• 

  1 слайд

  АЛГЕБРА ЛОГИКИ
  Алгебра высказываний
  

• 

  2 слайд

  (от греческого logos – слово, понятие, рассуждение, разум) или: формальная логика, - наука о законах и операциях правильного мышления.
  это раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способ установления их истинности с помощью алгебраических методов
  
  ЛОГИКА
  

• 

  3 слайд

  Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия). Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.
  XIX век – алгебра высказываний. Основатель алгебры логики – математик Джордж Буль.
  
  ЛОГИКА
  

• 

  4 слайд

  Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать истинно оно или ложно.
  В алгебре высказываний суждениям (высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные (заглавные буквы латинского алфавита)
  А = 2 х 2 = 4=1 (истинно)
  В = 2 х 2 =10 = 0 (ложно)
  
  

• 

  5 слайд

  Не всякое предложение является высказыванием. Например, предложение «Ученик 11 класса» - высказыванием не является, так как ничего не утверждает об ученике. Нужны какие-то дополнительные сведения.
  Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, так как говорить о их истинности или ложности не смысла.
  
  

• 

  6 слайд

  ВЫСКАЗЫВАНИЯ
  Элементарные (простые)
  А = «Аристотель основоположник логики» = 1
  В = «На яблонях растут бананы» = 0
  Составные (сложные)
  образованные из других высказываний с помощью логических связок:
  И, ИЛИ, НЕ,
  ЕСЛИ … ТО,
  ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА
  

• 

  7 слайд

  Истинность и ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний
  
  Так, А = 1, В = 0, то А и В = 0
  

• 

  8 слайд

  Основные операции
  алгебры высказываний
  Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.
  

• 

  9 слайд

  Логическое отрицание
  инверсия – это операция выраженная связкой «НЕ»
  с латинского – inversio – переворачиваю
  А (А, not)
  Высказывание А истинно, когда А – ложно , и ложно, когда А - истинно
  Таблица истинности – таблица, которая показывает какие значения принимает составное высказывание при всех наборах значений, входящих в него простых высказываний.
  

• 

  10 слайд

  Таблица истинности логического отрицания
  А = «Луна – спутник Земли»
  1
  0
  

• 

  11 слайд

  Логическое умножение
  конъюнкция – это операция выраженная связкой «И»
  с латинского – conjunctio – связываю
  А^B (&, *, and)
  Высказывание А^B истинно, тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны
  

• 

  12 слайд

  Таблица истинности логического умножения
  1
  0
  0
  0
  10 не : 2 и 5 не > 3
  10 : 2 и 5 не > 3
  10 не : 2 и 5 > 3
  10 : 2 и 5 > 3
  

• 

  13 слайд

  Логическое сложение
  дизъюнкция – это операция выраженная связкой «ИЛИ»
  с латинского – dizjunctio – различаю
  АVB (+, or)
  Высказывание АvB ложно, тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны
  

• 

  14 слайд

  Таблица истинности логического сложения
  1
  0
  1
  1
  10 не : 2 или 5 не > 3
  10 : 2 или 5 не > 3
  10 не : 2 или 5 > 3
  10 : 2 или 5 > 3
  

• 

  15 слайд

  Операция импликация
  – это операция выраженная связкой «ЕСЛИ … ТО»
  с латинского – implicatio – тесно связываю
  «Если выглянет солнце, то станет тепло»
  А B ( , логическое следование)
  Высказывание А B ложно, тогда и только тогда, когда А - истинно, В – ложно (А = 1, В = 0)
  

• 

  16 слайд

  Таблица истинности импликации
  1
  1
  0
  1
  

• 

  17 слайд

  Пример: Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания?
  Даны два элементарных высказывания:
  А = «Данный четырехугольник – квадрат»
  В = «Около данного четырехугольника можно описать окружность»
  Рассмотрим составное высказывание А-> В, понимаемое как «если данный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность».
  Есть три варианта, когда высказывание истинно:
  1. А=1, В=1- «Данный четырехугольник квадрат и около него можно описать окружность»
  2. А-0, В=1 - «Данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность»
  3. А=0, В=0 - «Данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность»
  Ложен только один вариант: А=1, В=0 - «Данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность»
  
  
  

• 

  18 слайд

  Операция эквиваленция
  – это операция выраженная связкой
  «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА»
  с латинского – aequivalens – равноценное
  «Людоед голоден тогда, и только тогда когда он давно не ел»
  А ~ B ( , равнозначность)
  Высказывание А ~ B истинно, тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают
  

• 

  19 слайд

  Таблица истинности эквиваленции
  1
  1
  0
  0
  24 не : 6 ~ 24 : 3
  24 : 6 ~ 24 : 5
  21 : 6 ~ 21 : 3
  24 : 6 ~ 21 : 3
  

• 

  20 слайд

  Приоритет операций
  Действия в скобках
  Инверсия
  Конъюнкция
  Дизъюнкция
  Импликация
  Эквиваленция
  
  

• 

  21 слайд

  Импликацию можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:
  А В = А v В
  
  0
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  

• 

  22 слайд

  Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
  А ~ В = (А v В) ^ (В v А)
  
  0
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  0
  1
  0
  1
  1
  0
  0
  1
  1
  0
  0
  1
  1
  

• 

  23 слайд

  Высказывания, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными и обозначаются =
  Пусть имеются простые высказывания А и В. Доказать, что составное высказывание А ^ В равносильно составному высказыванию А v В.
  Докажите, что:
  а) А ^ В = А v В
  б) А ~ В = (А ^ В) v (А ^ В)
  
  

• 

  24 слайд

  Логическая формула
  С помощью логических переменных и символов любое высказывание можно формализовать, то есть заменить формулой. Результат вычисления логической формулы есть истина или ложь.
  Определение логической формулы:
  1. Всякая логическая переменная и символы «истина» и «ложь» - формулы.
  2. Если А и В формулы, то А, А ^ В, А v В, А В, А ~ В формулы!
  
  

• 

  25 слайд

  Тождественно – истинные формулы
  Формулы, которые принимают значение «истина» при любых значениях истинности, входящих в них переменных, называются тождественно – истинными или тавтологиями.
  Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.
  А v А = «этот треугольник прямоугольный или косоугольный» = 1 и тогда, когда треугольник прямоугольный и тогда, когда треугольник непрямоугольный.
  
  

• 

  26 слайд

  Тождественно – ложные формулы
  Формулы, которые принимают значение «ложь» при любых значениях истинности, входящих в них переменных, называются тождественно – ложными или противоречиями.
  Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.
  А ^ А = «Катя – самая высокая девочка в классе и в классе есть девочки выше Кати» = 0 очевидно, что А или А – ложно.
  
  

• 

  27 слайд

  Указанные операции хорошо иллюстрируются с помощью диаграмм Эйлера - Вейна.
  А
  А
  В
  отрицание
  конъюнкция
  А
  В
  дизъюнкция
  А ^ В
  А v В
  

• 

  28 слайд

  Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно – истинными или тождественно – ложными.
  
  ((А v В) В) ^ (А v В)
  А ^ (В ^ (А v В))
  ((С v В) В) ^ ( А ^ В) В
  

Краткое описание материала