1000

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора).

Предпросмотр материала:

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:

 

А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22'37'29'. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04'76'59'83'.

 

Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:

 

22'37'29'→=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.

 

 

 

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня  с недостатком из первого разряда:

= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

 = 4…

 

Шаг 2 ―  первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

 

 = 4…

   16

     6

И производим вычисление так, как это уже написано.

 

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:

 

 

 = 4…

   16

     637

 

 

  После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:

 

 = 4…

               16

          8     637

 

 

 

 

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется  она по следующему правилу:

 

Это наибольшая цифра k такая, что число 8k, т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k, не превосходит 637.

 

В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:

 

 = 47..

 

 

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже  47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е.         = 473.

                               

 

 = 473

               16

          87   637

            7   609

            943 2829

                3 2829

                         0

 

 

В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа  запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

 

                       = 4,123…

                         16

                      81 100        

                        1   81  

                     822  1900

                         2  1644

                      8243 25600

                            3 24729

                       871...

 

 

 

 

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

 

1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а2?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

 

2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а1 — первое приближение числа (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а2 числа найдется по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2= 5,3; а3=5,2915.

- итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.

 

Список литературы:

 

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.

2. Ткачева М.В. Домашняя математика.

3. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.

0%

Приближенные методы извлечения квадратного корня (без использования калькулятора).

    DOCX

31.08.2016

5806

24

Файл будет скачан в формате:

    DOCX

Автор материала

СКОРОВАРОВА ЛЮБОВЬ ВИТАЛЬЕВНА

СКОРОВАРОВА ЛЮБОВЬ ВИТАЛЬЕВНА

Учитель математики

  • На сайте: 11 лет
  • Всего просмотров: 127309
  • Подписчики: 1
  • Всего материалов: 51
  • 127309
    просмотров
  • 51
    материалов
  • 1
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем СКОРОВАРОВА ЛЮБОВЬ ВИТАЛЬЕВНА.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~160

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 494 курса по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: