Инфоурок / Математика / Презентации / Презинтация по математику на тему "Вычесление двойного и тройного интеграла" (студентов ВУЗа)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Презинтация по математику на тему "Вычесление двойного и тройного интеграла" (студентов ВУЗа)

библиотека
материалов
КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Цель темы: Ознакомить студентов с новой темой, объяснить как заменять двойные...
План: Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных коорд...
Вопросы Что называется двойным интегралом? Какими свойствами обладает двойной...
Замена двойного интеграла Предположим, что в двойном интеграле необходимо пер...
Поскольку параметрические уравнения кривой ABCE параллелограмм, который пост...
 Запишем обозначение     Итак, элемент площади в соответствии с формулой (*)...
Пример 1: Измерить порядок интегрирования в интеграле Решение. В рассматрива...
Пусть G = G1UG2 (рис. 6). Тогда каждая прямая x = const,  пересекает множест...
Пример 2:  Вычислить интеграл где область G ограничена линиями:  и y=0 (Рис.7...
Двойной интеграл в полярных координатах Пусть на плоскости Оху одновременно...
Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окруж...
Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 11).  Тогда его площадь...
Замечание. Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J -...
Теорема: Если область D - является правильной в полярной системе координат О...
Пример 3: Вычислить двойной интеграл где область D есть первая четверть круга...
Пример 4: Вычислить двойной интеграл  где область D верхняя часть круга Решен...
Находя первообразные и подставляя пределы окончательно получим:
 Знаю Хочу узнать Узнал З Х У
Заключение В первой части темы рассмотрели замену переменных в двойном интегр...
Задания по пройденной теме 1. Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж...
Список используемой литературы 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и...
24 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ
Описание слайда:

КОШНАЗАРОВ РАСУЛ АТАБЕКОВИЧ

№ слайда 2 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Описание слайда:

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

№ слайда 3 Цель темы: Ознакомить студентов с новой темой, объяснить как заменять двойные
Описание слайда:

Цель темы: Ознакомить студентов с новой темой, объяснить как заменять двойные интегралы. С помощью таких тем все больше заинтересовать студентов к математике. Стараться связывать предмет математики с жизненными примерами, что вызывает большой интерес у студентов. Студенты должны хорошо усвоить данный материал.

№ слайда 4 План: Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных коорд
Описание слайда:

План: Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Применение формулы Якобиан Вопросы по пройденной теме Примеры на самостоятельное решение Список использованной литературы

№ слайда 5 Вопросы Что называется двойным интегралом? Какими свойствами обладает двойной
Описание слайда:

Вопросы Что называется двойным интегралом? Какими свойствами обладает двойной интеграл? Геометрический смысл двойного интеграла? Напишите интегральную сумму для функции f(x,y) в области D?

№ слайда 6 Замена двойного интеграла Предположим, что в двойном интеграле необходимо пер
Описание слайда:

Замена двойного интеграла Предположим, что в двойном интеграле необходимо перейти к новым переменным по формулам В функции на , иными словами имеются обратные функции Если область в плоскости на криволинейные параллелограммы. Обозначим на плоскости бесконечно малый прямоугольник

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Поскольку параметрические уравнения кривой ABCE параллелограмм, который пост
Описание слайда:

Поскольку параметрические уравнения кривой ABCE параллелограмм, который построен на векторах  В этом случае, рассматривая третью координату эквивалентной , прибегнем к формуле, которая определяет площадь параллелограмма через модуль векторного произведения:  

№ слайда 9  Запишем обозначение     Итак, элемент площади в соответствии с формулой (*)
Описание слайда:

 Запишем обозначение     Итак, элемент площади в соответствии с формулой (*)  Запишем формулу замены переменной в двойном интеграле     здесь используется в качестве образа в системе . Определитель именуют якобианом преобразования координат. При ненулевом якобиане, преобразование имеет смысл или является невырожденным. Следует отметить, что формула (*) может быть использована и в случае  - мерного пространства.

