Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация"Научные открытия Леонарда Эйлера"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация"Научные открытия Леонарда Эйлера"

библиотека
материалов
Научные открытия Леонарда Эйлера В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер уд...
Биографические сведения о Леонардо Эйлере Идеальный математик 18 века - так ч...
стрельбы и таблицы движения Луны. Громадное наследие Эйлера включает 72 тома,...
В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал и...
механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных ура...
Теория чисел П. Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изыскани...
Математический анализ Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография...
тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный случай....
Геометрия В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеч...
Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый в мире уч...
которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однак...
Комбинаторика Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в...
Прямая Эйлера Деление отрезка в данном отношении Пусть A,О, В – данные точки...
Прямая Эйлера Прямая Эйлера – прямая, которой принадлежат ортоцентр (точка п...
G1 P Прямая Эйлера Теорема. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точ...
Теорема Эйлера о многогранниках Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В...
Теорема Эйлера о многогранниках Некоторые следствия из теоремы 1. Р + 6≤ 3В и...
2.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π. (Теорема Декар...
граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у...
Теория графов и задача Эйлера Издавна среди жителей Кёнигсберга была распрост...
В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Число нечётных вершин (в...
Теория графов и задача Эйлера Теорема Эйлера Пусть на плоскости задано m точе...
В случае, изображенном на рисунке 1, все условия теоремы Эйлера выполнены, m=...
Заключение Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математи...
Кроме математики, Эйлер занимался также многими другими, в том числе и совсем...
29 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Научные открытия Леонарда Эйлера В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер уд
Описание слайда:

Научные открытия Леонарда Эйлера В том усомниться мог ли кто-то, Что Эйлер удивит весь мир, Что только цифры и расчеты Его единственный кумир. Выполнила: Алексина И.С.

№ слайда 2 Биографические сведения о Леонардо Эйлере Идеальный математик 18 века - так ч
Описание слайда:

Биографические сведения о Леонардо Эйлере Идеальный математик 18 века - так часто называют Эйлера(1707-1789). Он родился в маленькой тихой Швейцарии. Примерно в то же время переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию. Но когда ребята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их умов. Зато в России была учреждена в 1725 году Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей отправилась туда. Поначалу Эйлер расшифровывал дипломатические депеши, обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, составлял таблицы для артиллерийской

№ слайда 3 стрельбы и таблицы движения Луны. Громадное наследие Эйлера включает 72 тома,
Описание слайда:

стрельбы и таблицы движения Луны. Громадное наследие Эйлера включает 72 тома, содержащие 886 научных работ. Это блестящие результаты по математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, важнейшие труды по механике, физике, астрономии и ряду прикладных наук. Во многих своих работах Эйлер развил идеи и методы, полное значение которых выяснилось лишь через сто и более лет после его смерти. Заметим также, что вот уже в течение 300 лет школьники всего мира изучают математику, основы которой с ее новой символикой изложил в своих трудах тоже Леонард Эйлер.

№ слайда 4 В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал и
Описание слайда:

В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там "король математиков" работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. Удивительно: слава Эйлера не закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Петербург). В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги - "Основ дифференциального и интегрального исчисления". В начале сентября 1783 Эйлер почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще занимался математическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и «прекратил вычислять и жить».

№ слайда 5 механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных ура
Описание слайда:

механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e , обозначение i для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое. Эйлер охотно участвовал в научных дискуссиях, из которых наибольшую известность получили: спор о струне; спор с Д'Аламбером о свойствах комплексного логарифма; спор с английским оптиком Джоном Доллондом (англ.) о том, возможно ли создать ахроматическую линзу. Во всех упомянутых случаях Эйлер отстаивал правильную позицию.

№ слайда 6 Теория чисел П. Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изыскани
Описание слайда:

Теория чисел П. Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился. Эйлер продолжил исследования Ферма, ранее высказавшего (под влиянием Диофанта) ряд разрозненных гипотез о натуральных числах. Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил их в содержательную теорию чисел. Он ввёл в математику исключительно важную «функцию Эйлера» и сформулировал с её помощью «теорему Эйлера». Эйлер создал теорию сравнений и квадратичных вычетов, указав для последних критерий

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Математический анализ Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография
Описание слайда:

Математический анализ Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой — монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768—1770 годах — три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники. Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования были опубликованы в данных трудах. Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер дал настолько глубокое исследование этой важнейшей

№ слайда 9
Описание слайда:

№ слайда 10 тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный случай.
Описание слайда:

тоже его заслуга, так же как их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши — Римана», более правильно было бы назвать «условиями Даламбера — Эйлера». Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы — ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения.

