• 

  1 слайд

  Сергеенкова ИМ - 1191
  Автор: Сергеенкова И.М.,
  учитель информатики.
  ГБОУ Школа № 1191
  Г. Москва
  Решение логических задач
  
  при подготовке к ЕГЭ
  

• 

  2 слайд

  Для логических величин обычно используются три операции:
  
  Конъюнкция – логическое умножение (И) –and, &, ∧.
  
  Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) –or, |, v.
  
  Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.
  Что нужно знать для решения задач:
  4. Импликация - логическое следование А В
  
  5. Эквивалентность  - логическое равенство А В
  Дополнительные логические операции:
  

• 

  3 слайд

  Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики:
  
  Законы рефлексивности
  a ∨ a = a
  a ∧ a = a
  
  Законы коммутативности
  a ∨ b = b ∨ a
  a ∧ b = b ∧ a
  
  Законы ассоциативности
  (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)
  (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
  
  

• 

  4 слайд

  Законы дистрибутивности
  a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
  a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
  
  Закон отрицания отрицания
  ¬ (¬ a) = a
  
  Законы де Моргана
  ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b
  ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b
  
  Законы поглощения
  a ∨ (a ∧ b) = a
  a ∧ (a ∨ b) = a
  
  
  

• 

  5 слайд

  Таблицы истинности
  
  Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний.
  
  Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).
  

• 

  6 слайд

  Дизъюнкция
  Конъюнкция
  Инверсия
  Импликация
  Эквивалентность
  

• 

  7 слайд

  Сергеенкова ИМ - 1191
  Задание 1.
  Сколько различных решений имеет уравнение
  (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) = 1,
  где K, L, M, N – логические переменные?
  Решение задачи № 1
  
  Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания (K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N).
  Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1.
  При найденных значениях L и M первое высказывание, (K v L v M), истинно, если K = 1.
  
  Ответ: уравнение имеет только одно решение.
  

• 

  8 слайд

  Сергеенкова ИМ - 1191
  Задание 2.
  
  
  Сколько различных решений имеет уравнение
  
  (K ^ L) v (M ^ N) = 1,
  
  где K, L, M, N – логические переменные?
  

• 

  9 слайд

  Сергеенкова ИМ - 1191
  Решение задачи № 2
  
  Высказывание (K ^ L) v (M ^ N) истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний (K ^ L), (M ^ N).
  Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1, а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).
  Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения.
  Ответ: таким образом, уравнение имеет 7 решений.
  

• 

  10 слайд

  Сергеенкова ИМ - 1191
  Задание 3.
  
  Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение
  
  (K -> M) v (L ^ K) v ¬N
  ложно.
  Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1.
  

• 

  11 слайд

  Сергеенкова ИМ - 1191
  Решение задачи 3.
  
  Высказывание (K -> M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания
  K -> M,
  L ^ K,
  ¬N.
  Первое из этих высказываний, K -> M, ложно, если
  K = 1, M = 0.
  Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно,
  если L = 0.
  Третье из этих высказываний, ¬N, ложно, если N = 1.
  Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001.
  Ответ: 1001.
  

• 

  12 слайд

  Задача 4
  
  Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
  
  (x1->x2) / (x2->x3) / (x3->x4) / (x4->x5 )  = 1
  (y1->y2) / (y2->y3) / (y3->y4) / (y4->y5 )  = 1
  x1/y1 =1
  
  В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств.
  В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
  Решение. 
  

• 

  13 слайд

  Решение задачи 4
  
  Первое уравнение означает, что если x[i]=1, то для всех k>=i выполнено x[k]  = 1 . Поэтому первое уравнение имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.):
  00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111
  Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.):
  00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111
  Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111.
  Ответ: 11
  

• 

  14 слайд

  Замечание к задаче 4.
  
   На первый раз выпишем все решения явно:
  
  {11111, 00000}; {11111, 00001};  {11111, 00011};  {11111, 00111};  {11111, 01111};
  {11111, 11111}
  
  {00000, 11111};  {00001, 11111};  {00011, 11111};  {00111, 11111}; {01111, 11111};
  {11111, 11111}
  
  Написано 12 пар, но решений — 11.  
  Выделенная жирным пара  {11111, 11111} написана 2 раза!
  

