Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по математике "Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств" (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок по математике "Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств" (10 класс)

библиотека
материалов

hello_html_m6c8f4833.gifhello_html_m7b5219e0.gifhello_html_76019e34.gifМОУ «Соловьихинская средняя общеобразовательная школа»

Алгебра 10 класс



















Учитель математики:

Шлыкова Л.А.



Цель урока: рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений.

Ход урока:

  1. Орг. момент

Тема и цель урока

  1. Повторение и закрепление пройденного материала.

  1. Разбор дом. задания и решение нерешенных заданий

  2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа)

____________________________________________________________________

Вариант 1.

  1. Дать определение и перечислить свойства арксинуса.

  2. Вычислить:

а) arcsin( - 1) + arcsinhello_html_m6b9b924e.gif; б) arccoshello_html_m55ec507a.gif + arcsinhello_html_m55ec507a.gif;

в) arctg( - 1) - arccoshello_html_m6b9b924e.gif; г) cos(arccoshello_html_m55ec507a.gif + arccoshello_html_m6b9b924e.gif).

________________________________________________________________________

Вариант – 2.

  1. Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.

  2. Вычислить:

а) arcsinhello_html_7f543b8d.gif - arcsin 1; б) arcos ( - 1) + arctghello_html_m487b4b13.gif;

в) arcsin hello_html_m55ec507a.gif+ arcsin( - hello_html_m6b9b924e.gif); г) sin(arccoshello_html_m55ec507a.gif + arcsinhello_html_m55ec507a.gif)

  1. Изучение нового материала (лекция с применением м/м)



Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются cos x = a, sin x = a, tg x = a,ctg x = a. Рассмотрим их решения.

cos x = a

x = ± arccos a + 2hello_html_33c685de.gifn, где nhello_html_m79f24a27.gifZ.

Функция соs х принимает значения из промежутка hello_html_4018541.gif. Количество решений уравнения соs х =а зависит от значения числа а. Если аhello_html_4a133a1f.gifhello_html_4018541.gif, то уравнение не имеет решений.

Если аhello_html_m79f24a27.gifhello_html_4018541.gif, на промежутке hello_html_m4c1ce80.gif функция соs х убывает и принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому по теореме о корне на этом промежутке уравнение соs х = а имеет единственное решение х1 = arccos a. Так как функция соs х четная, то на отрезке hello_html_m62a00377.gifhello_html_m6266886e.gif данное уравнение также имеет единственное решение х2 = - х1 = - arccos a. Итак, уравнение

cos x = a на промежутке hello_html_2739c0f5.gif имеет два решения

x = ± arccos a. Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения:

x = ± arccos a + 2hello_html_33c685de.gifn, где nhello_html_m79f24a27.gifZ.

в частных случаях а = ± 1; а = 0 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности: cos x = 1, x = 2πk;

cos x = - 1, x = π + 2πk;

cos x = 0, x = hello_html_3f3ecb0e.gif + πk, khello_html_m79f24a27.gifZ

Например: решим уравнение cos х = - hello_html_m55ec507a.gif.

Используя приведенную формулу, запишем

x = ± arccos ( - hello_html_m55ec507a.gif) + 2hello_html_33c685de.gifn, где nhello_html_m79f24a27.gifZ.

x = ± hello_html_47ca8db1.gif + 2hello_html_33c685de.gifn, где nhello_html_m79f24a27.gifZ.

sin x = a

x = ( - 1)karcsin a + hello_html_33c685de.gifk, где khello_html_m79f24a27.gifZ.

очевидно, что при а >1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и hello_html_70c6caa7.gif≤ 1. На отрезке hello_html_mfeb8c6a.gifфункция sin x возрастает и принимает все значения от – 1 до 1. Тогда по теореме о корне на этом промежутке при hello_html_m27c65535.gif≤1 уравнение sin x = а имеет единственное решение х1 = arcsin a. На отрезке hello_html_m76489741.gif функция sin x убывает и также принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому и на этом промежутке при hello_html_m27c65535.gif≤1 уравнение sin x = а тоже имеет единственное решение х2 =  - х1 =  - arcsin a. Действительно, sin x2 = sin( - x1) = sin x1 = a. Кроме того, поскольку hello_html_ma05fef4.gif, то есть х2 принадлежит отрезку hello_html_m76489741.gif.

