• 

  1 слайд

  Тригонометрические функции числового аргумента
  

• 

  2 слайд

  Цель занятия
  Обобщить и углубить знания о тригонометрических функциях числового аргумента
  

• 

  3 слайд

  Основные знания и умения
  Знать:
  Определение радиана
  Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента
  Область определения и область значений тригонометрических функций
  Уметь:
  Переводить градусную меру угла в радианную и обратно
  
  

• 

  4 слайд

  Тригонометрия – (от греч. "тригонон" – треугольник и "метрезис" – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрические функции.
  Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника - по площади и двум углам и т.д.
  

• 

  5 слайд

   
  Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.
  

• 

  6 слайд

  В тригонометрии отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника называются тригонометрическими функциями его острого угла. Всего таких отношений в треугольнике шесть, и им отвечают шесть тригонометрических функций (обозначения сторон и углов треугольника на рисунку).
  
  
  
  
  

• 

  7 слайд

  Отношение различных пар сторон прямоугольного треугольника называют тригонометрическими функциями его острого угла:
  1) Синусом угла A называется отношение противолежащего катета а к гипотенузе с: (1)
  
  2) Косинусом угла А называется отношение прилежащего катета b к гипотенузе с:
  (2)
  
  3) Тангенсом угла А называется отношение противолежащего катета а к прилежащему катету b: (3)
  4) Котангенсом угла А называется отношение прилежащего катета b к противолежащему катету а: (4)
  
  a
  A
  C
  B
  b
  c
  

• 

  8 слайд

  Из формул (1) и (2) получаем: .
  
  Сравнивая с (3), находим , т.е.
  тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
  Из формул (1) и (2) получаем:
  
  Сравнивая с (4), находим
  
  т.е.
  котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла.
  

• 

  9 слайд

  По теореме Пифагора, .
  Следовательно, всегда и .
  Значит, и , т.е.
  
  
  и .
  
  

• 

  10 слайд

  Радианное и градусное измерение углов
  
  Градусная мера.  Здесь единицей измерения является градус ( обозначение 1º) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 3600. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ );  одна минута - соответственно из 60 секунд ( обозначаются “ ).
  
  

• 

  11 слайд

   Радианная мера.  Как мы знаем из планиметрии, длина дуги  l , радиус  r  и соответствующий центральный угол α   связаны соотношением:
  α  = l / r .
  Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так,  если  l = r ,  то  α   = 1,  и мы говорим, что угол  α   равен 1 радиану, что обозначается:  α  = 1 рад.
  

• 

  12 слайд

  Число α называется радианной мерой дуги АМα и соответственного угла АОМα
  
  
  
  
  
  Определение. Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу, называется углом в 1 радиан (рад).
  
  
  
  Мα
  α
  А
  О
  

• 

  13 слайд

  Так, полный оборот, равный 3600 в градусном измерении, соответствует  2π  в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана:
  
  
  
  Обратно,
  

• 

  14 слайд

  Пример 1. Найти градусную меру угла, равного:
  
  а) рад; б) рад.
  
  
  
  
  Пример 2. Найти радианную меру угла, равного:
  а) 15°; б) 54°.
  

• 

  15 слайд

  Составим таблицу часто встречающихся углов и дуг в градусной и радианной мерах.
  Рассмотрим единичную окружность (с центром в точке О и радиусом, равным единице).
  А
  +
  -
  

• 

  16 слайд

  Заполните таблицу:
  
  

• 

  17 слайд

  Синус, косинус числового аргумента
  Выберем на плоскости прямоугольную систему координат так, что ее начало совпадает с центром единичной окружности (R = 1).
  Пусть хα, уα – координаты точки Мα. Тогда каждому числу α поставлены в соответствие два числа хα и уα. Число уα называется синусом α и обозначается sin α, а число хα косинусом α и обозначается cos α.
  Мα(хα; уα)
  хα
  уα
  х
  у
  О
  yα= sin α, xα = cos α
  Синусом числа называется ордината точки М, а косинусом – абсцисса этой точки.
  

• 

  18 слайд

  Тангенс, котангенс числового аргумента
  Отношение называется тангенсом α
  
  и обозначается tg α , т.е.
  
  
  
  Отношение называется котангенсом α
  
  и обозначается сtg α , т.е.
  
  

• 

  19 слайд

  Необходимо отметить, что sin α и cos α определены для любого числа α (для любого угла), а их значения заключены между -1 и 1;
  
  определен лишь для тех чисел
  (углов), при которых cosα ≠ 0, т.е. для любых
  чисел α ≠ π/2 + πk, k є Z ;
  
  определен лишь для тех чисел
  (углов), при которых sin α ≠ 0, т.е. для любых
  чисел α ≠ πk, k є Z .
  
  
  
  

• 

  20 слайд

  Вопросы для повторения
  1. Дайте определение угла в 1 радиан.
  2. Какова радианная мера прямого центрального угла?
  3. Какова радианная мера развернутого угла?
  4. Запишите пропорцию, связывающую радианную и градусную меры угла.
  5. Как определяются синус и косинус действительного числа?
  6. Как определяются тангенс и котангенс действительного числа?
  7. Для каких чисел определены sinα и cosα?
  8. Какие значения могут принимать sinα и cosα?
  9. Для каких значений определен tgα?
  10. Для каких значений определен ctgα?
  

Краткое описание материала