№ слайда 11 Геометрия В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеч
Описание слайда:

Геометрия В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом: три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре); в треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера»; основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера); число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.

№ слайда 12 Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый в мире уч
Описание слайда:

Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» (1748) — это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии. Эйлер дал классификацию алгебраических кривых 3-го и 4-го порядков, а также поверхностей второго порядка. Термин «аффинные преобразования» впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований. В 1732 году Эйлер вывел общее уравнение геодезических линий на поверхности. В 1760 году вышли фундаментальные «Исследования о кривизне поверхностей». Эйлер обнаружил, что в каждой точке гладкой поверхности имеются два нормальных сечения с минимальным и максимальным радиусами кривизны и что плоскости их взаимно перпендикулярны. Вывел формулу связи кривизны сечения поверхности с главными кривизнами.

№ слайда 13 которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однак
Описание слайда:

которая может быть наложена на плоскость без складок и разрывов. Эйлер, однако, даёт здесь вполне общую теорию метрики, от которой зависит вся внутренняя геометрия поверхности. Позже исследование метрики становится у него основным инструментом теории поверхностей. В треугольнике ABC ортоцентр H, центр U описанной окружности и центроид S лежат на одной «прямой Эйлера» В 1771 году Эйлер опубликовал сочинение «О телах, поверхность которых можно развернуть на плоскость». В этой работе введено понятие развёртывающейся поверхности, то есть поверхности,

№ слайда 14 Комбинаторика Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в
Описание слайда:

Комбинаторика Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений. При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера. Эйлер исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём. Две его работы (1776, 1779) заложили фундамент общей теории латинских и греко-латинских квадратов, огромная практическая ценность которой выяснилась после создания Рональдом Фишером методов планирования эксперимента, а также в теории кодов, исправляющих ошибки.

№ слайда 15 Прямая Эйлера Деление отрезка в данном отношении Пусть A,О, В – данные точки
Описание слайда:

Прямая Эйлера Деление отрезка в данном отношении Пусть A,О, В – данные точки плоскости, и известно, что точка G делит отрезок AB в отношении k: AG/GB = k. Зададим вектора ОА, OG, OB, AG, GB. Выразим вектор OG через векторы OA и OB. Для этого подставим в равенство AG=k * GB выражения всех векторов через OG, OA и OB (по правилу треугольника): OG-OA=k(OB-OG). Решая это уравнение относительно OG, получим: OG= (OA+kOB)/(k+1) . Например, если G – середина отрезка AB, то k=1 и OG= 0,5(OA+OB). А О В G

№ слайда 16 Прямая Эйлера Прямая Эйлера – прямая, которой принадлежат ортоцентр (точка п
Описание слайда:

Прямая Эйлера Прямая Эйлера – прямая, которой принадлежат ортоцентр (точка пересечения высот) , центроид (точка пересечения медиан) и центр описанной окружности треугольника. Дан прямоугольный треугольник АСВ. Проведем медиану СО. Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 2:1, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. = Н А С В

№ слайда 17 G1 P Прямая Эйлера Теорема. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точ
Описание слайда:

G1 P Прямая Эйлера Теорема. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем 3PG=PA+PB+PC, (2) где P – любая точка плоскости или пространства. Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника AСВ точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1. Возьмем произвольную точку P. Зададим вектора: PG, PC, PB, PA. Согласно формуле (1), PG = (РС+2РD), PD = 0,5(PA + PB), откуда 3PG = (PA + PB + PC). Вычисляя вектор PG1 с концом в точке G1, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение: 3PG1= (PA + PB + PC), Поэтому PG=PG1, и точка G совпадает с точкой G1. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2). А С В D P

№ слайда 18 Теорема Эйлера о многогранниках Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В
Описание слайда:

Теорема Эйлера о многогранниках Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из них используется формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это доказательство. Возьмем снаружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О . Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма угов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех

№ слайда 19 Теорема Эйлера о многогранниках Некоторые следствия из теоремы 1. Р + 6≤ 3В и
Описание слайда:

Теорема Эйлера о многогранниках Некоторые следствия из теоремы 1. Р + 6≤ 3В и Р + 6≤ 3Г; Доказательство: Перепишем соотношение Эйлера дважды, один раз в виде Р + 2 = В + Г И другой раз в виде 4 = 2В - 2Р + 2Г Складывая эти равенства, получаем Р + 6 = 3В + 3Г - 2Р Так как у каждой грани многогранника не менее трех сторон, то 3Г≤ 2Р. Отсюда сразу получаем Р + 6≤ 3В. Утверждение доказано.

№ слайда 20 2.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π. (Теорема Декар
Описание слайда:

2.Сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ- 4π. (Теорема Декарта) Доказательство: Обозначим через Гi число i-угольных граней в многограннике М. Ясно, что Г = Г3 + Г4 + Г5 + … Ясно также, что каждая i-угольная грань содержит i ребер многогранника. С другой стороны, каждое ребро многогранника принадлежит в точности двум граням. Поэтому в сумме 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … каждое ребро многогранника подсчитано, причем подсчитано дважды. Отсюда имеем 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 +… Рассмотрим теперь сумму S плоских углов многогранника: S = Г3 ·π + Г4 · 2π + Гi · ( i -2 )π + … С учетом полученных соотношений и теоремы Эйлера соотношение можно переписать так: S = Г3 ( 3 - 2 )π + Г4 (4 -2 )π + Гi ( i - 2 )π + … = 2Рπ - 2Гπ = 2Вπ - 4π.

№ слайда 21 граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у
Описание слайда:

граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2

№ слайда 22 Теория графов и задача Эйлера Издавна среди жителей Кёнигсберга была распрост
Описание слайда:

Теория графов и задача Эйлера Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно. В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить есть ли у неё решение. На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). Б А В Г

№ слайда 23 В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Число нечётных вершин (в
Описание слайда:

В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам: Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин. Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине. Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

№ слайда 24 Теория графов и задача Эйлера Теорема Эйлера Пусть на плоскости задано m точе
Описание слайда:

Теория графов и задача Эйлера Теорема Эйлера Пусть на плоскости задано m точек и n попарно непересекающихся дуг, каждая из которых соединяет какие-либо две данные точки и не проходит через остальные m–2 точки, и пусть эти дуги делят плоскость на l областей. Если из каждой данной точки в любую из остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то m – n + l = 2. Рис. 3 Рис.1 Рис. 2

№ слайда 25 В случае, изображенном на рисунке 1, все условия теоремы Эйлера выполнены, m=
Описание слайда:

В случае, изображенном на рисунке 1, все условия теоремы Эйлера выполнены, m=12, n=18, l=8 и m–n+l=2. На рисунках 2 и 3 изображены случаи, когда условия этой теоремы не выполняются. Так, на рисунке 2 из точки A1 нельзя попасть в точку A5 и m–n+l=3≠2, а на рисунке 3 линия, соединяющая точки A1 и A2, является самопересекающейся и опять m–n+l=3≠2. В некоторых задачах совокупность, состоящую из нескольких точек и соединяющих их попарно непересекающихся дуг, мы называем картой; при этом точки из этой совокупности мы называем вершинами, а области, на которые дуги делят плоскость, — странами.

№ слайда 26 Заключение Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математи
Описание слайда:

Заключение Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру». Эйлер отличался несравненной работоспособностью и за свою жизнь написал около 900 научных работ, и это несмотря на то, что он потерял один глаз в возрасте 31 года и почти ослеп на второй в 66 лет. Нет ученого, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. В учебниках для высшей школы их еще больше, а многие введенные им в обиход теоремы и методы давно перестали связывать с чьим-либо именем. Даже в средней школе логарифмы и тригонометрию изучают до сих пор в значительной степени «по Эйлеру».

№ слайда 27 Кроме математики, Эйлер занимался также многими другими, в том числе и совсем
Описание слайда:

Кроме математики, Эйлер занимался также многими другими, в том числе и совсем прикладными вопросами — оснасткой корабля, картографией, механикой, астрономией, физикой, диоптрикой. Но все же главные достижения Эйлера относятся к математике. Полное собрание сочинений Эйлера рассчитано на 72 тома (вышло уже 62 больших тома). 30 из них посвящено математике, 31 содержит его работы по механике и. астрономии. 11 будут содержать работы по физике и другим предметам. В процентном отношении работы по математике распределяются (по объемам, а это дает лучшую характеристику, чем по числу работ, так как работы чрезвычайно отличаются по размерам) так: анализ — 60%, геометрия — 17%, теория чисел — 13%, алгебра — 7%, теория вероятностей — 3 %. Внутри анализа особенно большое место занимают работы по интегральному исчислению — 33 %; дифференциальным уравнениям посвящено 25%, рядам — 22% и вариационному исчислению —11%. В остальные 9% входят том «Дифференциальные исчисления» и первый том «Введения в анализ бесконечно малых».

№ слайда 28
Описание слайда:

№ слайда 29
Описание слайда:

Краткое описание документа:

В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там "король математиков" работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. Удивительно: слава Эйлера не закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Петербург). В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги - "Основ дифференциального и интегрального исчисления".

 

В начале сентября 1783 Эйлер почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще занимался математическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и «прекратил вычислять

Автор
Дата добавления 01.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров1725
Номер материала 165757
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх