЕ
Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
ТЕОРЕМА О ЧИСЛЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Пусть {p, q} – произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 – 360/р) или 180 (1 – 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство
где символ < означает «меньше чем». После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду
Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует.
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА
ИЗОБРАЖЕНИЯ
ТЕТРАЭДР
КУБ
Октаэдр
ИКОСАЭДР
ДОДЕКАЭДР
В данном материале педставлена презентация по геометрии "Многогранники" для учащихся 10-11 классов. Презентация посвящена различным многоранникам. В материале рассматриваются различные виды многоранников, их свойства, а также теорема о числе правильных многоранников.В презентацию включена историческая справка.Данный матерал позволяет расширить представления учащихся об окружающем мире с точки зрения терии правильных многогранников. Данная презентация может быть использована и в 9 классе как урок пропедевтика для изучения курса стереометрии в 10-11 классах.
Профессия: Учитель математики в начальной школе
В каталоге 6 510 курсов по разным направлениям
