Презентация по математике для студентов 1 курса "ЛОГАРИФМЫ"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  ЛОГАРИФМЫ
  Пособие для студентов 1 курса
  Составитель пособия С.А.Дроздова
  Колледж строительства и экономики АИСИ
  2014 год
  г.Астрахань
  
  

• 

  2 слайд

  Что такое логарифм?
  Как решать логарифмы?
  Эти вопросы многих студентов вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Это абсолютно не так. Ты в этом убедишься с помощью этого пособия.
  

• 

  3 слайд

  Для начала реши в уме вот такое уравнение:
  
  3x = 9
  
  Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если тебя пугает даже название «показательные уравнения», то просто подбери х, чтобы равенство сработало.
  Ну конечно же х=2
  Всё просто: 32 = 9
  !Три в квадрате - это девять!
  

• 

  4 слайд

  Закрепим результат и решим ещё одно показательное уравнение
  3x = 27
  Получилось? Без сомнения!
  Ответ: х=3, так как 33 = 27
  !три в кубе равно двадцати семи!
  
  

• 

  5 слайд

  А теперь реши почти то же самое:
  3x = 8
  
  
  Что, что-то не так?
  Ответ, что «нету такого икса», не принимается! ОН ЕСТЬ!
  Согласись, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, также и с числом 27, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем одни числа лучше других?! Да ничем! Никакой дискриминации! Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….
  

• 

  6 слайд

  3x = 8
  Можно, конечно, прикинуть, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число…
  …или решить…графически
  «Вот ещё!» - скажешь ты, не «царское это дело», да и так возиться каждый раз....
  Ты прав, математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?
  

• 

  7 слайд

  вернёмся к примеру
  3x = 8
  х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8.
  Прочитай фразу ещё и ещё раз. Это важно.
  Вот это число и называется логарифмом восьми по основанию три.
  Записывается это вот как: х = log38
  Читаем это: "икс равен логарифму восьми по основанию три".
  Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу.
  Это и есть ответ!
  
  Мы решили загадочное показательное уравнение 3x = 8!
  Ответ: х = log38 .
  И ничего не надо «прикидывать» и считать!
  
  
  

• 

  8 слайд

  Как решить пример
  5x = 12 ?
  Легко! х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12.
  В математической записи:
  х = log512
  
  Пример решён!
  

• 

  9 слайд

  Ещё пример 2x =135 ?
  Элементарно!
  х = log2135
  А ещё один 19x = 0,352 ?
  Не вопрос!
  х = log190,352
  Здорово, правда? И ничего считать не надо.
  

• 

  10 слайд

  Ну так вот, на вопрос
  «чему равен х в уравнении 3x = 8?»
  мы теперь смело отвечаем: «х равен числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8!».
  Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:
  х = log38
  и точка!
  
  

• 

  11 слайд

  Догадываюсь, что тебя смущает то, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? (log38 !!!) В математике придумано много странных вещей. Среди них и «логарифмы».
  Пусть тебя не смущают эти значки: логарифмы –это обыкновенные числа, которые записываются не привычными цифрами, а странным, зашифрованным способом.
  
  

• 

  12 слайд

  Ну ладно, специально для тебя: инженерный калькулятор показывает это конкретное число: х = log38 = 1,892789260714.....
  Легче стало? Учти ещё, что это число бесконечно. Иррациональное оно... И записать его можно только приблизительно. Вот так-то!
  Запись числа с помощью логарифма удобнее, короче, а главное – точное! Не то, что бесконечные страшные лохматые числа. А кому надо числовой ответ - посчитает на калькуляторе. Нам то с тобой – не надо…
  Как же расшифровать это число
  log38
  и записать в привычном виде цифрами?
  

• 

  13 слайд

  Но есть логарифмы, которые считаются и без калькулятора, например, х = log24
  Переведём с математического на русский: log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4.
  Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?
  Да! В квадрат(двойку) надо возвести!
  Вот и ответ: log24 = 2
  
  

• 

  14 слайд

  А log327 чему равен?
  В какую степень надо возвести 3, чтоб получить 27?
  Правильно, в третью!
  Ответ: log327 = 3
  Дошло? Закрепим успех! Решаем примеры:
  log381 =
  log416 =
  log55 =
  log6216 =
  Ответы (в беспорядке, разумеется!): 2; 1; 3; 4.
  Что, тяжело сообразить, в какую степень надо возвести шестёрку, чтоб 216 получить? Ну, друг, таблицу умножения знать надо! Надо… и не только здесь.
  
