1286324
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииПрезинтация по математику на тему "Тройной интеграл" (студентов ВУЗа)

Презинтация по математику на тему "Тройной интеграл" (студентов ВУЗа)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕК...
ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Определение и свойства...
1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая огра...
2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. име...
Пусть di – диаметр (ΔVi) ,
ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функци...
Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная...
3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак...
4.	Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющ...
4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении...
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). 	 Если область...
Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройн...
Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостям...
Решение.
5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая обл...
Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)	отображение (1) вз...
Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле...
1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ 	где 0 ≤ ρ < +∞ , 0 ≤ φ < 2π...
6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – мате...
Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координ...
Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах:
3)	Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны...
5)	Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно:
Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и сни...
Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (в...
 Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим
Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ...

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕК
Описание слайда:

Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ

2 слайд ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Определение и свойства
Описание слайда:

ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Определение и свойства тройного интеграла Свойства тройного интеграла Вычисление тройного интеграла Замена переменных в тройном интеграле Геометрические и физические приложения тройных интегралов

3 слайд 1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая огра
Описание слайда:

1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая ограниченная область в Oxyz (тело),  = (x,y,z) – плотность распределения массы в области (V) ЗАДАЧА. Найти массу m тела (V). 1. Разобьем (V) на n частей (ΔV1), (ΔV2), … , (ΔVn). 2. Если (ΔVi) – мала, то (ΔVi) можно считать однородной и ее масса mi ≈ (Pi) · ΔVi, где ΔVi – объем (ΔVi), Pi – произвольная точка из (ΔVi) . Тогда

4 слайд 2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. име
Описание слайда:

2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. имеющая объем) область в пространстве Oxyz, и в области (V) задана функция u = f(x,y,z). 1. Разобьем область (V) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (ΔV1), (ΔV2), … , (ΔVn). 2. В каждой области (ΔVi) выберем произвольную точку Pi(ξi;ηiζi) и вычислим произведение f(Pi) · ΔVi, где ΔVi – площадь области (ΔVi). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области (V) (соответствующей данному разбиению области (V) и данному выбору точек Pi).

5 слайд Пусть di – диаметр (ΔVi) ,
Описание слайда:

Пусть di – диаметр (ΔVi) ,

6 слайд ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функци
Описание слайда:

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция f(x,y,z) интегрируема в области (V), то она ограничена в этой области. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия существования тройного интеграла). Если 1) область (V) – кубируемая, 2) функция f(x,y,z) ограничена в области (V) и непрерывна всюду за исключением некоторого множества точек объема нуль, то f(x,y,z) интегрируема в области (V) .

7 слайд Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная
Описание слайда:

Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G, удовлетворяет условиям: 1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведённая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность G в двух точках; 2) вся область V проектируется на плоскость Oxy в правильную область D. Тогда область V мы будем называть правильной трёхмерной областью.

8 слайд 3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак
Описание слайда:

3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла, т.е. 3. Тройной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме тройных интегралов от этих функций, т.е.

9 слайд 4.	Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющ
Описание слайда:

4. Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности тройного интеграла).

10 слайд
Описание слайда:

11 слайд 4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении
Описание слайда:

4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области (V) параллельно оси Oz пересекает границу области в двух точках, причем, каждая из пересекаемых границ задается только одним уравнением.

12 слайд ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). 	 Если область
Описание слайда:

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). Если область (V) – правильная в направлении оси Oz, то где z=f1(x,y) , z=f2(x,y) – уравнения нижней и верхней границ области (V) соответственно, (σ) – проекция области (V) на плоскость xOy. Интеграл называют повторным и записывают в виде Интеграл называют внутренним .

13 слайд Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройн
Описание слайда:

Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройной интеграл по такой области вычисляют по формуле =

14 слайд Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостям
Описание слайда:

Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0.

15 слайд Решение.
Описание слайда:

Решение.

16 слайд
Описание слайда:

17 слайд 5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая обл
Описание слайда:

5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая область в пространстве Oxyz, f(x,y,z) – непрерывна в области (V) всюду, кроме, может быть, некоторого множества точек, объема нуль. Тогда существует интеграл Введем новые переменные по формулам: x = φ(u,v,w), y = ψ(u,v,w), z = χ(u,v,w), (u,v,w)∈(G) (1) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация (1): отображение области (G) пространства Cuvw на некоторую область пространства Oxyz . Пусть функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) такие, что (1) является отображением области (G) на область (V) (т.е. если точка (u,v,w) пробегает область (G) , то соответствующая ей точка (x,y,z) пробегает область (V) ) .

18 слайд Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)	отображение (1) вз
Описание слайда:

Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а) отображение (1) взаимно однозначно в замкнутой кубируемой области (G) (т.е. различным точкам области (G) соответствуют различные точки области (V)); б) функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) имеют в области (G) непрерывные частные производные первого порядка; Формулу (2) называют формулой замены переменных в тройном интеграле, определитель I(u,v,w) называют якобианом отображения (1).

19 слайд Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле
Описание слайда:

Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле: 1) x = rcosφ , y = rsinφ , z = z , где 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ φ < 2π (– π <φ ≤ π ) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: переход в пространстве к цилиндрическим координатам В этом случае I(r,φ,z) = r

20 слайд 1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ 	где 0 ≤ ρ &lt; +∞ , 0 ≤ φ &lt; 2π
Описание слайда:

1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ где 0 ≤ ρ < +∞ , 0 ≤ φ < 2π (– π <φ ≤ π ) , 0 ≤ θ ≤ π ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: переход в пространстве к сферическим координатам В этом случае I(ρ,φ, θ) = ρ2 · sinθ

21 слайд 6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – мате
Описание слайда:

6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – материальное тело (кубируемая область (V)∊Oxyz) с плотностью γ(x,y,z) . Тогда 1) Объем V кубируемого тела (V)∊ Oxyz:

22 слайд Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координ
Описание слайда:

Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координат) имеет вид:

23 слайд Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах:
Описание слайда:

Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах:

24 слайд 3)	Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны
Описание слайда:

3) Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны соответственно:

25 слайд 5)	Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно:
Описание слайда:

5) Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно:

26 слайд Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Описание слайда:

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

27 слайд Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и сни
Описание слайда:

Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это y=1.

28 слайд
Описание слайда:

29 слайд Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (в
Описание слайда:

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (внутри параболоида).

30 слайд
Описание слайда:

31 слайд  Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим
Описание слайда:

Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим

32 слайд
Описание слайда:

33 слайд Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ
Описание слайда:

Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ. 3 том. 308 с. 2. В. А. Зорич. Москва. 2002 г. Математический анализ. 3. К.Н.Лунгу. Д.Т.Письменный. С.Н.Федин. Ю.А.Шевченко. Москва. 2008 г. Сборник задач по высшей математике. 4. Г.Н.Берман. Москва. Сборник задач по курсу математического анализа. 5. П.П.Коровкин. Москва. Математический анализ.

Общая информация

Номер материала: ДБ-140178

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.