Презинтация по математику на тему "Двойной интеграл" (студентов ВУЗа)

• 1 слайд

  Вычисление двойного интеграла
  КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ
  

• 2 слайд

  Двойной интеграл
  ДИ в декартовых координатах
  Замена переменных в ДИ
  ДИ в полярных координатах
  Отработка отдельных блоков схемы
  вычисления ДИ
  Задания по теме
  1/13
  

• 3 слайд

  ДИ в декартовых координатах
  Рассмотрим область R2 и проведем вертикальные прямые х=с (с=const) так, чтобы они пересекали область . Область R2 называется вертикально-правильной, если каждая вертикальная прямая х=с (с=const) пересекает границу области  не более, чем в двух точках Р1(х,у1) и Р2(х,у2).
   Вертикально-правильную область  можно задать системой неравенств
  : (1)
  
  где [a,b] — проекция области  на ось ОХ. Двойной интеграл по вертикально-правильной области , заданной системой неравенств (1), вычисляется с помощью повторного интеграла:
  
  
  

• 4 слайд

  ДИ в декартовых координатах
  Область R2 называется горизонтально-правильной, если каждая горизонтальная прямая у=с (с=const) пересекает границу области  не более, чем в двух точках Р1(х1,у) и Р2(х2,у).
  [c; d] - проекция  на ОУ.
  Область  можно задать системой неравенств
  : (2)
  
  Двойной интеграл по горизонтально-правильной области , заданной системой неравенств (2), вычисляется с помощью повторного интеграла
  
   
  
  
  

• 5 слайд

  Замена переменных в двойном интеграле
  Заменим переменные x и y :
  Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель:
  а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:
  определитель Якоби (якобиан)
  Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y).
  2/13
  

• 6 слайд

  Замена переменных в двойном интеграле
  Вычислить двойной интеграл
  если область D ограничена линиями:
  xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3x.
  x
  y
  0
  D
  y = 1/x
  y = 2/x
  y = x
  y = 3x
  Сделаем замену переменных:
  3/13
  

• 7 слайд

  Найдем уравнения линий, ограничивающих область D*
  Замена переменных в двойном интеграле
  4/13
  

• 8 слайд

  Выразим переменные x и y через u и v.
  Найдем частные производные от получившихся функций:
  Замена переменных в двойном интеграле
  5/13
  

• 9 слайд

  Найдем якобиан преобразования:
  Замена переменных в двойном интеграле
  6/13
  

• 10 слайд

  u
  v
  0
  1
  1
  2
  2
  3
  D*
  Построим область D*.
  Расставим пределы интегрирования, пользуясь формулой (1):
  Вычислим двукратный интеграл:
  Замена переменных в двойном интеграле
  7/13
  

• 11 слайд

  Двойной интеграл в полярных координатах
  Рассмотрим частный случай замены переменных: замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ.
  В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами:
  Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.
  Якобиан преобразования равен:
  8/13
  

• 12 слайд

  Формула замены переменных принимает вид:
  Двойной интеграл в полярных координатах
  Область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат
  Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат:
  Лучами
  α
  β
  D*
  r = r2(φ )
  r = r1(φ )
  Кривыми
  Такая область называется правильной областью в полярной системе координат:
  луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках.
  r
  0
  9/13
  

• 13 слайд

  Расставим пределы интегрирования:
  Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ.
  Двойной интеграл в полярных координатах
  α
  β
  D*
  r = r2(φ )
  r = r1(φ )
  r
  0
  10/13
  

• 14 слайд

  Замечания
  1
  2
  Переход к полярным координатам целесообразен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x2+y2) ; область D есть круг, кольцо или части таковых.
  На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены
  Двойной интеграл в полярных координатах
  Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам.
  Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ.
  3
  11/13
  

• 15 слайд

  Вычислить
  Перейдем к полярным координатам:
  Двойной интеграл в полярных координатах
  Изобразим область D в декартовой системе координат.
  x
  y
  0
  3
  D
  12/13
  

• 16 слайд

  x
  y
  0
  3
  D
  В полярной системе координат эта область будет определяться неравенствами:
  r = 3
  φ
  Двойной интеграл в полярных координатах
  3
  0
  0
  2π
  13/13
  

• 17 слайд

  Отработка отдельных блоков схемы
  вычисления ДИ
  Пример № 1. Вычислить повторный интеграл
  
  Решение
  Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную х как параметр (т.е. const):
  
  
  
  2. Вычислим внешний интеграл
  
  
  
  
  
  

• 18 слайд

  Пример № 2.
  Вычислить повторный интеграл
  
  Решение
  1. Вычислим внутренний интеграл, рассматривая в нем переменную у как параметр (т.е. const):
  
  
  
  2. Вычислим внешний интеграл
  
  Вычисление можно записывать короче:
  
  
  

• 19 слайд

  Задания по теме
  1. Вычислить двукратные (повторные) интегралы:
  
  
  
  
  Ответы: 26; -11,2; ; .
  
  2. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
  
  

• 20 слайд

  
  
  
  Ответы:
  
  

• 21 слайд

  
  3. Вычислить двойной интеграл , где область D - треугольник, ограниченный прямыми х=0; у=0; х+у=3.
  Ответ: 9.
  4. Вычислить двойной интеграл , если область D задана неравенствами ; ух; 0х2.
  Ответ: .
  
  5. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями
  a) ; y=0; y= ; б) ; y=0; y=x; x+y=/2;
  
  в) ; x=y2; y=x2.
   
  Ответы: a5 ; 1/2; -1/504.