№ слайда 10 Пример 1: Измерить порядок интегрирования в интеграле Решение. В рассматрива
Описание слайда:

Пример 1: Измерить порядок интегрирования в интеграле Решение. В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования G1 для первого интеграла можно задать неравенствами Где и Представляют собой дуги параболы Лежащие выше оси Ox Лежащие ниже оси Ox Область интегрирования во втором интеграле имеет вид: Где кривые и Представляют собой дуги параболы И дугу окружности

№ слайда 11 Пусть G = G1UG2 (рис. 6). Тогда каждая прямая x = const,  пересекает множест
Описание слайда:

Пусть G = G1UG2 (рис. 6). Тогда каждая прямая x = const,  пересекает множество G по отрезку с концами и Следовательно, область G можно представить в виде А значит

№ слайда 12 Пример 2:  Вычислить интеграл где область G ограничена линиями:  и y=0 (Рис.7
Описание слайда:

Пример 2:  Вычислить интеграл где область G ограничена линиями:  и y=0 (Рис.7) При каждом фиксированном значении y, значение x меняется от  до x=(2-y)e. Поэтому Интегрируя теперь функцию по y в пределах от y = 0 до y = 1, получим При вычислении интеграла используем форму интегрирования по частям. Имеем

№ слайда 13 Двойной интеграл в полярных координатах Пусть на плоскости Оху одновременно
Описание слайда:

Двойной интеграл в полярных координатах Пусть на плоскости Оху одновременно введена и полярная система координат Orφ (рис. a):  Оp  — полярная ось, которая совпадает с осью Ох;  φ    — полярный угол;  r     — полярный радиус точки М.  Тогда, как известно:  (2.12) Рис. 2.9

№ слайда 14 Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окруж
Описание слайда:

Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окружностей увеличивающихся радиусов r с лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10).   Рис.2.10 Рис.2.11

№ слайда 15 Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 11).  Тогда его площадь
Описание слайда:

Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 11).  Тогда его площадь ΔS можно найти как разность площадей S1 и S2 полярных секторов радиусовr + Δr и r с раствором угла Δφ: При Δr → 0, Δφ → 0 получаем ΔS ≈ r · Δr · Δφ.  Таким образом, при замене переменных по формуле (2.12) дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так: 2.13 В декартовой системе координат Оху прямоугольная сетка дает dS = dx · dy.

№ слайда 16 Замечание. Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J -
Описание слайда:

Замечание. Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J - "коэффициент искажения" площади при переходе к другой системе координат. А именно Что совпадает с (2.13)

№ слайда 17 Теорема: Если область D - является правильной в полярной системе координат О
Описание слайда:

Теорема: Если область D - является правильной в полярной системе координат Оrφ, то двойной интеграл в этих координатах вычисляется так:

№ слайда 18 Пример 3: Вычислить двойной интеграл где область D есть первая четверть круга
Описание слайда:

Пример 3: Вычислить двойной интеграл где область D есть первая четверть круга Решение. Построим область D в декартовой системе координат . В двойном интеграле перейдем к полярным координатам: Полярный угол φ в области D изменяется от 0 до а полярный радиус r – от 0 до R, следовательно:

№ слайда 19 Пример 4: Вычислить двойной интеграл  где область D верхняя часть круга Решен
Описание слайда:

Пример 4: Вычислить двойной интеграл  где область D верхняя часть круга Решение. Перейдем к полярным координатам в двойном интеграле Значения переменных φ и r заключены в пределах 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 1, поэтому Каждый из линейных интегралов в правой части равенства можно вычислить отдельно, так как пределы постоянны:  

№ слайда 20 Находя первообразные и подставляя пределы окончательно получим:
Описание слайда:

Находя первообразные и подставляя пределы окончательно получим:

№ слайда 21  Знаю Хочу узнать Узнал З Х У
Описание слайда:

Знаю Хочу узнать Узнал З Х У

№ слайда 22 Заключение В первой части темы рассмотрели замену переменных в двойном интегр
Описание слайда:

Заключение В первой части темы рассмотрели замену переменных в двойном интеграле. Рассмотрели теоретические основы. Привели примеры на измерение порядка интегрирования в интеграле, а также вычисление и применение. Вторая часть темы двойной интеграл в полярных координатах. Тут ознакомились формулой Якобиан, а так же были приведены примеры.

№ слайда 23 Задания по пройденной теме 1. Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж
Описание слайда:

Задания по пройденной теме 1. Изменить порядок интегрирования (сделать чертеж области). 2.Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж. где область D, ограничена линиями y = x .  где область D, ограничена линиями y = x, y = 2x, x = 2, x = 3. а) б)

№ слайда 24 Список используемой литературы 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и
Описание слайда:

Список используемой литературы 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1999. 2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000. 3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999. 4. Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.

Общая информация

Номер материала: ДБ-140166

Похожие материалы