• 

  15 слайд

   Пример 5. 
  
  Упростить выражения  
  
  
  так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.
     
  Решение:
  
  

• 

  16 слайд

  Задание 6
  Для ка­ко­го из ука­зан­ных зна­че­ний X ис­тин­но вы­ска­зы­ва­ние
  ¬ ((X>2) → (X>3))?
   
  1) 1
  2) 2
  3) 3
  4) 4
  Решение:
  Вы­ска­зы­ва­ние ис­тин­но, если вы­ра­же­ние в скоб­ках ложно. Им­пли­ка­ция ложна тогда и толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­тин­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка ис­тин­на в ва­ри­ан­тах 3 и 4, од­на­ко ва­ри­ант 4 не под­хо­дит, так как в таком слу­чае след­ствие ис­тин­но.
  Сле­до­ва­тель­но ответ 3.
  

• 

  17 слайд

  Задание 7
  Для ка­ко­го из на­зва­ний жи­вот­ных ложно вы­ска­зы­ва­ние: 
  (За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Чет­вер­тая буква со­глас­ная)?
   
  1) Стра­ус
  2) Лео­пард
  3) Вер­блюд
  4) Кен­гу­ру
  Решение:
  В первую оче­редь вы­пол­ня­ет­ся ло­ги­че­ское "И".
  Им­пли­ка­ция ложна толь­ко тогда, когда по­сыл­ка ис­ти­на, а след­ствие ложно. По­сыл­ка {(За­кан­чи­ва­ет­ся на со­глас­ную букву) Λ (B слове 6 букв)} ис­ти­на для ва­ри­ан­та один, а след­ствие {(Чет­вер­тая буква со­глас­ная)} для него ложно.
  Сле­до­ва­тель­но, ответ 1.
  
  

• 

  18 слайд

  Задание 8
  Какое ло­ги­че­ское вы­ра­же­ние рав­но­силь­но вы­ра­же­нию
  ¬ (А \/ ¬B)? 
  
  1) A \/ B
  2) A /\ B
  3) ¬A \/ ¬B
  4) ¬A /\ B
  
  
  
  Решение:
  
  ¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B.
   
  Пра­виль­ный ответ 4.
  
  

• 

  19 слайд

  Задание 9
  
  На чис­ло­вой пря­мой даны два от­рез­ка:
  P = [2, 10] и Q = [6, 14].
  Вы­бе­ри­те такой от­ре­зок A, что фор­му­ла 
  ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)
  тож­де­ствен­но ис­тин­на, то есть при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 при любом зна­че­нии пе­ре­мен­ной х.
   
  1) [0, 3]
  2) [3, 11]
  3) [11, 15]
  4) [15, 17]
  
  

• 

  20 слайд

  Решение задачи 9
  Вве­дем обо­зна­че­ния:
  (x ∈ А) ≡ A;
  (x ∈ P) ≡ P;
  (x ∈ Q) ≡ Q.
  При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем:
  ¬A∨P∨Q.
  
  Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние.
  Вы­ра­же­ние P ∨ Q ис­тин­но на от­рез­ке [2; 14]. По­сколь­ку все вы­ра­же­ние долж­но быть ис­тин­но для лю­бо­го x, вы­ра­же­ние ¬A долж­но быть ис­тин­но на мно­же­стве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким об­ра­зом, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но толь­ко внут­ри от­рез­ка [2;14].
  Из всех от­рез­ков толь­ко от­ре­зок [3; 11] пол­но­стью лежит внут­ри от­рез­ка [2; 14].
  Ответ: 2
  

• 

  21 слайд

  Источники информации:
  
  http://2krota.ru/uploads/posts/2011-12/ZnaeteliVifakt-0020.jpg
  http://www.inf1.info/image/logic-computer/logic
  http://2012.ege-go.ru/zadania/grb/b15/b15-answ/#B15.1
  http://infolike.narod.ru/logic.html
  http://www.ido.rudn.ru/nfpk/inf/inf7.html
  http://inf.reshuege.ru/test?theme=233
  
  
  
  
  
  

Краткое описание материала