Презентация по математике на тему "Занимательные задачи в арифметике Л.Ф. Магницкого"

«Занимательные задачи в «Арифметике» Л.Ф.Магницкого» (занятие математического кружка в 5. 6 классах)

На уроках, занятиях кружка, при подготовке к олимпиаде по математике, к игре «Кенгуру» нам часто приходилось решать старинные задачи или задачи со старинным содержанием. В «Арифметике» Л.Ф.Магницкого много таких задач. Все задачи можно разделить на 6 разделов: 1. Житейские истории. 2.Путешествия. 3.Денежные расчеты. 4.Угадывания предметов. 5.Любопытные свойства чисел. 6.Старинный способ решения задач на смешение веществ. Задач много. Их можно решать разными способами: и арифметическим и алгебраическим. В самой «Арифметике» приводятся очень оригинальные решения. Многие задачи в современных книгах на смекалку по содержанию похожи на те, которые есть у Магницкого. Надеюсь, что эта работа поможет учителю в работе с младшими ребятами.

Разработано учителем математики высшей категории МБОУ «СОШ№1»г. Владимира Садовниковой Надеждой Вячеславовной

Житейские истории. 1.Бочонок кваса. Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена выпивает такой же бочонок кваса. Решение 1. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена выпьет 14-10=4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за 140:4-35 дней. Ответ: за 35 дней. Решение 2. Человек за 1день выпивает 1/14 часть бочонка. Пусть его жена выпьет этот бочонок за х дней. Тогда за 1день она выпьет 1/х часть бочонка. Зная, что за 10 дней они вместе выпивают бочонок, составим уравнение: 10(1/14 + 1/х) = 1 10(х + 14) = 1 14х 10х + 140 = 14х 4х = 140 х = 35 Ответ: 35 дней.

2. В жаркий день. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса. Решение. Поскольку за 8 часов 6 человек выпивают бочонок кваса, то за 1 час такой же бочонок кваса выпьют 48 человек, а тогда за 3 часа этот бочонок кваса выпьют 16 человек. Ответ: 16 человек. Задачи из современных книг на смекалку. 1.3 землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов? 2.Мать убирает квартиру за 2 часа, а дочь – за 4 часа. За сколько часов они обе могут убрать эту квартиру?

3. Собака и заяц. Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака - за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца? Решение 1. За 1 минуту заяц пробегает 250 саженей, а собака 260 саженей. Следовательно, за 1 минуту расстояние между собакой и зайцем уменьшиться на 10 саженей. Собака догонит зайца через 150:10=15 минут Ответ: через 15 минут. Решение 2. Заяц: за 2 мин – 500 саженей, значит за 1мин – 250 саженей. Собака: за 5 мин – 1300 саженей, значит за 1 мин – 260 саженей. Пусть собака догонит зайца за х мин.тогда за это время заяц пробежит 250х саженей. Зная, что между ними 150 саженей, составим уравнение: 260х – 250х = 150 10х = 150 х = 15 Ответ: через 15 минут. Эта задача в современной формулировке: Между лисой и зайцем 10 метров. Когда лиса поймает зайца, если она бежит со скоростью 8 м/с, а он – со скоростью 7 м/с?

О правилах «фальшивых» и «гадательных». 1. Найди число. Найди число такое, что если к нему добавить его третью часть и от полученной суммы отнять ее шестую часть, то будет 100. Такие задачи есть в наших учебниках алгебры в теме «Решение задач с помощью уравнений». Много подобных задач мы решаем на кружке. Мы предлагаем решить задачу и алгебраическим и арифметическим способом. Решение. По правилу, которое носило название «фальшивое», или « гадательное», эту задачу следует решать так: 1. Предположим, что неизвестное число есть 144. Проделав с ним описанные в задаче операции, получим 1/3 * 144 = 48, 144 + 48 = 192, 1/6 * 192 = 32, 192 – 32 = 160. Так как получилось не 100, то не угадали. 2 Предположим теперь, что неизвестное число есть108. Имеем последовательно: 1/3 * 108 = 36, 108 + 36 = 144, 1/6 * 144 = 24, 144 – 24 = 120. Опять не угадали.

Оказывается, что по результатам двух неверных попыток можно найти искомое число. Это делается следующим образом. Вычисляем, насколько мы ошиблись: В первом случае Во втором случае 160 -100 = 60 120 – 100 = 20. Затем рисуем таблицу: 144 60 108 20

Перемножим числа, стоящие накрест: 108 * 60 = 6480, 144 * 20 = 2880. Разность произведений (6480 – 2880 = 3600) разделим на разность ошибок (60 – 20 = 40) : 3600 : 40 = 90. Полученное число и дает ответ к задаче, т. е. искомое число равно 90. Правилен ли этот ответ? Числа 144 и 108 мы взяли наугад, но оба раза результат вычислений оказался больше, чем 100. Правило гласит, что так же нужно поступать и в случае, если оба результата окажутся меньше данного числа. Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей. Решение1. Ответ найден верно. 1/3 * 90 = 30 90 + 30 = 120, 120 * 1/6 =20, 120 – 20 = 100. Решение2. Пусть х – искомое число. Тогда (х + 1/3х) – 1/6(х + 1/3х) = 100 х + 1/3х – 1/6х – 1/18х = 100 18х + 6х – 3х – х = 100 18 20х = 1800 х = 90 Проверка: (90 + 30) – 20 = 100 (верно!)

2. Ответ учителя. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько учеников в классе? Решение с помощью «фальшивого» правила. Предположим, что в классе было 24 ученика. Если еще придет столько же учеников и затем полстолько, затем четверть столько и еще один ученик, то всего получится 24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учеников. Не угадали. Если предположить. Что в классе 32 ученика, то, проделав такие же выкладки, получим 32 + 32 +16 + 8 + 1 = 89 учеников. Опять не угадали. Действуя согласно «фальшивому» правилу, находим 24 33 100 – 67 = 33, 100 – 89 = 11, 24 * 11 = 264, 33 * 32 = 1056. 32 11 1056 – 264 = 792, 33 – 11 = 22. Следовательно, в классе было 792 : 22 = 36 учеников. Правилен ли этот ответ?

Решение1. Ответ найден верно. 36 + 36 + 1/2 * 36 + 1/4* 36 + 1 = 100. Эта задача встречается в старинных рукописях в различных формулировках: как задача «о стаде гусей», «о матросах на корабле», «о продаже гусей» и т.д. Приведем примеры еще 3 задач, которые тоже можно решить с помощью «фальшивого» правила, но эти же самые задачи можно решить и алгебраически. Решение2. Пусть х человек в классе. Тогда х + х + х/2 + х/4 + 1 = 100 8х + 2х + х = 99 4 11х = 396 х = 36 Ответ: 36человек.

Некоторые старинные задачи 1.Купил некто трех сукон 106 аршин, единого взял 12 – ю аршин больше перед другим, а другого 9 – ю дольше перед третьим, и ведательно есть, колико коего сукна взято было. (Из старинной книги «Арифметика» Л. Ф. Магницкого) Ответ: 1) 46 1/3 аршина; 2)34 1/3 аршина; 3) 25 1/3 аршина. 2.Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: «Аще придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и ¾, и 2/3, и убавится из всего 50 рублев, и тогда будет у меня 100 рублев, и ведательно есть, колико той человек имяше денег» (Магницкий) Ответ: 38 14/47 р.

3.Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (Магницкий) Ответ: за 35 дней. 4.Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся. (Магницкий) Ответ: 9 7/37 дня.

Заключение. В заключение надо отметить, что “Арифметика” Магницкого оказала несомненное влияние на те учебники арифметики XVIII столетия, которые в свое время пришли ей на смену, и справедливо можно сказать, что она послужила “связующим звеном между русской математической литературой XVIII столетия. Таким образом, мы видим, что задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого не устарели и сейчас. Они имеют большое практическое значение, т. к. взяты из жизни и связаны с конкретными жизненными ситуациями. Такое впечатление, что эти задачи придуманы только сейчас, а не 300 лет назад. Мы привыкли к этим задачам, постоянно их решаем, хотя раньше не знали, что они из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого. Данные задачи помогают развивать мышление, вызывают интерес к математике, учат приспосабливаться к жизни. .

Литература. 1. Л.Ф.Магницкий. Арифметика (выпуск 1 переиздания П.Баранова).1914 г. 2. А.П.Денисов. Леонтий Филиппович Магницкий. 1967 г. 3.Б.В.гнеденко. Очерки по истории математики. 2007 г. 4.А.П.Юшкевич. История математики в России до 1917 года. 1968 г. 5. Д.Д. Галанин. Леонтий Филиппович Магницкий и его Арифметика. Выпуск 1. 1914 г. 6. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост.А.П. Савин. М «Педагогика», 1985 г. 7. Е.И.Игнатьев. В царстве смекалки. М. АО «Столетие», 1994 г. 8.С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов. Старинные занимательные задачи. М. «Наука», 1988 г. 9.А.В.Спивак. Тысяча и одна задача по математике. М.»Просвещение». 2005 г