Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация: Задачи на делимость
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация: Задачи на делимость

библиотека
материалов
Задачи на делимость Учитель математики МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением...
Задача 1. Доказать, что при всяком целом n число n3 – n делится на 3. Доказат...
Задача 2. Доказать, что при всяком целом n число n5 – n делится на 5. Доказат...
Задача 3. Доказать, что при всяком n число n5 - 3n3 + 4n делится на 120. Дока...
Задача 4. Доказать, что 1110 – 1 делится на 100. Доказательство. 1110–1 =(11-...
Задача 5. Доказать, что при любом чётном n число n3+20n делится на 48. Доказа...
Перепишем это число так: k(k2+5)=k3-k+6k=(k-1)k(k+1)+6k. Очевидно, что второе...
Задача 6. Определить при каких целых значениях n выражение n4 +4 является про...
Задача 7. Найти двузначное число, равное неполному Квадрату суммы его цифр. Р...
Задача 8. Если число – точный квадрат, то сумма его цифр или делится на 3 или...
Задача 9. Может ли сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел ра...
Задача 10. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2...
Задача 11. Найдите два числа, разность квадратов которых представляет собой к...
Задача 12. Докажите, что если m и m2+2 простые числа, то число m3+2 тоже прос...
Задача 13. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного и ку...
Разложим на простые множители оставшиеся числа: 63 =23∙33≠а2; 83=(23)3=29≠а2...
Задача 14. При каких натуральных n число n4 + 64n является составным? Решение...
Задача 15. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых положите...
Задача 16. Найти наименьшее простое число, которое может быть представлено в...
Если считать, что все слагаемые различны, то искомое число должно быть не мен...
Задача 17. Дано 1989 положительных чисел. Известно, что произведение любых 22...
Используемая литература И.Кушнир «Шедевры школьной математики» Астарта Киев,...
22 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задачи на делимость Учитель математики МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением
Описание слайда:

Задачи на делимость Учитель математики МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением отдельных предметов г.Тамбова Е.В.Кирина

№ слайда 2 Задача 1. Доказать, что при всяком целом n число n3 – n делится на 3. Доказат
Описание слайда:

Задача 1. Доказать, что при всяком целом n число n3 – n делится на 3. Доказательство. Имеем n3 – n=(n-1)n(n+1), а из трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3.

№ слайда 3 Задача 2. Доказать, что при всяком целом n число n5 – n делится на 5. Доказат
Описание слайда:

Задача 2. Доказать, что при всяком целом n число n5 – n делится на 5. Доказательство. Имеем n5 – n=n(n-1)(n+1)(n2 +1). Если целое число оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9, то один из первых множителей на 5. Если n оканчивается одной из цифр 2, 3, 7 или 8, то n2 оканчивается на 4 или 9 и n2 +1 делится на 5.

№ слайда 4 Задача 3. Доказать, что при всяком n число n5 - 3n3 + 4n делится на 120. Дока
Описание слайда:

Задача 3. Доказать, что при всяком n число n5 - 3n3 + 4n делится на 120. Доказательство. Имеем n5 - 3n3 + 4n = n(n2 - 1)(n2 - 4)= = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2). Но из пяти последовательных целых чисел одно делится на 5, по крайней мере одно делится на 3 и по крайней мере два на 2, причём из этих двух последних чисел одно делится на 4. Т.о., произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на 5∙3∙2∙4=120

№ слайда 5 Задача 4. Доказать, что 1110 – 1 делится на 100. Доказательство. 1110–1 =(11-
Описание слайда:

Задача 4. Доказать, что 1110 – 1 делится на 100. Доказательство. 1110–1 =(11-1)(119+118+117+116+115+114+113+112+11+1) Легко видеть, что второй сомножитель делится на 10, т.к. он представляет сумму 10 слагаемых , каждое из которых оканчивается на 1. Итак, 1110–1 есть произведение 10 на число, делящееся на 10, и значит, делится на 100.

№ слайда 6 Задача 5. Доказать, что при любом чётном n число n3+20n делится на 48. Доказа
Описание слайда:

Задача 5. Доказать, что при любом чётном n число n3+20n делится на 48. Доказательство. Всякое чётное число может быть выписано в виде n=2k, где k – целое число. Поэтому n3+20n может быть представлено следующим образом: N=n3+20n=8k(k2+5). Отсюда видно, что N делится на 8. Докажем, что число k(k2+5) делится на 6. Продолжение →

№ слайда 7 Перепишем это число так: k(k2+5)=k3-k+6k=(k-1)k(k+1)+6k. Очевидно, что второе
Описание слайда:

Перепишем это число так: k(k2+5)=k3-k+6k=(k-1)k(k+1)+6k. Очевидно, что второе слагаемое 6k на 6 делится. Первое же слагаемое является произведением трёх последовательных чисел. Поэтому один из сомножителей этого произведения обязательно делится на 3. Кроме того, из двух последовательных целых чисел (а тем более трёх) одно является чётным. Значит, произведение (k-1)k(k+1) делится на 6, и требуемое доказано.

№ слайда 8 Задача 6. Определить при каких целых значениях n выражение n4 +4 является про
Описание слайда:

Задача 6. Определить при каких целых значениях n выражение n4 +4 является простым числом. Решение. Дополним n4 +4 до полного квадрата: n4 +4n2+4-4n2 =(n2+2)2 – 4n2=(n2-2n+2)(n2+2n+2) Число n4 +4 может быть простым только в том случае, если либо n2-2n+2=1, либо n2+2n+2=1. Решая эти уравнения, получим n=1, n= - 1. При n=±1 данное выражение равно 5,т.е. является простым числом. Ответ: n=±1

№ слайда 9 Задача 7. Найти двузначное число, равное неполному Квадрату суммы его цифр. Р
Описание слайда:

Задача 7. Найти двузначное число, равное неполному Квадрату суммы его цифр. Решение. По условию 10х+у=х2+ху+у2, или 10х+у+ху=(х+у)2. Т.к. х≤9 и у≤9, то 10х+у+ху≤180, а тогда х+у≤13; но при х+у<13, 10х+у+ху≤130, значит, х+у≤11. При х+у=10, х=9, у=1. При х+у=9, х+у=8, х+у=7, х+у=6, х+у=5 – решений нет. При х+у=4, х=1, у=3. Ответ: 91, 63, 13

№ слайда 10 Задача 8. Если число – точный квадрат, то сумма его цифр или делится на 3 или
Описание слайда:

Задача 8. Если число – точный квадрат, то сумма его цифр или делится на 3 или в результате деления на 3 даёт в остатке 1. Доказать это. Решение. Любое число можно представить в виде одного из видов: 3k, 3k-1; 3k+1. Квадрат первого выражения делится на 3, квадраты двух других выражений при делении на 3 дают в остатке 1.

№ слайда 11 Задача 9. Может ли сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел ра
Описание слайда:

Задача 9. Может ли сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел равняться сумме кубов двух последовательных натуральных чисел? Решение. Пусть для натуральных чисел k и n выполняется равенство (k-1)2+k2+(k+1)2 =n3+(n+1)3 или n3+(n+1)3=3k2+2. Если число n делится на 3 или даст при делении на 3 остаток 1, то левая часть этого равенства делится на 3n даёт остаток 2, так что 3k2+2=(3p-1)3 +27p3=54p3-27p2+9p-1, K2=18p3-9p2+3p-1. Отсюда следует, что число k2 при делении на 3 даёт остаток 2, чего быть не может. Следовательно, рассматриваемое равенство невозможно.

№ слайда 12 Задача 10. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2
Описание слайда:

Задача 10. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом натурального числа. Решение. Пусть х – наименьшее, натуральное число, такое, что 2х=в2, 3х=с3, где в и с – натуральные числа. Из равенства 2х=в2 следует, что х кратно 2. А т.к. 3х=с3, то х кратно 23=8 и кратно 32=9, т.е. х=23∙32∙а6=72а6, где а – любое натуральное число. Наименьшее х получаем при а=1. Ответ: 72

№ слайда 13 Задача 11. Найдите два числа, разность квадратов которых представляет собой к
Описание слайда:

Задача 11. Найдите два числа, разность квадратов которых представляет собой куб, а разность кубов – квадрат? Решение. 102 – 62=100 – 36=64 =43 103 – 63=1000-216=784=282

№ слайда 14 Задача 12. Докажите, что если m и m2+2 простые числа, то число m3+2 тоже прос
Описание слайда:

Задача 12. Докажите, что если m и m2+2 простые числа, то число m3+2 тоже простое. Доказательство. Любое простое число m, отличное от 3, можно представить в виде 3n+1 или в виде 3n-1, где n Z. В первом случае можно записать m2+2=9n2-6n+3 во втором m2+2=9n2-6n+3. Т.к. m≥2, то в любом случае m2+2 больше 3 и делится на 3, значит, m2+2 может быть простым числом, только если m=3. В этом случае m2+2=11 число простое, m3+2=24 – тоже простое.

№ слайда 15 Задача 13. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного и ку
Описание слайда:

Задача 13. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного и кубу однозначного числа. Решение. Выпишем все кубы однозначных чисел: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Рассмотрим те из них, которые являясь трёхзначными числами, могут быть равны квадрату двузначных. Очевидно, что 53 и 73 не могут быть квадратами двузначных чисел (5 и 7 –простые числа). Продолжение →

№ слайда 16 Разложим на простые множители оставшиеся числа: 63 =23∙33≠а2; 83=(23)3=29≠а2
Описание слайда:

Разложим на простые множители оставшиеся числа: 63 =23∙33≠а2; 83=(23)3=29≠а2; 93=(32)3=36=(33)2=272=729. Искомое число 729=272=93. Ответ: 729

№ слайда 17 Задача 14. При каких натуральных n число n4 + 64n является составным? Решение
Описание слайда:

Задача 14. При каких натуральных n число n4 + 64n является составным? Решение. Ясно, что при n чётным число n4 + 64n также чётно (и больше 2), т.е. является составным. Если n=2k+1, то, положив а=8m, будем иметь: n4+ 64n=n4+64a4=(n2+8a2)2-16a2n2= (n2-4an+8a2)(n2+4an+8a2). При этом n2-4an+8a2=(n-2a)2+4a2>1, так что при любом n рассматриваемое число составное.

№ слайда 18 Задача 15. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых положите
Описание слайда:

Задача 15. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых положительных чисел никогда на является квадратом целого числа. Решение. Обозначим пять последовательных целых чисел следующим образом: (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), тогда (n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5(n2+2). Для того чтобы 5(n2+2) было квадратом, необходимо, чтобы n2+2, т.е. n2 должно оканчиваться на 3 или 8, что невозможно. Следовательно, n2+2 не делится на 5.

№ слайда 19 Задача 16. Найти наименьшее простое число, которое может быть представлено в
Описание слайда:

Задача 16. Найти наименьшее простое число, которое может быть представлено в виде суммы двух, трёх, четырёх и пяти простых слагаемых. Решение. Наименьшая сумма пяти простых слагаемых равна, очевидно, 10, и поэтому искомое простое число а не меньше 11. Однако 11=2+9=3+8=5+6=7+4 не может быть представлено в виде суммы двух простых чисел и, следовательно, а≠11. С другой стороны, 13=2+11=3+3+7=2+2+2+7=2+2+2+2+5 удовлетворяет условию задачи, и поэтому а=13. Продолжение →

№ слайда 20 Если считать, что все слагаемые различны, то искомое число должно быть не мен
Описание слайда:

Если считать, что все слагаемые различны, то искомое число должно быть не меньше, чем 3+5+7+11+13=39 (заметим, что число 2 среди слагаемых не должно быть, т.к. по условию число а нечётно), так что а≥41. Но 41 нельзя представить в виде суммы, например, двух простых слагаемых. Следующая по величине сумма пяти простых слагаемых получается, если заменить 13 – наибольшее из слагаемых – на 17 (следующее простое число), и эта сумма равна 43. Подбором убеждаемся, что 43=2+41=7+17+19=2+5+17+19=3+5+7+11+17. Следовательно, искомое число а равно 43. Ответ: 43

№ слайда 21 Задача 17. Дано 1989 положительных чисел. Известно, что произведение любых 22
Описание слайда:

Задача 17. Дано 1989 положительных чисел. Известно, что произведение любых 22 из них больше 1. Докажите, что произведение всех данных чисел больше 1. Доказательство. Разобьём все числа подряд на группы по 22 числа. Получим 90 групп. Произведение всех чисел в каждой группе больше 1. Кроме того, у нас осталось ещё 9 чисел. Выберем в первых 9 группах по одному наибольшему числу. Каждое выбранное число больше 1. Оставшиеся первоначально после объединения 9 чисел распределим в каждую из групп по одному. Так что в них вновь станет по 22 числа. Значит, произведение чисел в каждой группе больше 1. Но оно равно произведению всех данных 1989 чисел. Следовательно, произведение больше 1.

№ слайда 22 Используемая литература И.Кушнир «Шедевры школьной математики» Астарта Киев,
Описание слайда:

Используемая литература И.Кушнир «Шедевры школьной математики» Астарта Киев, 1995

Краткое описание документа:

Задачи на делимость

Учитель математики

МАОУ СОШ № 13 с углублённым изучением отдельных предметов г.Тамбова   Е.В.Кирина

Задача 1.

Доказать, что при всяком целом n число n3 n

делится на 3.

Доказательство.

Имеем n3 n=(n-1)n(n+1), а из трёх

последовательных чисел одно обязательно

делится на 3.

Задача  2.   Доказать, что при всяком целом  nчисло n5 n

делится на 5.

Доказательство.

   Имеем n5 n=n(n-1)(n+1)(n2 +1).  Если целое

число оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5,

6 или 9, то один из первых множителей на 5.

Если n оканчивается одной из цифр 2, 3, 7 или 8,

то n2 оканчивается на 4 или 9 и n2 +1 делится на 5.

Автор
Дата добавления 18.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров842
Номер материала 132895
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх