Презентация"Деление во множестве многочленов"

• 1 слайд

  Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
  “Центр образования №8”
  “Деление во множестве многочленов”
  Автор: Тутаев Григорий
  Класс 8А
  Руководитель: Соколова
  Татьяна Анатольевна
  учитель алгебры и геометрии
  Тула
  2016-2017
  Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.
   
  М. Башмаков 
  Проектная работа по алгебре
  

• 2 слайд

  Формирование понятия “множество” начало происходить в 19 веке. Изучением множеств занимался немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918).
  Понятие “множества” он формулировал следующими словами: “Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью”, эти однотипные объекты называются элементами множества.
  Многочленам дано четкое определение, они различимы и однотипны, а следовательно составляют множество многочленов.
  Над многочленами можно совершать различные математические действия: складывать, находить разность, произведение и самое интересное и сложное – делить.
  Делению во множестве многочленов и посвящена моя работа.
  

• 3 слайд

  Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.
  Многочлен - это алгебраическое выражение представляющее собой сумму одночленов.
  Многочленом с переменной х (или от переменной х ), называют сумму степеней переменной х с натуральным показателем, с некоторыми коэффициентами, то есть: P(x) = а 0 𝑥 𝑛 + 𝑎 1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 𝑛−1 x+ 𝑎 𝑛 ,где 𝑎 0 , 𝑎 1 , …, 𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛 – некоторые числа, причем 𝑎 0 ≠0, n – натуральное число. 𝑃 𝑛 (x) – обозначение многочлена, степень которого равна n.
   Определение многочлена
  Стандартный вид многочлена – это такой вид одночлена, в котором он представлен как произведение числового множителя (который обычно записывают перед остальными множителями слева и называют коэффициентом одночлена) и натуральных степеней различных переменных.
   Процедура приведения многочлена к стандартному виду состоит в том, чтобы привести каждый из одночленов к стандартному виду, а потом все подобные одночлены между собой сложить, т.е привести подобные.  
  Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в данный многочлен. Так, например, 1+ 4𝑥 3 – 5𝑥 3 𝑦 2 – многочлен пятой степени, так как максимальная степень одночлена входящего в многочлен( 5𝑥 3 𝑦 2 )пятая.
  

• 4 слайд

  Многочлен Р(х) делится на многочлен Q(х)≠0, если Р(х)=Q(x)·M(x), где М(х) – некоторый многочлен, т.е. разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x) – это значит найти многочлен M(x). Существуют различные способы решения этой задачи.  
  Деление многочленов «столбиком»
  Деление многочленов столбиком — это алгоритм деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), степень которого меньше или равна степени многочлена P(x).
  Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком. Для любых многочленов P(x) и Q(x),существуют единственные полиномы M(x) и R(x),такие что P(x)=Q(x)·M(x)+R(x), причем R(x) имеет более низкую степень, чем Q(x).
  
  Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного M(x) и остатка R(x) для заданных делимого P(x) и ненулевого делителя Q(x).
  

• 5 слайд

  Пример: Разделить уголком многочлен P(x)= 8𝑥 3 + 22𝑥 2 +15x на многочлен Q(x)=2x+3.
  1.Расположить делимое и делитель в убывающих степенях х, т.е. привести к стандартному виду:
  8𝑥 3 + 22𝑥 2 +15x 2x+3
  делимое делитель
  2.Разделить старший член делимого на старший член делителя; затем полученный одночлен сделать первым членом частного.
  8 𝑥 3 :2x= 4𝑥 2
  8𝑥 3 + 22𝑥 2 +15x 2x+3
  3.Первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная в результате разница является первым остатком.
  4𝑥 2 ·(2x+3)= 8𝑥 3 + 12𝑥 2
  _ 8𝑥 3 + 22𝑥 2 +15x 2x+3
  8𝑥 3 + 12𝑥 2
  10𝑥 2 +15x
  10𝑥 2 +15x
  4𝑥 2
  первый остаток
  4.Чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступали с делимым и делителем в пунктах 2 и 3.
  5.Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю или остаток, степень которого меньше степени делителя.
  _ 8𝑥 3 + 22𝑥 2 +15x 2x+3
  8𝑥 3 + 12𝑥 2
  _10𝑥 2 +15x
  0
  4𝑥 2 +5x
  

