Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Учитель математики МБОУ «Адаевская ООШ» Актанышского муниципального района Республики Татарстан
2 слайд
Последовательности
Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа.
2; 4; 6; 8; … .
Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом- число 20, на сотом- число 200. Вообще для любого натурального числа n можно указывать соответствующее ему положительное четное число: оно равно 2n
3 слайд
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:
1; 5; 9; 13; 17; 21; … .
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом
Определение арифметической прогессии
4 слайд
В последовательности 1; 2; 3; 4; 5; … ,
𝑎 1 =1 и d=1.
𝑎 1 - первый член,
d – разность арифметической прогрессии.
В последовательности 1; 3; 5; 7; 9; …,
𝑎 1 =1, d= 2
𝑎 2 = 𝑎 1 +d
𝑎 3 = 𝑎 2 +d= 𝑎 1 +2d
𝑎 4 = 𝑎 3 +d = 𝑎 1 +3d
𝑎 𝑛 = 𝑎 1 +d(n-1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии
5 слайд
Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.
Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды:
S= 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
S= 100 + 99 + 97 +… + 3 + 2 + 1
Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Всего таких пар 100.
2S= 101∙10
S= 101∙100 2 =5050
Формула Суммы первых n членов арифметической прогрессии
6 слайд
Карл Гаусс (1777-1855) – немецкий математик, астроном, геодезист, физик. Выдающиеся математические способности проявил он в раннем детстве. Его многочисленные исследования в области алгебры, теории чисел, геометрии и математического анализа оказали значительное влияние на развитие теоретической и прикладной математики. Астрономии, геодезии, физики.
Карл Гаусс
Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: .
До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.
7 слайд
Геометрическая прогрессия
Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:
2; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ; … .
определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
8 слайд
𝑏 1 - первый член, q-знаменатель геометрической прогрессии.
𝑏 2 = 𝑏 1 q
𝑏 3 = 𝑏 2 q=( 𝑏 1 q)q= 𝑏 1 𝑞 2
𝑏 4 = 𝑏 3 q=( 𝑏 1 𝑞 2 )q= 𝑏 1 𝑞 3
𝑏 5 = 𝑏 4 q=( 𝑏 1 𝑞 3 )q= 𝑏 1 𝑞 4
𝑏 6 = 𝑏 5 q=( 𝑏 1 𝑞 4 )q= 𝑏 1 𝑞 5
𝑏 𝑛 = 𝑏 1 𝑞 𝑛−1 .
Формула n-го члена геометрической прогрессии
9 слайд
В геометрической прогрессии 𝑏 1 =12,8 и q= 1 4 . Найдем 𝑏 7 .
𝑏 7 =12,8∙ 1 4 6 = 128 10 ∙ 1 4 6 = 2 7 10∙ 2 12 = 1 10∙ 2 5 = 1 320
Пример 1.
10 слайд
Пусть дана геометрическая прогрессия . Об
означим сумму первых n ее членов через 𝑆 𝑛
𝑆 𝑛 = 𝑏 1 + 𝑏 2 + 𝑏 3 + …+ 𝑏 𝑛−1 + 𝑏 𝑛
𝑆 𝑛 ∙𝑞 = 𝑏 1 ∙𝑞 + 𝑏 2 ∙q + 𝑏 3 ∙𝑞 +…+ 𝑏 𝑛−1 ∙𝑞 + 𝑏 𝑛 ∙𝑞
𝑏 1 𝑞 = 𝑏 2 , 𝑏 2 𝑞= 𝑏 3 , 𝑏 3 𝑞= 𝑏 4 , …., 𝑏 𝑛−1 𝑞= 𝑏 𝑛. 𝑆 𝑛 ∙𝑞= 𝑏 2 + 𝑏 3 + 𝑏 4 +…+ 𝑏 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑞
Вычтем из второго равенства первое равенство и приведем подобные члены:
𝑆 𝑛 q− 𝑆 𝑛 = 𝑏 2 + 𝑏 3 + 𝑏 4 +…+ 𝑏 𝑛 + 𝑏 𝑛 𝑞 − 𝑏 1 + 𝑏 2 + 𝑏 3 +…+ 𝑏 𝑛−1 + 𝑏 𝑛 = 𝑏 𝑛 𝑞− 𝑏 1
𝑆 𝑛 = 𝑏 𝑛 𝑞− 𝑏 1 𝑞−1 , Подставим вместо 𝑏 𝑛 выражение 𝑏 1 𝑞 𝑛−1 . Получим
𝑆 𝑛 = 𝑏 1 ∙( 𝑞 𝑛 −1) 𝑞−1
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии
11 слайд
Таблица геометрической прогрессии
12 слайд
Диофант (3 век)
Диофант; Diophantos, из Александрии, III в. н. э., выдающийся математик античности, прозванный в средние века "отцом алгебры". Автор учебника математики Арифметика в 13 книгах (6 сохранились). Он представляет собой предваренный вступлением сборник задач, где решаются вопросы из области теории чисел, решения алгебраических уравнений (диофантические уравнения). Д., ориентируясь на древнеегипетскую или вавилонскую систему счета, отделяет чистую арифметику от геометрии и закладывает основы алгебры. Сверх того, он был автором фрагментарно сохранившегося трактата Peri polygonon arithmeton, равно как и утраченного трактата О дробных числах.
13 слайд
Решение задач
Найти сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что 𝑏 3 =12 𝑏 5 =48.
Зная 𝑏 3 и 𝑏 5 , можно найти знаменатель q. Так как 𝑏 5 = 𝑏 3 𝑞 2 , то
𝑞 2 = 𝑏 5 𝑏 3 = 48 12 =4.
Значит, q=2 или q= -2.
Таким образом, существует две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.
Если =-2, то 𝑏 1 = 𝑏 3 𝑞 2 =3 и 𝑆 6 = 𝑏 1 ( 𝑞 6 −1) 𝑞−1 = 3((−2 ) 6 −1) −2−1 =-63
Если q=2, то 𝑏 1 =3 и 𝑆 6 = 3( 2 6 −1) 2−1 =189
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Этот проект применяется для объяснения новой темы в классе по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На эту тему отводится всего 15 часов (97-111 уроки) .Применяя элементы игры, компьютера, интерактивной доски, ученики быстро и легко изучают новый материал, повышается у учеников интерес к математике, воспитывается внимательность, чувство ответственности.
Перед учениками поставлены проблемы.
- Какие последовательности вы знаете?
-Что такое арифметическая и геометрическая прогрессия?
-Какая формула n- члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий?
-Кто такой Карл Гаусс и Диофант?
6 663 976 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Садыйкова Энзе Хаертдиновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.