Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация по математике на тему «Тригонометрические уравнения и методы их решения» (10 класс)

Презентация по математике на тему «Тригонометрические уравнения и методы их решения» (10 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тригонометрические уравнения и методы их решений
Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком...
Содержание: Алгебраический метод Метод разложения на множители Метод вспомога...
Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как мето...
Пример. Решить уравнение: 2cos2x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin2x)-sinx+1=0 -2sin2...
Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение:  sinx - sin2x = 0  Ре...
Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение....
Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно  sin  и  co...
Пример.   Решить уравнение:  3sin2x + 4sinx · cosx + 5cos2x = 2. Решение.  3s...
Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригономе...
Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2)...
Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает...
Пример. Решить уравнение: sinx∙sin5x=1 sinx=1 x=∏/2+2∏m, m є Z sin5x=1 - ? si...
Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются форм...
Пример. Решить уравнение: sin4x+cos4x=½sin22x Решение. (sin2x)2+(cos2x)2=½sin...
Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения...
Пример. Решить уравнение: 6cos25x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos25x+5,1=5cosx...
Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются...
Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2.  Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2...
Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1...
Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в с...
Пример.  Решить уравнение: sinx∙sin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть...
Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья
1 из 23

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тригонометрические уравнения и методы их решений
Описание слайда:

Тригонометрические уравнения и методы их решений

№ слайда 2 Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком
Описание слайда:

Тригонометрические уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Рассмотрим десять основных методов решения  тригонометрических уравнений.

№ слайда 3 Содержание: Алгебраический метод Метод разложения на множители Метод вспомога
Описание слайда:

Содержание: Алгебраический метод Метод разложения на множители Метод вспомогательного угла Однородные уравнения Универсальная подстановка Метод оценки Метод понижения степени Метод сравнения множеств Переход к половинному углу Преобразование произведения в сумму

№ слайда 4 Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как мето
Описание слайда:

Алгебраический метод Этот метод нам хорошо известен из курса алгебры как метод замены переменной и подстановки.

№ слайда 5 Пример. Решить уравнение: 2cos2x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin2x)-sinx+1=0 -2sin2
Описание слайда:

Пример. Решить уравнение: 2cos2x-sinx+1=0 Решение. 2(1-sin2x)-sinx+1=0 -2sin2x-sinx+3=0 2sin2x+sinx-3=0 Пусть sinx=y, -1≤y≤1 2y2+y-3=0 y1=-1,5- не подходит по условию y2=1 Возвращаемся к старой переменной: sinx=1 x=∏/2+2∏k, k є Z

№ слайда 6 Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение:  sinx - sin2x = 0  Ре
Описание слайда:

Метод разложения на множители Пример. Решить уравнение:  sinx - sin2x = 0  Решение. sinx – 2sinx · cosx = 0 sinx(1- cosx) = 0 1. sinx=0 x=∏k, k є Z 2. 1-cosx=0 cosx=1 x=2∏n, n є Z Ответ: x=∏k, k є Z

№ слайда 7 Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение.
Описание слайда:

Метод вспомогательного угла Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=5 Решение. 32+42=25 √25=5 5(3sinx/5-4cosx/5)=5 3sinx/5-4cosx/5=1 Т.к. (3/5)2+(4/5)2=1, то 3/5=cosφ φ=arccos(3/5) 4/5=sinφ φ=arcsin(4/5) sinx∙cosφ-cosx∙sinφ=1 sin(x-φ)=1 x-φ= ∏/2+2∏k, k є Z x=∏/2+φ+2∏k, k є Z x=∏/2+arcsin(4/5)+2∏k, k є Z

№ слайда 8 Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно  sin  и  co
Описание слайда:

Однородные уравнения Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо: а)  перенести все его члены в левую часть; б)  вынести все общие множители за скобки; в)  приравнять все множители и скобки нулю; г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;  д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tg . 

