МОУ «Соловьихинская средняя общеобразовательная школа»
Алгебра 10 класс
Учитель математики:
Шлыкова Л.А.
Цель урока: рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений.
Ход урока:
1. Орг. момент
Тема и цель урока
2. Повторение и закрепление пройденного материала.
1. Разбор дом. задания и решение нерешенных заданий
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа)
____________________________________________________________________
Вариант 1.
1. Дать определение и перечислить свойства арксинуса.
2. Вычислить:
а)
arcsin( - 1) + arcsin
;
б) arccos
+ arcsin;
в)
arctg( - 1) - arccos;
г) cos(arccos + arccos).
________________________________________________________________________
Вариант – 2.
1. Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.
2. Вычислить:
а)
arcsin
- arcsin 1; б)
arcos ( - 1) + arctg
;
в)
arcsin + arcsin( - ); г)
sin(arccos + arcsin)
3. Изучение нового материала (лекция с применением м/м)
Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются cos x = a, sin x = a, tg x = a,ctg x = a. Рассмотрим их решения.
cos x = a
x = ± arccos a + 2
n, где n
Z.
Функция соs
х принимает значения из промежутка 
. Количество решений
уравнения соs
х =а зависит от значения числа а. Если а
, то уравнение не имеет решений.
Если а, на промежутке 
функция соs
х убывает и принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому по теореме о корне на
этом промежутке уравнение соs
х = а имеет единственное решение х1 = arccos
a.
Так как функция соs
х четная, то на отрезке 
данное
уравнение также имеет единственное решение х2 = - х1 = - arccos
a.
Итак, уравнение
cos
x
= a
на промежутке 
имеет
два решения
x = ± arccos a. Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения:
x
= ± arccos a + 2n,
где nZ.
в частных случаях а = ± 1; а = 0 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности: cos x = 1, x = 2πk;
cos x = - 1, x = π + 2πk;
cos x = 0, x = 
+ πk, kZ
Например: решим
уравнение cos
х = - .
Используя приведенную формулу, запишем
x
= ± arccos ( - ) + 2n,
где nZ.
x = ± 
+ 2n, где
nZ.
sin x = a
x = ( - 1)karcsin
a + k, где kZ.
очевидно, что при а
>1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и 
≤ 1. На отрезке 
функция
sin
x
возрастает и принимает все значения от – 1 до 1. Тогда по теореме о корне на
этом промежутке при 
≤1 уравнение sin
x
= а имеет единственное решение х1 = arcsin a. На отрезке 
функция sin
x
убывает и также принимает все значения от – 1 до 1. Поэтому и на этом
промежутке при ≤1 уравнение sin
x
= а тоже имеет единственное решение х2 = - х1 = -
arcsin a. Действительно, sin x2 = sin(
- x1)
= sin x1
= a. Кроме того, поскольку
, то есть х2 принадлежит
отрезку .
Учитывая, что период синуса равен 2, получаем две формулы для записи всех решений данного уравнения х = arcsin a + 2n и
x = - arcsin a + 2n, где nєZ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой :
x = ( - 1)karcsin
a + k,
где kZ.
действительно, при четных k = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных k = 2n + 1 – решения, записываемые второй формулой.
Заметим, что в частных случаях а=0; ± 1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:
Для
уравнения sin x
= 1 решения x
= 
Для
уравнения sin x
= 0 решения 
Для
уравнения sin x
= - 1 решения x
= 
, kєZ
Пример 2:
Решим
уравнение sin
x
= 
.
По приведенной формуле запишем решения уравнения
x
= ( - 1)karcsin
() + k,
kєZ
x
= ( - 1)k
+
k,
kєZ
x
= ( - 1)k+1+ k, kєZ
tg x = a
x = arctg a + k, kєZ
на
отрезке 
функция tg
x
возрастает и принимает все значения от - ∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при
любом значении а на этом промежутке уравнение tg
x
= а имеет единственное решение, равное х = arctg
a.
Так как функция тангенс имеет период , то получаем формулу для всех решений
данного уравнения:
x = arctg a + k, kєZ
Пример
3. Решим уравнение 3 tg
x
= 
Запишем
уравнение в виде tg x
= 
или tg
x
= 
. Используя приведенную формулу, выпишем
решения уравнения
х
= arctg + k,
kєZ
x
= 
+
k,
kєZ
4. Закрепление
№№ 136(а,г) 137(в) 139(б) 140(а) 145 (а,б)
5. Контрольные вопросы:
Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.
6. Домашнее задание:
№№ 136(в) 137(г) 139(в) 141(г) 146(а)
7. Творческое задание
sin
(2x + 
)
= 
;
cos
(3x - 
)
= 
.
____________________________________________________________________
Вариант 1.
1. Дать определение и перечислить свойства арксинуса.
2. Вычислить:
а)
arcsin( - 1) + arcsin
;
б) arccos
+ arcsin
;
в)
arctg( - 1) - arccos;
г) cos(arccos + arccos
).
________________________________________________________________________
Вариант – 2.
1. Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.
2. Вычислить:
а)
arcsin
- arcsin 1; б)
arcos ( - 1) + arctg
;
в)
arcsin + arcsin( - ); г)
sin(arccos + arcsin)
________________________________________________________________________
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Урок по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений» разработан с применением материалов ЦОР, используется диск Математика полный курс 7-11 классы издательство «Питер», мультимедийный репетитор.
Процесс обучения с использованием данного ЦОР гениально прост. Ученик слышит голос лектора и видит, как выводятся формулы, выполняются рисунки, графики. Используется три режима обучения, которые позволяют даже самому невнимательному ученику отлично усвоить материал.
Материал данного урока можно использовать, как урок лекция для объяснения нового материала, для индивидуальной работы со слабыми учащимися, для повторения и подготовки к ЕГЭ. Так же приведены тестовые задания которые можно использовать как контроль знаний учащихся на данном уроке или на следующих уроках.
Заказать данный курс можно по адресу: WWW.piter.com
6 663 291 материал в базе
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
§ 33. Уравнение cos х = а
Больше материалов по этой теме
Настоящий материал опубликован пользователем Шлыкова Людмила Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.