Учитывая, что период синуса равен 2, получаем две формулы для записи всех решений данного уравнения х = arcsin a + 2n и

x = - arcsin a + 2n, где nєZ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой :

x = ( - 1)karcsin a + hello_html_33c685de.gifk, где khello_html_m79f24a27.gifZ.

действительно, при четных k = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных k = 2n + 1 – решения, записываемые второй формулой.

Заметим, что в частных случаях а=0; ± 1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:

Для уравнения sin x = 1 решения x = hello_html_m5afec2a3.gif

Для уравнения sin x = 0 решения hello_html_m3c35358f.gif

Для уравнения sin x = - 1 решения x = hello_html_7c695405.gif, kєZ

Пример 2:

Решим уравнение hello_html_m62a00377.gifsin x = hello_html_m2bc363dd.gif.

По приведенной формуле запишем решения уравнения

x = ( - 1)karcsin (hello_html_m2bc363dd.gif) + k, kєZ

x = ( - 1)khello_html_7cf55052.gif+ k, kєZ

x = ( - 1)k+1hello_html_7cf55052.gif+ k, kєZ

tg x = a

x = arctg a + k, kєZ

на отрезке hello_html_m90e3e7f.gif функция tg x возрастает и принимает все значения от - ∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение tg x = а имеет единственное решение, равное х = arctg a. Так как функция тангенс имеет период , то получаем формулу для всех решений данного уравнения:

x = arctg a + k, kєZ

Пример 3. Решим уравнение 3 tg x = hello_html_m4bc2ea9b.gif

Запишем уравнение в виде tg x = hello_html_5384ac47.gif или tg x = hello_html_331fb480.gif. Используя приведенную формулу, выпишем решения уравнения

х = arctg hello_html_331fb480.gif+ k, kєZ

x = hello_html_7a946ced.gif+ k, kєZ



  1. Закрепление

№№ 136(а,г) 137(в) 139(б) 140(а) 145 (а,б)

  1. Контрольные вопросы:

Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.

  1. Домашнее задание:

№№ 136(в) 137(г) 139(в) 141(г) 146(а)

  1. Творческое задание

sin (2x + hello_html_m5691b67b.gif) = hello_html_m11f81418.gif; cos (3x - hello_html_m10434f5d.gif) = hello_html_m202aab82.gif.









































































____________________________________________________________________

Вариант 1.

  1. Дать определение и перечислить свойства арксинуса.

  2. Вычислить:

а) arcsin( - 1) + arcsinhello_html_m6b9b924e.gif; б) arccoshello_html_m55ec507a.gif + arcsinhello_html_m55ec507a.gif;

в) arctg( - 1) - arccoshello_html_m6b9b924e.gif; г) cos(arccoshello_html_m55ec507a.gif + arccoshello_html_m6b9b924e.gif).

________________________________________________________________________

Вариант – 2.

  1. Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.

  2. Вычислить:

а) arcsinhello_html_7f543b8d.gif - arcsin 1; б) arcos ( - 1) + arctghello_html_m487b4b13.gif;

в) arcsin hello_html_m55ec507a.gif+ arcsin( - hello_html_m6b9b924e.gif); г) sin(arccoshello_html_m55ec507a.gif + arcsinhello_html_m55ec507a.gif)

________________________________________________________________________

Краткое описание документа:


Урок по теме «Решение  простейших тригонометрических уравнений» разработан с применением материалов ЦОР, используется диск Математика полный курс 7-11 классы издательство «Питер», мультимедийный репетитор.

     Процесс обучения с использованием данного ЦОР гениально прост. Ученик слышит голос лектора и видит, как выводятся формулы, выполняются рисунки, графики. Используется три режима обучения, которые позволяют даже самому невнимательному ученику отлично усвоить материал.

 Материал данного урока можно использовать, как урок лекция для объяснения нового материала, для индивидуальной работы  со слабыми учащимися, для повторения и подготовки к ЕГЭ. Так же приведены тестовые задания которые можно использовать как контроль знаний учащихся на данном уроке или на следующих уроках.

Заказать данный курс можно по адресу: WWW.piter.com

Автор
Дата добавления 18.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров362
Номер материала 395567
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх