Инфоурок / Математика / Конспекты / Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора).

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора).

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:


А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22'37'29'. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04'76'59'83'.


Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:


22'37'29'→hello_html_m3630f112.gif=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.




Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

hello_html_71d7af1a.gif= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

hello_html_m3630f112.gif = 4…


Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:


hello_html_m3630f112.gif = 4…

hello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f716972.gif 16

6

И производим вычисление так, как это уже написано.


Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:



hello_html_m3630f112.gifhello_html_f3d5dd8.gif = 4…

hello_html_f716972.gif 16

hello_html_m37d303df.gif 637



После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:


hello_html_m3630f112.gifhello_html_m4dfc6198.gif = 4…

16

8 637





Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:


Это наибольшая цифра k такая, что число 8k, т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k, не превосходит 637.


В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:


hello_html_m3630f112.gif = 47..



Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. hello_html_m3630f112.gif = 473.


hello_html_m3630f112.gifhello_html_4c75cc0b.gif = 473

16

87 637

7 609

943 2829

3 2829

0



В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:


hello_html_m39ab1ce1.gifhello_html_7219ea37.gif = 4,123…

16

81 100

1 81

822 1900

2 1644

8243 25600

3 24729

871...





Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).


1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а2?х), и пользовались формулой hello_html_4d173c36.png. (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

hello_html_245e3244.png

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.



2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а1 — первое приближение числа hello_html_m72dae961.png(в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2 числа hello_html_m72dae961.pngнайдется по формуле hello_html_763e6afd.png.

Третье, еще более точное приближение hello_html_ba18e15.pngи т.д.

(n+1)-е приближение hello_html_m72dae961.pngнайдется по формуле hello_html_5628be40.png.

Нахождение приближенного значения числа hello_html_2aa12b16.pngметодом Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2= 5,3; а3=5,2915.

hello_html_5628be40.png- итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение hello_html_m72dae961.png.

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.


Список литературы:


1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.

2. Ткачева М.В. Домашняя математика.

3. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.

Общая информация

Номер материала: ДБ-171444

Похожие материалы