• 6 слайд

  При делении остаток может быть и не нулевым.
  Пример 2 (деление “столбиком” с остатком):
  Разделить многочлен P(x) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 +3x+4 на многочлен Q(x)= x-1.
  _ 𝑥 3 + 2𝑥 2 +3x+4 x-1
  𝑥 3 - 𝑥 2
  𝑥 2 +3x+6
  _ 3x3+3x
  
  _ 3𝑥 3 +3x
  3𝑥 2 -3x
  _ 6x+4
  6x-6
  10
  остаток
  Свойства делимости многочленов “Столбиком”.
  1 свойство: Если многочлен 𝑃 𝑛 (x) делится на многочлен 𝑄 𝑘 (x), а многочлен 𝑄 𝑘 (x) делится на многочлен 𝑀 𝑚 (x), то многочлен 𝑃 𝑛 (x) делится на многочлен 𝑀 𝑚 (x).
  2 свойство: Если многочлены 𝑃 𝑛 (х) и 𝑄 𝑛 (x) делятся на многочлен 𝑀 𝑘 (x), то многочлены 𝑃 𝑛 (х)+ 𝑄 𝑛 (x) и 𝑃 𝑛 (х) - 𝑄 𝑛 (x) делятся на многочлен 𝑀 𝑘 (x), а многочлен 𝑃 𝑛 (х)· 𝑄 𝑛 (x) делится на многочлен 𝑀 𝑘 2 (x).
  3 свойство: Если P(x) делится на Q(x), то всякий корень Q(x) является корнем P(x). Действительно если P(x) = Q(x)·M(x) и Q(с)=0, то P(с)=Q(с)·M(с)=0.
  

• 7 слайд

  Алгоритм Евклида.
  Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наибольшей степени.
  Заметим, что любое число неравное нулю является общим делителем двух любых многочленов. Поэтому, всякое неравное нулю число называется тривиальным общим делителем данных многочленов.
  Алгоритм Евклида предлагает последовательность действий, которая или приводит к нахождению НОД двух данных многочленов, или показывает, что такой делитель в виде многочлена первой или большей степени не существует.
  Алгоритм реализуется в виде последовательности делений. В первом делении многочлен большей степени рассматривается как делимое, а меньшей – как делитель. Если многочлены, для которых находится НОД,
  имеют одинаковые степени, то делимое и делитель выбираются произвольно.
  Если при очередном делении многочлен в остатке имеет степень ≥1, то делитель становится делимым, а остаток – делителем.
  Если при очередном делении многочленов получен остаток, равный нулю, то НОД данных многочленов найден. Им является делитель при последнем делении.
  

• 8 слайд

  Алгоритм:
  f(x)=g(x) 𝑞 1 (x)+ 𝑟 1 (x),
  g(x)= 𝑟 1 (x) 𝑞 2 (x)+ 𝑟 2 (x),
  𝑟 1 (𝑥)= 𝑟 2 (x) 𝑞 3 (x)+ 𝑟 3 (x),
  ……………………………………………….
  𝑟 𝑘−3 (𝑥)= 𝑟 𝑘−2 (x) 𝑞 𝑘−1 (x)+ 𝑟 𝑘−1 (x),
  𝑟 𝑘−2 (𝑥)= 𝑟 𝑘−1 (x) 𝑞 𝑘 (x)+ 𝑟 𝑘 (x),
  𝑟 𝑘−1 (x)= 𝑟 𝑘 (x) 𝑞 𝑘+1 (x)
  НОД= 𝑟 𝑘 (x)
  Пример: Найти НОД данных многочленов: x3+6x2+11x+6 и x3+7x2+14x+8
  1)
  _𝑥 3 + 6𝑥 2 +11x+6 𝑥 3 + 7𝑥 2 +14x+8
  𝑥 3 + 7𝑥 2 +14x+8 1
  - 𝑥 2 -3x-2
  2)
  _ 𝑥 3 + 7𝑥 2 +14x+8 - 𝑥 2 -3x-2
  𝑥 3 + 3𝑥 2 +2x
  -x-4
  _ 4𝑥 2 +12x+8
  4𝑥 2 +12x+8
  0
  НОД: (- 𝑥 2 -3x-2).
  

• 9 слайд

  Алгоритм деления по схеме Горнера.
   Для вычисления коэффициентов частного и остатка от деления многочлена
  P(x) = а 0 𝑥 𝑛 + 𝑎 1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 𝑛−1 x+ 𝑎 𝑛 на двучлен x-S удобно использовать схему Горнера.
  Заполняется таблица:
  Полученные числа 𝑏 𝑛 , 𝑏 𝑛−1 , … 𝑏 1 являются коэффициентами частного, т.е.
  P(x) = а 0 𝑥 𝑛 + 𝑎 1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 𝑛−1 x+ 𝑎 𝑛 = (x-s)( 𝑏 0 𝑥 𝑛−1 + 𝑏 1 𝑥 𝑛−2 +…+ 𝑏 𝑛−1 )+ 𝑏 𝑛
  частное остаток
  

• 10 слайд

  
  Пример: Разделить многочлен x3+2x2-4x+8 на многочлен x+2
  Шаг 1: Запишите дробь из многочленов. В числителе запишите первый многочлен, а в знаменателе второй.
  Шаг 2: Измените знак постоянной в делителе на противоположный.
  Шаг 3: Поставьте это число перед знаком деления в столбик. Знак деления выглядит как перевернутая на левый бок буква "L." Запишите -2 слева от знака.
  Шаг 4: Запишите все коэффициенты делимого внутри знака деления. Пишите слева направо по мере их появления. Получится следующее:
  1 𝑥 3 +2 𝑥 2 −4𝑥+8
  -2
  Шаг 5: Опустите вниз первый коэффициент.
  Шаг 6: Умножьте первый коэффициент на делитель и запишите его под вторым коэффициентом. Это будет выглядеть так:
  1 2 4 8
  -2
  -2
  ·1
  

• 11 слайд

  Шаг 7: Добавьте второй коэффициент и произведение, запишите ответ под результатом. Теперь возьмите второй коэффициент, это 2, и добавьте его к -2. Результат будет 0. Запишите результат под двумя цифрами.
  1 2 4 8
  -2
  -2
  1
  0
  Повторяя последовательно 7 шаг, получаем:
  1 2 4 8
  -2
  -2
  0 8
  1
  0
  -4 16
  Шаг 8: Запишем R рядом с 16, поскольку это наш остаток. Получится следующее:
  1
  0
  -4 16
  =R
  (1) 𝑥 2 +(0)x+(-4)= 𝑥 2 -4
  Шаг 9: Это окончательный ответ.
  ( 𝑥 3 + 2𝑥 2 −4x+8) x+2 = ( 𝑥 2 -4) + 16 𝑥+2
  

• 12 слайд

  Теорема Безу
  Еще один механизм, помогающий разложить многочлен на множители – Теорема Безу:
  Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х-а равен значению этого многочлена при х=а, т.е. Р(а)=R.
   
  Следствие 1. Если х=а – корень уравнения 𝑃 𝑛 (х)=0, то R=0 и многочлен 𝑃 𝑛 (х) делится нацело на двучлен х-а.
  Следствие 2. Если многочлен 𝑃 𝑛 (х) делится нацело на двучлен х-а, то х=а – корень уравнения 𝑃 𝑛 (х) =0.
  

• 13 слайд

  Заключение.
  Итак, деление во множестве многочленов возможно. Существуют признаки делимости одного многочлена на другой.
  Теория делимости многочленов предлагает огромный математический аппарат для описания законов деления многочленов. Этот аппарат является таким же логически строгим и точным, как и в других разделах математики.
       Данная работа помогает разобраться в сущности деления во множестве многочленов, научиться применять различные способы для разложения их на множители, нахождения НОД двух многочленов и т.д., что поможет впоследствии при решении сложных математических задач.
  Спасибо за внимание!
  

• 14 слайд

  Список используемой литературы и интернет-ресурсов:
  1. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.
  2. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья об алгоритме Евклида.
  3. www.sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.
  4. www.ref.by/refs: статья о теореме Безу.
  5. www.ru.math.wikia.com: статья о теореме Евклида.
  6. www.ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.
  7. Никольский.С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2009 г. (дополнения к главе).
  8. www.cleverstudent.ru: статья по схеме Горнера