№ слайда 9 Пример.   Решить уравнение:  3sin2x + 4sinx · cosx + 5cos2x = 2. Решение.  3s
Описание слайда:

Пример.   Решить уравнение:  3sin2x + 4sinx · cosx + 5cos2x = 2. Решение.  3sin2x + 4sinx · cosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x sin2x + 4sinx · cosx + 3cos2x = 0  tg2x + 4tgx + 3 = 0 , отсюда  y2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения: y1 = -1,  y2 = -3, отсюда 1) tg x = –1, x=-∏/4+∏k, k є Z 2) tg x = –3, x=-arctg3+∏n, n є Z

№ слайда 10 Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригономе
Описание слайда:

Универсальная подстановка Универсальная подстановка применяется для тригонометрических уравнений, содержащих 2 и более тригонометрические функции. Пусть tg(x/2)=t, тогда sinx=2t/(1+t2) (1) cosx=(1-t2)/(1+t2) (2) tgx=2t/(1-t2) В конце решения следует обязательно сделать проверку!

№ слайда 11 Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2)
Описание слайда:

Пример. Решить уравнение: 3sinx-4cosx=3 Решение. При помощи формул (1) и (2) произведем замену sinx и cosx и приведем выражение к общему знаменателю: (6t-4+4t2)/(1+t2)=3 Т.к. 1+t2>0, то 4t2+6t-4=3+3t2 t2+6t-7=0 t1=-7 t2=1 tg(x/2)=-7 x=2arctg(-7)+2∏k, k є Z tg(x/2)=1 x=∏/2+2∏n, n є Z

№ слайда 12 Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает
Описание слайда:

Метод оценки При решении некоторых тригонометрических уравнений иногда бывает полезно оценить значения тригонометрических функций, входящих в уравнение.

№ слайда 13 Пример. Решить уравнение: sinx∙sin5x=1 sinx=1 x=∏/2+2∏m, m є Z sin5x=1 - ? si
Описание слайда:

Пример. Решить уравнение: sinx∙sin5x=1 sinx=1 x=∏/2+2∏m, m є Z sin5x=1 - ? sin5(∏/2+2∏n)=1 sin(5∏/2+5∙2∏n)=1 sin(5∏/2)=1 sin(∏/2)=1 - верно Ответ:x= ∏/2+∏k, k є Z sinx=-1 x=-∏/2+2∏n, n є Z sin5x=-1 - ? sin5(-∏/2+2∏n)=-1 sin(-5∏/2+5∙2∏n)=-1 sin(-5∏/2)=-1 sin(-∏/2)=-1 - sin(∏/2)=-1 - верно

№ слайда 14 Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются форм
Описание слайда:

Метод понижения степени Для решения уравнений данным методом применяются формулы понижения степени: 2sin2x=1-cos2x 2cos2x=1+cos2x

№ слайда 15 Пример. Решить уравнение: sin4x+cos4x=½sin22x Решение. (sin2x)2+(cos2x)2=½sin
Описание слайда:

Пример. Решить уравнение: sin4x+cos4x=½sin22x Решение. (sin2x)2+(cos2x)2=½sin22x ¼(1-2cos2x+cos22x+1+2cos2x+cos22x)=½(1-cos22x) ½(2+2cos22x)=1-cos22x 1+cos22x= 1-cos22x 2cos22x=0 cos2x=0 2x=∏/2+∏k , k є Z x= ∏/4+∏k/2 , k є Z

№ слайда 16 Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения
Описание слайда:

Метод сравнения множеств Уравнения вида f(x)=φ(x) решаются методом сравнения множеств. Если Е(f) ∩ E(φ) – пустое множество, то уравнение не имеет решений Если Е(f) ∩ E(φ) состоит только из одной общей точки, то уравнение решается системой 2-х уравнений, левые части которых равны f и φ, а правые части равны значению общей точки.

№ слайда 17 Пример. Решить уравнение: 6cos25x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos25x+5,1=5cosx
Описание слайда:

Пример. Решить уравнение: 6cos25x-5cosx+5,1=0 (1) Решение. 6cos25x+5,1=5cosx (2) Пусть f(x)=6cos25x+5,1 и φ(x)=5cosx. Е(f)=[5,1;11,1]-область значений функции f(x), Е(φ)=[-5;5]-область значений функции φ(x). Так как Е(f) ∩ E(φ) является пустое множество, то равенство (2) невозможно. Уравнение (2) решений не имеет, а, значит, и равносильное ему уравнение (1) тоже реше-ний не имеет.

№ слайда 18 Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются
Описание слайда:

Переход к половинному углу При решении уравнений данным методом используются формулы двойного аргумента: sin2x=2sinx∙cosx cos2x=cos2x-sin2x В конце решения следует обязательно сделать проверку!

№ слайда 19 Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2.  Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2
Описание слайда:

Пример. Решить уравнение: 2sinx–cosx=2.  Решение. 4sin(x/2)·cos(x/2)-cos²(x/2)+sin²(x/2)= =2sin²(x/2)+2cos²(x/2) sin²(x/2)–4sin(x/2)·cos(x/2)+3cos²(x/2)=0 tg²(x/2)–4tg(x/2)+3=0 tg1(x/2)=1 x=∏/2+2∏k , k є Z tg2(x/2)=3 x=2arctg3+2∏k , k є Z

№ слайда 20 Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1
Описание слайда:

Преобразование произведения в сумму Данным методом решаются уравнения вида: 1. sinαx∙sinβx=sinγx∙sinδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 2. cosαx∙cosβx=cosγx∙cosδx, если α+β=±(γ+δ) или α-β=±γ-δ 3. sinαx∙sinβx=cosγx∙cosδx, если α-β=±(γ+δ) 4. cosαx∙cosβx=sinγx∙sinδx, если α+β=γ±δ или α-β=γ±δ

№ слайда 21 Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в с
Описание слайда:

Этот метод включает в себя применение формул: преобразования произведения в сумму: 2sinα∙sinβ=cos(α-β)-cos(α+β) 2cosα∙cosβ=cos(α+β)+cos(α-β) 2sinα∙cosβ=sin(α+β)+sin(α-β) 2cosα∙sinβ=sin(α+β)-sin(α-β) преобразования суммы в произведение: sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)∙cos((α-β)/2) sinα-sinβ=2cos((α+β)/2)∙sin((α-β)/2) cosα+cosβ=2cos((α+β)/2)∙cos((α-β)/2) cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)∙sin((α-β)/2)

№ слайда 22 Пример.  Решить уравнение: sinx∙sin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть
Описание слайда:

Пример.  Решить уравнение: sinx∙sin5x=cos4x Решение. Преобразуем левую часть в сумму: ½cos4x – ½cos6x = cos4x  ½cos6x+½cos4x= 0 cos6x+cos4x=0 Преобразуем левую часть в произведение: 2cos5x∙cosx=0 cos5x∙cosx=0 cos5x=0, x=∏/10+2∏k/5, k є Z cosx=0, x=∏/2+2∏n, n є Z.  Ответ:x=∏/10+2∏k/5, k є Z

№ слайда 23 Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья
Описание слайда:

Презентацию подготовила ученица 11 «А» класса Мозжухина Софья

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Презентация по теме «Тригонометрические уравнения и методы их решения» (10 класс).

Данная презентация может быть использована как при объяснении нового материала по теме «Тригонометрические уравнения» в 10 классе, так и при повторении темы при подготовке к ЕГЭ в 11 классе.

В презентации рассмотрены  десять основных методов решения  тригонометрических уравнений:

 

  1. Алгебраический метод
  2. Метод разложения на множители
  3. Метод вспомогательного угла
  4. Однородные уравнения
  5. Универсальная подстановка
  6. Метод оценки
  7. Метод понижения степени
  8. Метод сравнения множеств
  9. Переход к половинному углу
  10. Преобразование произведения в сумму.
Автор
Дата добавления 07.03.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров861
Номер материала 428897
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх