Презентация по математике "Циклоида"

Исследовательская работа по математике «Эта интересная кривая - циклоида» Выполнил: ученик 6-А класса Поляев Дмитрий Руководитель: учитель математики Акмулина И.А. 2013 г.

Познакомиться с основным свойствами кривой второго порядка – циклоидой и ее проявлениями в жизни

Изучить методическую литературу по теме исследования Пополнить знания о разновидностях циклоиды и их свойствах Узнать о значении и применении циклоиды в жизни, окружающем мире и быту

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг, прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую, называемую циклоидой. Определяется она как кривая, которую описывает точка обода колеса, катящегося без проскальзывания по прямой линии.

обычная

удлиненная

укороченная

Древние ученые не знали циклоиду, но они знали и успешно пользовались ее близкой родственницей – эпициклоидой.

Если радиус неподвижной окружности равен радиусу подвижной, то эпициклоиду называют кардиоидой (по-гречески означает«сердцевидная»).

гипоциклоида Если радиус неподвижной окружности в 4 раза больше радиуса подвижной, то эта гипоциклоида называется астроидой

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей. Он же и придумал название «циклоида» («напоминающая о круге»)

Блез Паскаль писал о циклоиде: «Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса».

1. Циклоида – периодическая кривая. Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке. Нормаль — это прямая, перпендикулярная касательной прямой к некоторой кривой.

Обратим внимание на положение касательной к циклоиде. Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгивать спину велосипедиста.

3. Изохронность

4. Брахистохронное свойство

Время наименьшего спуска у шарика, двигающегося по циклоидальному желобу. Это впервые установили швейцарские математики братья БЕРНУЛЛИ (в 1696 году) точным расчетом. Доказательства Бернулли послужили толчком для развития новой отрасли математики - вариационного исчисления.

Если мы заставим первую монету катиться по второй так, чтобы она прошла ровно половину окружности (как указано стрелкой), мы можем ожидать, что, придя к точке, диаметрально противоположной первоначальной, монета перевернется вниз головой по сравнению с исходной позицией. Мы убеждены, что, пройдя половину окружности, монета должна повернуться на 180°. Если же мы проделаем эксперимент с реальной монетой, то убедимся, что она окажется снова в исходном положении — будто бы она прошла полную окружность, а не ее половину.

Если мы заставим первую монету катиться по второй так, чтобы она прошла ровно половину окружности (как указано стрелкой), мы можем ожидать, что, придя к точке, диаметрально противоположной первоначальной, монета перевернется вниз головой по сравнению с исходной позицией. Мы убеждены, что, пройдя половину окружности, монета должна повернуться на 180°. Если же мы проделаем эксперимент с реальной монетой, то убедимся, что она окажется снова в исходном положении — будто бы она прошла полную окружность, а не ее половину.