  

• 

  15 слайд

  Поздравляю! Мы только что решали логарифмы!
  Вот мы и познакомились с логарифмами и вовсе они и не страшные, но…
  есть кое-какие детали и мы о них узнаем прямо сейчас
  

• 

  16 слайд

  Запишем логарифм в общем виде, т.е. через буквы:
  c = logab
  или, что то же самое: logab = c
  Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.
  Прикинем, любым ли числом может быть а?
  Если, к примеру, а = 1?
  В какую же степень надо возвести единицу, чтобы получить… b?
  Верно! В любую! Как ни крути и b тоже будет единицей! 1с =1
  !единица в любой степени – единица!
  Как-то оно не очень...И даже не интересно… Как не меняй с,а а и b единичками останутся...
  Тогда так: вводим ограничение a ≠ 1 !!!
  
  

• 

  17 слайд

  А если а = 0?
  Такая же история!
  0с =0
  Не интересно видеть и ноль в основании!
  А отрицательные числа и вовсе - капризные. В одну степень их можно возводить, в другую нельзя... Вот и поступили с ними, как со всеми капризными – вовсе исключили из рассмотрения.
  logab = c
  

• 

  18 слайд

  Что же получается?
  а > 0;   a ≠ 1
  А вот если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:
  b > 0.
  Вот такие ограничения. Только на а и b! А вот с может получиться абсолютно любым числом. При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Они понадобятся при решении логарифмических уравнений и неравенств.
  logab = c
  

• 

  19 слайд

  Официальное определение логарифма числа выглядит так: ВНИМАНИЕ!!!
  Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.
  Напомню, так, на всякий случай: логарифм числа b по основанию a обозначается logab
  Определение логарифма
  

• 

  20 слайд

  Тебе вовсе не помешает знать, что это такое.
  В математике два основания употребляются очень часто. Это основание 10 и основание е.
  Число е.
  е = 2,71828182845.....Иррациональное число. Сплошь и рядом попадается в высшей математике. Само попадается, его не придумали. Почему попадается – да кто его знает...
  Логарифмы по этим основаниям пишут покороче:
  log10b = lgb
  !Основание 10 не пишется и буква "о" пропадает!
  Такие логарифмы называются десятичными.
  logeb = lnb
  Логарифмы по основанию "е" называются натуральными. Что уж тут натурального…
  Эти логарифмы ничем не отличаются от всех остальных! Ни по определению, ни по свойствам! Решение этих логарифмов ничем не отличается от решения обычных!
  
  Десятичные и натуральные логарифмы
  

• 

  21 слайд

  Нелишне будет познакомиться с такими логарифмами поближе:
  Десятичный логарифм единицы равен… равен…
  В какую степень надо возвести 10 чтобы получить 1??? Правильно! В нулевую!
  Я думаю, пара-тройка примеров закрепит наш успех:
  Почему? Да пожалуйста!
  Ну? В какую степень надо возвести десятку, чтобы получить 1000?
  Ну конечно же в третью!!!
  

• 

  22 слайд

  И контрольный «выстрел»:
  Да поможет тебе таблица умножения!
  В какую степень надо возвести десятку, чтобы получить одну сотую?
  Что-то тебе подсказывает ( скорее всего, таблица умножения), что чтобы получить 100, то десятку надо возвести во вторую степень
  А чтобы получить одну сотую, то… то… Ну конечно же в минус вторую!!!
  Аналогично:
  Ну вот. Теперь ты всё знаешь. Пора переходить к более серьёзным логарифмам.
  

• 

  23 слайд

  Выражение «решение логарифмов» подразумевает не только их вычисления, но и преобразования. Естественно, по определённым правилам. И они называются
  Свойства логарифмов
  

• 

  24 слайд

  logab = c
  Мы уже знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим число b. Это из самого определения логарифма следует. Значит, можно записать так:
  ac = b
  А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:
  с = logаb
  Подставим это в предыдущую формулу, и получим:
  

• 

  25 слайд

  Это супер-свойство!
  Благодаря ему «многоэтажное» выражение, стоящее слева от знака равенства превращается… превращается… в b!
  Это свойство называют ещё определением логарифма
  Оно же «основное логарифмическое тождество»
  Всё просто!
  

• 

  26 слайд

  Чему равняется выражение:
  logа1 = ?
  Ну в какую степень надо возвести а, чтобы получить 1?
  Таблица умножения подкачала? Нет?
  !Любое число в нулевой степени равно 1! Да, в нулевую! Вот и пишем:
  logа1 = 0
  Следующее свойство уже не требует разъяснений:
  logаа = 1
  Оставшиеся свойства логарифмов выводить не будем, я их приведу сразу в комплекте. Этот комплект надо знать! Это основа для решения логарифмов.
  Ну так, на всякий случай:
  а1 =а
  

• 

  27 слайд

  a
  a
  log
  =
  1
  b
  a
  log
  +
  с
  a
  log
  =
  с
  a
  log
  b
  b
  a
  log
  a
  =
  b
  b
  a
  a
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  b
  c
  log
  a
  c
  log
  a
  log
  b
  =
  a
  b
  log
  a
  log
  b
  b
  b
  log
  1
  b
  a
  log
  a
  b
  log
  =
  1
  b
  a
  log
  –
  с
  a
  log
  =
  с
  a
  log
  b
  =
  b
  r
  a
  log
  r
  1
  r
  b
  a
  log
  =
  

• 

  28 слайд

  Вот и весь набор, решать-то как? Открываю тайну. Все задания на упрощение выражений с логарифмами решаются применением этих формул (всего то, а ты что подумал?!). Попробуем, что-нибудь простенькое?
  log142 + log147 = ?
  По отдельности оба логарифма ровно не считаются. Смотрим на формулы - свойства и выбираем подходящую. Это первая во втором столбце формула.
  log142 + log147 = log14(2·7) = log1414 = 1
  

• 

  29 слайд

  Найди значение выражения
  Вот как то так.
  Далее даны практические советы по решению логарифмов
  Во всех примерах только одна цель
  Дерзай!
  

• 

  30 слайд

  7
  7
  log
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  
  
  a
  a
  log
  =
  1
  r
  b
  a
  log
  Запомни!
  a
  a
  log
  =
  1
  4
  4
  log
  6
  6
  log
  1
  1
  1
  

• 

  31 слайд

  
  
  
  b
  a
  log
  a
  =
  b
  b
  a
  a
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  r
  b
  a
  log
  Запомни!
  2
  3
  

• 

  32 слайд

  
  
  b
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  1
  r
  a
  log
  Запомни!
  =
  n
  a
  ÷
  ø
  ö
  ç
  è
  æ
  1
  n
  a
  –
  r
  1
  r
  b
  a
  log
  =
  1
  4
  

• 

  33 слайд

  
  b
  r
  a
  log
  Запомни!
  r
  1
  r
  b
  a
  log
  =
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  1
  
  r
  b
  a
  log
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  5
  

• 

  34 слайд

  
  
  =
  
  
  b
  a
  log
  –
  с
  a
  log
  =
  с
  a
  log
  b
  b
  c
  log
  a
  c
  log
  a
  log
  b
  6
  7
  

• 

  35 слайд

  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  1
  
  
  a
  a
  log
  =
  1
  1
  1
  8
  

• 

  36 слайд

  
  
  b
  a
  log
  a
  b
  log
  =
  1
  1
  
  b
  r
  a
  log
  r
  1
  r
  b
  a
  log
  =
  9
  10
  

• 

  37 слайд

  
  
  an : am = an-m
  
  
  b
  a
  log
  –
  с
  a
  log
  =
  с
  a
  log
  b
  
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  1
  11
  

• 

  38 слайд

  12
  
  
  a
  a
  log
  =
  1
  
  
  b
  a
  log
  –
  с
  a
  log
  =
  с
  a
  log
  b
  
  r
  b
  a
  log
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  
  
  b
  a
  log
  a
  b
  log
  =
  1
  1
  

• 

  39 слайд

  13
  
  
  a
  a
  log
  =
  1
  
  r
  b
  a
  log
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  1
  
  
  n
  m
  n
  m
  a
  a
  =
  1
  
  b
  r
  a
  log
  r
  1
  r
  b
  a
  log
  =
  1
  14
  

• 

  40 слайд

  15
  
  
  b
  a
  log
  +
  с
  a
  log
  =
  с
  a
  log
  b
  

• 

  41 слайд

  16
  1
  
  
  =
  b
  c
  log
  a
  c
  log
  a
  log
  b
  
  r
  b
  a
  log
  
  r
  b
  a
  log
  =
  r
  b
  a
  log
  

• 

  42 слайд

  
  
  =
  a
  b
  log
  a
  log
  b
  17
  b
  b
  log
  1
  
  
  =
  b
  c
  log
  a
  c
  log
  a
  log
  b
  1
  

• 

  43 слайд

  18
  19
  20
  

• 

  44 слайд

  18
  19
  20
  2
  

• 

  45 слайд

  Думаю, что теперь решение логарифмов - не самое слабое твоё место!
  Не за горами экзамен по математике…
  У тебя ВСЁ получится!
  ТЕРПЕНЬЕ И ТРУД ВСЁ ПЕРЕТРУТ :-)
  

• 

  46 слайд

  http://www.egesdam.ru/page280.php
  
  и материалы сайта
  При составлении пособия использованы
  презентация Савченко Е.М.
  « Свойства логарифмов. Готовимся к ЕГЭ»
  

• 

  47 слайд

  Свойства
  логарифмов
  Савченко Е.М., учитель математики,
  МОУ гимназия № , г. Полярные Зори, Мурманской обл.
  Готовимся к ЕГЭ