Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презинтация по математику на тему "Тройной интеграл" (студентов ВУЗа)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презинтация по математику на тему "Тройной интеграл" (студентов ВУЗа)

библиотека
материалов
Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕК...
ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Определение и свойства...
1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая огра...
2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. име...
Пусть di – диаметр (ΔVi) ,
ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функци...
Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная...
3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак...
4.	Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющ...
4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении...
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). 	 Если область...
Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройн...
Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостям...
Решение.
5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая обл...
Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)	отображение (1) вз...
Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле...
1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ 	где 0 ≤ ρ < +∞ , 0 ≤ φ < 2π...
6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – мате...
Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координ...
Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах:
3)	Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны...
5)	Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно:
Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и сни...
Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (в...
 Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим
Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ...
33 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕК
Описание слайда:

Тема: Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ

№ слайда 2 ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Определение и свойства
Описание слайда:

ПЛАН: Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Определение и свойства тройного интеграла Свойства тройного интеграла Вычисление тройного интеграла Замена переменных в тройном интеграле Геометрические и физические приложения тройных интегралов

№ слайда 3 1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая огра
Описание слайда:

1. Задача, приводящая к понятию тройного интеграла Пусть (V) – замкнутая ограниченная область в Oxyz (тело),  = (x,y,z) – плотность распределения массы в области (V) ЗАДАЧА. Найти массу m тела (V). 1. Разобьем (V) на n частей (ΔV1), (ΔV2), … , (ΔVn). 2. Если (ΔVi) – мала, то (ΔVi) можно считать однородной и ее масса mi ≈ (Pi) · ΔVi, где ΔVi – объем (ΔVi), Pi – произвольная точка из (ΔVi) . Тогда

№ слайда 4 2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. име
Описание слайда:

2. Определение и свойства тройного интеграла Пусть (V) – кубируемая (т.е. имеющая объем) область в пространстве Oxyz, и в области (V) задана функция u = f(x,y,z). 1. Разобьем область (V) произвольным образом на n частей, не имеющих общих внутренних точек: (ΔV1), (ΔV2), … , (ΔVn). 2. В каждой области (ΔVi) выберем произвольную точку Pi(ξi;ηiζi) и вычислим произведение f(Pi) · ΔVi, где ΔVi – площадь области (ΔVi). Сумму назовем интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области (V) (соответствующей данному разбиению области (V) и данному выбору точек Pi).

№ слайда 5 Пусть di – диаметр (ΔVi) ,
Описание слайда:

Пусть di – диаметр (ΔVi) ,

№ слайда 6 ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функци
Описание слайда:

ТЕОРЕМА 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Если функция f(x,y,z) интегрируема в области (V), то она ограничена в этой области. ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия существования тройного интеграла). Если 1) область (V) – кубируемая, 2) функция f(x,y,z) ограничена в области (V) и непрерывна всюду за исключением некоторого множества точек объема нуль, то f(x,y,z) интегрируема в области (V) .

№ слайда 7 Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная
Описание слайда:

Правильная трехмерная область Пусть пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью G, удовлетворяет условиям: 1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведённая через внутреннюю точку области V, пересекает поверхность G в двух точках; 2) вся область V проектируется на плоскость Oxy в правильную область D. Тогда область V мы будем называть правильной трёхмерной областью.

№ слайда 8 3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак
Описание слайда:

3. СВОЙСТВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 2. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла, т.е. 3. Тройной интеграл от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме тройных интегралов от этих функций, т.е.

№ слайда 9 4.	Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющ
Описание слайда:

4. Если область интегрирования (V) разбита на две части (V1) и (V2), не имеющие общих внутренних точек, то (свойство аддитивности тройного интеграла).

№ слайда 10
Описание слайда:

№ слайда 11 4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении
Описание слайда:

4. Вычисление тройного интеграла Назовем область (V) правильной в направлении оси Oz, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области (V) параллельно оси Oz пересекает границу области в двух точках, причем, каждая из пересекаемых границ задается только одним уравнением.

№ слайда 12 ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). 	 Если область
Описание слайда:

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f(x,y,z) интегрируема в области (V). Если область (V) – правильная в направлении оси Oz, то где z=f1(x,y) , z=f2(x,y) – уравнения нижней и верхней границ области (V) соответственно, (σ) – проекция области (V) на плоскость xOy. Интеграл называют повторным и записывают в виде Интеграл называют внутренним .

№ слайда 13 Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройн
Описание слайда:

Вычисление тройного интеграла Если область имеет вид как на рисунке, то тройной интеграл по такой области вычисляют по формуле =

№ слайда 14 Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостям
Описание слайда:

Вычисление тройного интеграла Пример 1. Вычислить где V ограничена плоскостями x=0, y=0, z=0.

№ слайда 15 Решение.
Описание слайда:

Решение.

№ слайда 16
Описание слайда:

№ слайда 17 5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая обл
Описание слайда:

5. Замена переменных в тройном интеграле Пусть (V) – замкнутая кубируемая область в пространстве Oxyz, f(x,y,z) – непрерывна в области (V) всюду, кроме, может быть, некоторого множества точек, объема нуль. Тогда существует интеграл Введем новые переменные по формулам: x = φ(u,v,w), y = ψ(u,v,w), z = χ(u,v,w), (u,v,w)∈(G) (1) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация (1): отображение области (G) пространства Cuvw на некоторую область пространства Oxyz . Пусть функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) такие, что (1) является отображением области (G) на область (V) (т.е. если точка (u,v,w) пробегает область (G) , то соответствующая ей точка (x,y,z) пробегает область (V) ) .

№ слайда 18 Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а)	отображение (1) вз
Описание слайда:

Пусть отображение (1) удовлетворяет следующим условиям: а) отображение (1) взаимно однозначно в замкнутой кубируемой области (G) (т.е. различным точкам области (G) соответствуют различные точки области (V)); б) функции φ(u,v,w), ψ(u,v,w), χ(u,v,w) имеют в области (G) непрерывные частные производные первого порядка; Формулу (2) называют формулой замены переменных в тройном интеграле, определитель I(u,v,w) называют якобианом отображения (1).

№ слайда 19 Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле
Описание слайда:

Два наиболее часто встречающихся случая замены переменных в тройном интеграле: 1) x = rcosφ , y = rsinφ , z = z , где 0 ≤ r < +∞ , 0 ≤ φ < 2π (– π <φ ≤ π ) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: переход в пространстве к цилиндрическим координатам В этом случае I(r,φ,z) = r

№ слайда 20 1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ 	где 0 ≤ ρ &lt; +∞ , 0 ≤ φ &lt; 2π
Описание слайда:

1) x = ρ·cosφ·sinθ , y = ρ·sinφ·sinθ, z = ρ·cosθ где 0 ≤ ρ < +∞ , 0 ≤ φ < 2π (– π <φ ≤ π ) , 0 ≤ θ ≤ π ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: переход в пространстве к сферическим координатам В этом случае I(ρ,φ, θ) = ρ2 · sinθ

№ слайда 21 6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – мате
Описание слайда:

6. Геометрические и физические приложения тройных интегралов Пусть (V) – материальное тело (кубируемая область (V)∊Oxyz) с плотностью γ(x,y,z) . Тогда 1) Объем V кубируемого тела (V)∊ Oxyz:

№ слайда 22 Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координ
Описание слайда:

Объем тела Общая формула для вычисления объема (независимо от системы координат) имеет вид:

№ слайда 23 Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах:
Описание слайда:

Объем тела Объём пространственной области V в цилиндрических координатах:

№ слайда 24 3)	Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны
Описание слайда:

3) Статические моменты тела (V) относительно плоскостей xOy, yOz и xOz равны соответственно:

№ слайда 25 5)	Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно:
Описание слайда:

5) Моменты инерции тела (V) относительно осей Ox, Oy и Oz равны соответственно:

№ слайда 26 Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Описание слайда:

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

№ слайда 27 Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и сни
Описание слайда:

Решение Найдём линию пересечения плоскостей, ограничивающих тело сверху и снизу. Очевидно, это y=1.

№ слайда 28
Описание слайда:

№ слайда 29 Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (в
Описание слайда:

Найти объем тела Вычислить объём тела, ограниченного сферой и параболоидом (внутри параболоида).

№ слайда 30
Описание слайда:

№ слайда 31  Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим
Описание слайда:

Подставляя z= в одно из уравнений системы, получим

№ слайда 32
Описание слайда:

№ слайда 33 Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ
Описание слайда:

Список использованной литературы: 1. Г. М. Фихтенгольц. Математический анализ. 3 том. 308 с. 2. В. А. Зорич. Москва. 2002 г. Математический анализ. 3. К.Н.Лунгу. Д.Т.Письменный. С.Н.Федин. Ю.А.Шевченко. Москва. 2008 г. Сборник задач по высшей математике. 4. Г.Н.Берман. Москва. Сборник задач по курсу математического анализа. 5. П.П.Коровкин. Москва. Математический анализ.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 08.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров146
Номер материала ДБ-140178
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх