Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора).

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора).

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:


А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22'37'29'. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04'76'59'83'.


Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:


22'37'29'→hello_html_m3630f112.gif=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.




Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

hello_html_71d7af1a.gif= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

hello_html_m3630f112.gif = 4…


Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:


hello_html_m3630f112.gif = 4…

hello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f716972.gif 16

6

И производим вычисление так, как это уже написано.


Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:



hello_html_m3630f112.gifhello_html_f3d5dd8.gif = 4…

hello_html_f716972.gif 16

hello_html_m37d303df.gif 637



После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:


hello_html_m3630f112.gifhello_html_m4dfc6198.gif = 4…

16

8 637





Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:


Это наибольшая цифра k такая, что число 8k, т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k, не превосходит 637.


В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:


hello_html_m3630f112.gif = 47..



Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. hello_html_m3630f112.gif = 473.


hello_html_m3630f112.gifhello_html_4c75cc0b.gif = 473

16

87 637

7 609

943 2829

3 2829

0



В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:


hello_html_m39ab1ce1.gifhello_html_7219ea37.gif = 4,123…

16

81 100

1 81

822 1900

2 1644

8243 25600

3 24729

871...





Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).


1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а2?х), и пользовались формулой hello_html_4d173c36.png. (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

hello_html_245e3244.png

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.



2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а1 — первое приближение числа hello_html_m72dae961.png(в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2 числа hello_html_m72dae961.pngнайдется по формуле hello_html_763e6afd.png.

Третье, еще более точное приближение hello_html_ba18e15.pngи т.д.

(n+1)-е приближение hello_html_m72dae961.pngнайдется по формуле hello_html_5628be40.png.

Нахождение приближенного значения числа hello_html_2aa12b16.pngметодом Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2= 5,3; а3=5,2915.

hello_html_5628be40.png- итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение hello_html_m72dae961.png.

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.


Список литературы:


1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.

2. Ткачева М.В. Домашняя математика.

3. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 31.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров139
Номер материала ДБ-171444
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх